Задачи по матанализу, вариант №1 - конспект - Математический анализ, Упражнения из . Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics
Ivan_Bunin
Ivan_Bunin1 March 2013

Задачи по матанализу, вариант №1 - конспект - Математический анализ, Упражнения из . Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics

PDF (81.4 KB)
6 страница
558количество посещений
Описание
Задачи по матанализу, вариант №1. конспект. Математический анализ. Упражнения и задачи по матанализу Задания с ответом
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 6
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по матанализу, вариант №1 - контрольная работа - Математический анализ

Всероссийский заочный финансово – экономический институт.

Контрольная работа № 1

Дисциплина: Математический анализ и линейная алгебра Тема: Задачи по матанализу, вариант №1

Москва 2007

2

1. Методом Гаусса решить систему уравнений:

 

 

=−−− =+++−

=−−− =+−+

0

124

022

322

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

 

 

=−+ =−−

=−+ =+−+

333

2222

323

322

321

321

321

4321

xxx

xxx

xxx

xxxx

 

 

=+ =+

=−+ =+−+

33

13

323

322

21

21

321

4321

xx

xx

xxx

xxxx

 

 

−=− =+

=−+ =+−+

88

13

323

322

1

21

321

4321

x

xx

xxx

xxxx

 

 

= = = =

1

0

0

1

1

2

3

4

x

x

x

x

Ответ: 1;0;0;1 4321 ==== xxxx

2. Найти предел 1

ln lim

3

− ⋅

∞→ xx e

xx

; 1

ln lim

3

− ⋅

∞→ xx e

xx

Пусть ( ) ( ) 1,ln3 −=⋅= xexgxxxf ( ) ;lnlimlimlim 3 ∞=⋅=

∞→∞→∞→ xxxf

xxx

( ) ;1limlim ∞=−= ∞→∞→

x

xx exg ( )xf и ( )xg непрерывны при 0>x , тогда по правилу

Лопиталя (применяя его несколько раз), получим:

( ) ( )

( ) ( )

0006 1

lim 1

lim60

1

lim6

1 lim11

ln lim6

1 lim5

1 ln

lim6lim2lim3 ln

lim6 2

lim

1 ln2

lim3lim ln

lim3 0

1 ln3

limlimlim

2 22

32

=⋅⋅=⋅=+=

=+=+ ⋅+

=++⋅=+

+ ⋅+⋅

=+⋅= −

⋅+⋅ =

′ ′

=

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→

∞→∞→∞→∞→∞→∞→

xxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

exe x

ee

x

ee x

xx

e

x

e

x

e

xx

e

x

e x

xxx

e

x

e

xx

e x

xxx

xf

xg

xf

xg

Ответ: 0lnlim 3

=⋅ ∞→ xx e

xx

3

3. Найти производную функции: x

x y

x

3

2

log

2−=

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )33

2

2 3

1

2

1 2

2

3

3 2

1 2

2

1

3

2 3

2 3

2

1 2

2

1

3

2 3

3 2

3 2

2 3

3

2

3

2

log

2

3ln2

1

2log

2ln2

3ln

1 2log2ln222log

2

1

3ln

1 2log2ln22log2log

2

1

log

log2log2

2

log

2

1

log

2

log

2 2

1

x

x

xxx

x

x xxxxx

x xxxxxx

x

xxxx

x

x

x

x

x

x y

x

x

x

xxx

xxx

xx

x

x

x

−⋅ ⋅

− −⋅

⋅−=

= 

  

 ⋅−⋅−⋅−⋅−⋅=

= 

  

⋅ ⋅−−⋅⋅−⋅⋅−⋅=

=  

 

 ′−−⋅′− ⋅

− =

 

  

 −⋅ −

=′

−−−

−−

Ответ: ( ) ( )33 2

2 3

1

log

2

3ln2

1

2log

2ln2

x

x

xxx

x x

x

x −⋅ ⋅

− −⋅

⋅− −

4. Среди равнобедренных треугольников с боковой стороной 5 см. Найти длину основания треугольника с наибольшей площадью.

Пусть ABC- равнобедренный треугольник. Расположим оси координатной плоскости X0Y так, чтобы ось 0X проходила через основание AC, а ось 0Y- через высоту, опущенную на основание. Пусть координаты точек : C( 0;0x ), B( 0;0 y ), тогда A( 0;0x− ). По условию

BC=5см., то есть 2520 2 0 =+ yx , значит

2 00 25 xy −= .

Площадь 20000 252 1

xxyxOBOCOBACS ABC −=⋅=⋅=⋅=∆ .

Пусть 225 xxy −= . Функция достигает максимума, если ( ) .0=′ xy

( ) ( ) ( ) 2

2

2

22

2

2

25

225

25

25

252

201 25

x

x

x

xx

x

x xxxy

−= −

−−= −

−⋅⋅+−=′

( ) 0=′ xy при ;0225 2 =− x Из условия 0>x , значит ( ) 0=′ xy при ;

2

5 0 =x 25=AC (см)

Ответ: 25 см.

y

A(-x0;0) C(x0;0) 0 x

B(0;y0) y0

4

5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1;2)

параллельно касательной к графику функции x

y 4= , проведённой в

точке с абсциссой 1=x , сделать чертеж.

Производная функции x

y 4= равна:

; 4

2x y −=′ а уравнение касательной в точке ( )00 ; yx , как известно,

( ) ( )( )000 xxxfxfy −′+= , то есть ( )1

1

4

1

4 2

−−= xy или

.84 +⋅−= xy Так как искомая прямая параллельна этой касательной, ее уравнение будет иметь вид:

bxy +⋅−= 4 . Константу b найдем, подставляя координаты точки (1;2), через которую проходит искомая прямая:

b+⋅−= 142 , отсюда 6=b , а уравнение прямой 64 +⋅−= xy . Ответ: 64 +⋅−= xy 6. Исследовать функцию и построить график. xxxy −⋅= ln

1. Область определения функции: ( )∞∈ ,0x

2. Функция непрерывна на всей области определения. 3. При 0→x

( ) ( ) x

x

x

x xxxxy

xxxxx 1 ln

lim 1

ln limlimlnlimlim

00000

−−=    

   

−=−⋅= →→→→→

Пусть ( ) xxf ln−= ; ( ) x

xg 1=

По правилу Лопиталя

( ) ( )( ) 0lim1

1

limlimlim 0

2

000 =−=

− −=

′ ′

−= →→→→

x

x

x xg

xf xy

xxxx .

То есть, при 0→x 0→y 4. Функция не является ни четной, ни нечетной 5. Найдем точки пересечения графиком оси 0X:

y=0: ( );1ln0 −= xx x>0 ⇒ lnx=1; x=e; Точка пересечения оси 0X имеет координаты ( )0;e .

6. При ( )ex ;0∈ y<0; при ( )∞∈ ;ex y>0.

5

7. .ln11ln1 x x

xxy =−⋅+⋅=′

Производная обращается в нуль при x=1; в интервале ( )1;0∈x она отрицательна, в интервале ( )∞∈ ;1x она положительна. Значит, при ( )1;0∈x функция убывает, при ( )∞∈ ;1x возрастает, в точке x=1 имеет минимум .1min −=y

8. x

y 1=′

Вторая производная не имеет нулей и при ( )∞∈ ;0x положительна, значит, график функции вогнутый.

9. При ∞→x ( ).1ln −⋅= xxy Так как при ∞→x 1ln >x , то ∞→y . Найдем наклонную асимптоту:

∞==−⋅= ∞→∞→∞→

x x

xxx

x

y xxx

lnlim ln

limlim , то есть график не имеет наклонной

асимптоты.

6

Список используемой литературы 1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: банки и биржи, ЮНИТИ, 1998.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
Docsity не оптимизирован для браузера, который вы используете. Войдите с помощью Google Chrome, Firefox, Internet Explorer 9+ или Safari! Скачать Google Chrome