Задачи по Финансовой математике, варианты  - упражнение -  Финансовая математика (2), Упражнения из . Irkutsk State Technical University
dimon_87
dimon_8721 March 2013

Задачи по Финансовой математике, варианты - упражнение - Финансовая математика (2), Упражнения из . Irkutsk State Technical University

PDF (214.9 KB)
20 страница
923количество посещений
Описание
Задачи по Финансовой математике. Задачи и решения. Упражнения с ответами. Разные варианты. Вариант 2.
20очки
пункты необходимо загрузить
этот документ
скачать документ
предварительный показ3 страница / 20
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ
предварительный показ закончен
консультироваться и скачать документ
Задачи по Финансовой математике, вариант 1 - контрольная работа - Финансовая математика

Министерство образования Российской Федерации

ВОРОНЕЖСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Финансовая математика

тема:

«Задачи по Финансовой математике, вариант 1»

2

1. Задание 1. Дан временной ряд, характеризующий объем кредитования коммерческим банком

жилищного строительства (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов). Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 = 0,6; α3 = 0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования: − случайности остаточной компоненты по критерию пико; − независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические

значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;

− нормальности распределения остаточной компоненты по R/S – критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. 5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

1.1. Построение модели Хольта-Уинтерса. Зависимость между компонентами тренд-сезонного временного ряда

мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом

имеет следующий вид:

Yp(t+k) = [ a(t) + k · b(t) ] · F(t+k-L) (1)

где k – период упреждения,

Yp(t)- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

a(t) , b(t) и F(t) коэффициенты модели, они адаптируются, уточняются по мере

перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого

рассчитывается экономический показатель. L – период сезонности (для квартальных

данных L=4, для месячных L=12). Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается

значение экономического показателя, например, за второй квартал, то F(t+k-L) как раз

будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов

модели производится с помощью формул:

3

a(t) =α1· Y(t) / F(t-L) + (1 - α1) · [ a(t-1)+b(t-1) ] (2)

b(t) =α3· [ a(t) – a(t-1) ] + (1 - α3) · b(t-1) (3)

F(t)=α2·Y(t) / a(t)+(1-α2)·F(t-L) (4)

Параметры сглаживания α1 , α2иα3должны подбираться путем перебора с таким

расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (то

есть чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели). Для

поставленной задачи параметры заданы в условии.

Из формул 1 – 4 видно, что для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения

этих коэффициентов для предыдущего период времени (то есть для t=1-1=0). Значения

a(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года,

предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым

8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель, имеет вид:

Yp(t) = a(0) + b(0)*t (5)

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты

линейного уравнения a(0) и b(0) по формулам (6-9):

=

=

−⋅− = N

t ср

N

t срср

tt

ttYtY b

1

2

1

)(

)())(( )0( (6)

a(0) = Ycp - b(0)·tср (7)

∑⋅= N

ср tY

N Y

1

)( 1

(8)

∑⋅= Т

ср N

Т t

1

1 (9)

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (то есть к

данным за первые 2 года), находим значения a(0)= 33,893, b(0)= 0,774.

4

Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Yp(t)=33,893+0,774·t.

Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими

значениями (см. табл.1). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения

коэффициентов сезонности 1 – 4 кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года,

предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 3.1. Эти значения

необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1),F(2), F(3), F(4) и

других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1-4.

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического

показателя к рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки

коэффициента сезонности первого квартала F(-3) может служить отношение фактических

и расчетных значений Y(t) первого квартала первого года, равное Y(1)/Yp(1) и такое же

отношение для первого квартала второго года (то есть за пятый квартал t=5) Y(5)/Yp(5). Для

окончательной, более точной оценки этого коэффициента сезонности можно использовать

среднее арифметическое значение этих двух величин

F(-3)=[Y(1)/Yp(1)+Y(5)/Yp(5)]/2=[30/34,67+32/37,76]/2= =0,86

Аналогично находим оценки коэффициенты сезонности для второго, третьего и

четвертого кварталов:

F(-2) = [ Y(2)/Yp(2) + Y(6)/Yp(6) ] / 2 = 1,08

F(-1) = [ Y(3)/Yp(3) + Y(7)/Yp(7) ] / 2 = 1,27

F(0) = [ Y(4)/Yp(4) + Y(8)/Yp(8) ] / 2 = 0,79

Oценив значения a(0), b(0),а такжеF(-3), F(-2), F(-1) и F(0),можно перейти к

построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул

(1-4).

Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

Из уравнение 1, полагая t=0, k=1 находим Yp(1):

Yp(0+1)=Yp(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=[a(0)+1*b(0)]*F(-3)=29.69

Из уравнение 2-4, полагая t=1 находим:

a(1)=α1*Y(1)/F(-3)+(1-α1)*[a(0)+b(0)]=34,78

b(1)=α3*[a(1)–a(0)]+(1-α3)*b(0)=0,81

F(1)=α2*Y(1)/a(1)+(1-α2)*F(-3)=0,86

5

Продолжая аналогично для t=2,3,4…,16, построим модель Хольта-Уинтерса

(табл.3). Максимальное значение t , для которого можно находить коэффициенты

модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). В

нашем примете данные приведены за 4 года, то есть за 16 кварталов. Максимальное

значение t равно 16.

1.2. Проверка качества модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность

(абсолютное значение отклонения abs{E(t)} поделенное на фактическое значение Y(t) и

выраженное в процентах 100%*abs{E(t)}/Y(t) ) в среднем не превышает 5%. Суммарное

значение относительных погрешностей (см. гр.10 табл.1) составляет 34,90, что дает

среднюю величину 34,90/16 = 2,18%.

Следовательно, условие точности выполнено.

11.0=tE

478.016 92.0

11.0 === NEt Eσ

t* (a=0.05)N-1=15 = 2,13 Так как |t| < t* условие выполняется, средний уровень Е можно считать нулевым.

1.3. Проверка условия адекватности. Для того, чтобы модель была адекватна исследуемому процессу ряд остатков E(t)

должен обладать свойствами:

а) случайности;

б) независимости последовательных уровней;

в) нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной

компоненты (гр. 9 табл. 1) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого

каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше)

обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 11 табл. 1 для этой строки

6

ставится 1, иначе в гр. 11 ставится 0. В первой и последней строке гр. 11 табл. 1 ставится

прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равнор = 6.

Рассчитаем значение q:

 

  

 −−−= 90

)2916( 2

3

)2(2 int

NN q

Функция int, означает, что от полученного значения берется только целая часть.

При N = 16:

6 90

)291616( 2

3

)216(2 int =

  

 −⋅−−=q

Если количество поворотных точек р больше q, то условие случайности уровней

выполнено. В нашем случае р = 6, q = 6, значит условие случайности уровней ряда

остатков невыполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции).

Проверку проводим двумя методами:

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона;

б) по первому коэффициенту автокорреляции r1.

Проверка по d-критерию Дарбина-Уотсона. Для проверки по d-критерию

Дарбина-Уотсона рассчитаем значение d:

[ ] 76.2

)(

)1()(

1

2

2

2

= −−

= ∑

N

N

tE

tEtE d d = 4-2.76 = 1.24

Примечание. В случае если полученное значение больше 2, значит имеет место

отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняют, вычитая полученное

значение из 4.

Полученное (или уточненное) значение d сравнивают с табличными значениями

d1и d2. Для нашего случая d1=1.08, аd2=1.36.

7

Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть зависимы, модель

неадекватна;

Если d1<d<d2, то критерий Дарбина –Уотсона не дает ответа на вопрос о

независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться

другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому

коэффициенту автокорреляции).

Если d2<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

В нашем случае имеет место отрицательная автокорреляция.

1,08 < 1,24 < 1,36, область неопределенности. Данный критерий не дает ответ на

вопрос о независимости уровней ряда остатков.

Проверка попервому коэффициенту автокорреляции r(1).

Рассчитаем r1 по формуле

[ ] 4.0

)(

)1()(

1

2

2 1 −=

−⋅ =

N

N

tE

tEtE r

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции

меньше критического значения | r1 | < rтаб , то уровни ряда остатков независимы. Для

нашей задачи критический уровень rтаб = 0,32. Имеем:

| r1 | = 0,4 > rтаб = 0,32 значит уровни зависимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем

по RS – критерию.

Рассчитаем значение RS:

RS = ( Emax – Emin ) / S

где Emax - максимальное значение уровней ряда остатков E(t)

Emin - минимальное значение уровней ряда остатков E(t) (см. гр. 9 табл. 1)

S - среднее квадратическое отклонение

Emax = 2,36 Emin = - 1,63 , Emax – Emin = 2,36-(-1,63) = 3,99

8

041.1 15

24.16

1

)( 2 == −

= ∑ N

tE S

833.3 041.1

99.3 ==RS

Полученное значение RS сравнивают с табличными значениями, которые зависят от

количества точек N и уровня значимости. Для N=16 и 5% уровня значимости значение RS

для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21

Так как 3,00 < 3,833 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал.

Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, условия адекватности и точности выполнены не в полном объеме.

Следовательно, говорить об удовлетворительном качестве модели нельзя, но так как по

заданию необходимо провести прогноз показателя Yp(t) на 4 квартала вперед, то делать

прогноз будем исходя из построенной модели.

1.4. Оценка точности.

Т = 100% - ∆ср = 100 – 2,18 = 97,82 %, что больше 90%

Т.к. ∆ср = 2,18 < 5% - точность высокая.

1.5. Расчет прогнозных значений экономического показателя. Составим прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное

значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется

количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a(16) и b(16) (см. табл.1), по

формуле 1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t). Для

t=17 имеем:

Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+1·b(16)]*F(16-+1-4)=[a(16)+1·b(16)]·F(13)=

= [ 48,02 + 1 * 0,92]· 0,89 = 43,46

Аналогично находим Yp(18), Yp(19) и Yp(20) (см. гр. 8 табл. 1)

Таблица 1 Модель Хольта-Уинтерса

t

Ф

а

к

т

и

ч

е

с

к

и

е

з

н

а

ч

е

н

и

я

y

t

Р

а

с

ч

е

т

н

ы

е

з

н

а

ч

е

н

и

я

ŷ

t

=

a

0

+

b

0

t

yt/ŷt at bt Ft

М

о

д

е

л

ь

(

ŷ

)

А

б

с

о

л

.

о

ш

и

б

к

а

E

t

=

y

t

-

ŷ

t

Относит. ошибка

%100⋅−=∆ t

tt t y

yy

П

о

в

о

р

о

т

-

н

ы

е

т

о

ч

к

и

(

Р

)

Et 2 Et-Et-1

(

E

t

-

E

t

-

1

)

2

Et·Et-1 Et-Eср

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-3 0,86

-2 1,08

-1 1,27

0 33,89 0,77 0,79

1 30 34,67 0,87 34,78 0,81 0,86 29,69 0,31 1,04% - 0,10 0,04

2 38 35,44 1,07 35,45 0,77 1,08 38,47 -0,47 1,23% 0 0,22 -0,78 0,61 -0,15 0,33

3 45 36,21 1,24 35,98 0,70 1,26 46,00 -1,00 2,22% 0 1,00 -0,53 0,28 0,47 1,22

4 30 36,99 0,81 37,04 0,80 0,80 29,06 0,94 3,13% 1 0,88 1,94 3,76 -0,94 0,70

5 32 37,76 0,85 37,65 0,75 0,85 32,55 -0,55 1,72% 0 0,30 -1,49 2,22 -0,52 0,43

6 42 38,54 1,09 38,59 0,81 1,08 41,30 0,70 1,68% 1 0,50 1,25 1,57 -0,39 0,36

7 51 39,31 1,30 39,74 0,91 1,27 49,57 1,43 2,80% 0 2,03 0,72 0,52 1,00 1,74

8 31 40,08 0,77 40,03 0,72 0,79 32,63 -1,63 5,27% 1 2,67 -3,06 9,35 -2,33 3,02

9 36 41,18 0,85 0,87 34,81 1,19 3,31% 0 1,42 2,82 7,97 -1,94 1,18

10 46 42,16 0,89 1,09 45,52 0,48 1,04% 0 0,23 -0,71 0,51 0,57 0,14

11 55 43,09 0,90 1,28 54,82 0,18 0,33% 1 0,03 -0,29 0,09 0,09 0,01

12 34 43,78 0,84 0,78 34,57 -0,57 1,67% 0 0,32 -0,75 0,56 -0,10 0,45

13 41 45,43 1,08 0,89 38,64 2,36 5,75% 1 5,55 2,92 8,55 -1,34 5,07

14 50 46,35 1,03 1,08 50,60 -0,60 1,20% 0 0,36 -2,96 8,76 -1,42 0,50

15 60 47,28 1,00 1,27 60,42 -0,42 0,69% 1 0,17 0,19 0,04 0,25 0,27

16 37 48,02 0,92 0,77 37,68 -0,68 1,83% - 0,46 -0,26 0,07 0,28 0,61

43,46 1,68 34,90% 6 16,24 44,87 -6,47 16,07

53,99 0,11 2,18%

64,59 Max = 2,36

40,05 Min = -1,63

На рис. 1. проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же

показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперед. Из рисунка видно, что

расчетные данных хорошо согласуются с фактическими, что говорит об

удовлетворительном качестве прогноза.

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

55,00

60,00

65,00

70,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Квартал

Объем кредитов Модель

Фактические

2. Задание 2.

Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал

сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

− экспоненциальную скользящую среднюю;

− момент;

− скорость изменения цен;

− индекс относительной силы;

− %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на

основании имеющихся данных.

Дни Цены

Макс. Мин. Закрытия 1 765 685 750 2 792 703 733 3 740 706 733 4 718 641 666 5 680 600 640 6 693 638 676 7 655 500 654 8 695 630 655 9 700 640 693

10 755 686 750

500

550

600

650

700

750

800

850

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 дни

цена

Вывод: Тренд восходящий

12

2.1. Экспоненциальная скользящая средняя (EMA) При расчете EMA учитываются все цены предшествующего периода. Последним

значениям цены придается большое значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся

по формуле:

1)1( −⋅−+⋅= ttt EMAkCkEMA

где 1

2

+ =

n k ;

Сt – цена закрытия t-го дня,

EMAt – значение EMA текущего дня t.

Для определения момента купли и продажи финансового инструмента

руководствуются взаимным расположением двух скользящих средних с различными

интервалами сглаживания. Если быстрая скользящая средняя (т.е. с меньшим интервалом

сглаживания) пересекает снизу вверх медленную (с большим интервалом сглаживания),

целесообразно покупать. При обратной ситуации, когда быстрая скользящая средняя

пересекает медленную сверху вниз и идет под ней – надо продавать финансовый

инструмент. Этот метод дает хорошие результаты только в условиях явно выраженного

восходящего или нисходящего тренда. При отсутствии явно выраженного, устойчивого

тренда метод подает ложные сигналы, что приводит к потерям.

При n = 10

EMA1 750,00 EMA2 746,91 EMA3 744,38 EMA4 730,13 EMA5 713,74 EMA6 706,88 EMA7 697,27 EMA8 689,58 EMA9 690,20 EMA10 701,07

При n =5 EMA1 750,00 EMA2 744,33 EMA3 740,56 EMA4 715,70 EMA5 690,47 EMA6 685,65 EMA7 675,10 EMA8 668,40 EMA9 676,60

EMA10 701,07

13

660,00

680,00

700,00

720,00

740,00

760,00

EM A1

EM A2

EM A3

EM A4

EM A5

EM A6

EM A7

EM A8

EM A9

EM A1

0

Ц е н а

медленная

быстрая

Вывод: исходя из анализа данного показателя сложно сделать вывод покупать или продавать (лучшим вариантом было бы подождать дальнейшего изменения цены, и в зависимости от ее движения делать дальнейшие выводы).

2.2. Осцилляторы Альтернативой скользящим средним, работающим хорошо только в условиях

устойчивого тренда, являются осцилляторы. Подаваемые этими индикаторами сигналы

наиболее эффективны при бестрендовом рынке (боковом тренде). Кроме того, в период

устойчивого тренда они способны предсказывать разворот тренда.

2.2.1. Момент (momentum – MOM) Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня Ct и цены n дней

тому назад Ct-n

MOMt = Ct – Ct-n

где Ct – цена закрытия t-го дня,

МОМt – значение МОМ текущего дня.

Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен,

отрицательные – о снижении. Движение графика МОМ вверх из зоны отрицательных в зону

положительных значений в точке пересечения нулевой линии дает сигнал к покупке (в

случае нисходящего тренда ситуация развивается в обратном направлении).

14

МОМ6 -74 МОМ7 -79 МОМ8 -78 МОМ9 27 МОМ10 110

Вывод: начальные отрицательные значения свидетельствовали о снижении цен, последующие положительные значения – о росте цен. Движение графика МОМ из области отрицательных значений в область положительных (после восьмого дня) дает сигнал к покупке.

2.2.2. Скорость изменения цен.

Индикатор рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней

тому назад, выраженное в процентах.

%100⋅= −nt

t t C

C ROC

где Ct – цена закрытия t-го дня,

ROCt – значение ROC текущего дня.

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление

этого изменения. Правила работы ничем не отличаются от МОМ, но вместо нулевой линии

для принятия решения о купле или продаже используется уровень 100%. При пересечении

этого уровня снизу вверх надо покупать, а при пересечении сверху вниз – продавать

финансовый инструмент.

ROC6 85,33% ROC7 92,22% ROC8 89,22% ROC9 98,35%

ROC10 108,28%

Вывод: Показатель ROC дает сигнал на покупку после девятого дня.

15

2.2.3. Индекс относительной силы (RSI).

AD

AU RSI

+ −=

1

100 100

где AU –сумма приростов конечных цен за n последних дней,

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Значения RSI изменяются от 0 до 100. Этот индикатор может подавать сигналы либо

одновременно с разворотом цен, либо с опережением, что является неоценимым

достоинством данного индикатора.

Если значение RSI находится в пределах от 80 до 100 (так называемая «зона

перекупленности»), значит цены сильно выросли, надо ждать их падения и подготовиться к

продаже. Сигналом к продаже служит момент выхода графика RSI из зоны перекуплености.

Если значения RSI находятся в пределах от 0 до 20 (так называемая «зона

перепроданности»), значит цены упали слишком низка, надо ждать их роста и

подготовиться к покупке. Сигналом к покупке служит момент выхода графика RSI из зоны

перепроданности.

Расхождение между направлением движения цен и осциллятора (дивергенция)

указывает на близость разворота тренда. Особенно серьезным этот сигнал является, когда

осциллятор находится в критической области (перекупленности или перепроданности).

RSI5 0,00 RSI6 27,91 RSI7 23,84 RSI8 43,53 RSI9 77,32

RSI10 81,36

Вывод: Значения RSI после девятого дня перешли в зону перекуплености. Возможно цены

в будущем начнут падать, но готовиться к продаже еще рано, следует подождать момента

выхода графика RSI из зоны перекуплености.

16

2.2.4. Стахостические линии.

Если МОМ, ROC и RSI используют только цены закрытия, то стахостические линии

строятся с использованием более полной информации. При расчете используются также

максимальные и минимальные цены. Как правило, применяются следующие

стахостические линии: %К, %D, медленная %D и %R.

55

5100% LH

LC K t

− −⋅=

где %К – значения индекса текущего дня,

С5 – цена закрытия текущего дня t,

L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая

текущий (в качестве интервала может быть выбрано и другое число дней).

5 день 6 день 7 день C max C min C max C min C max C min

792 600 792 600 740 500

8 день 9 день 10 день C max C min C max C min C max C min

718 500 700 500 755 500

Индекс текущего момента %К

%К5 20,83% %К6 39,58% %К7 64,17% %К8 71,10% %К9 96,50%

%К10 98,04%

Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его

построении величины (Сt – L5) и (H5 – C5) сглаживают, беря их трехдневную сумму.

100 )(

)( %

2 5

2 5

⋅ −

− = ∑

−=

−= t

ti t

t

ti t

LH

LC D

%D7 41,53% %D8 58,28% %D9 77,26% %D10 88,55%

17

3. Задание 3.

1. Банк выдал ссуду, размером 1 000 000 руб. Дата выдачи ссуды – 18.01.02,

возврата – 12.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 15% годовых.

Найти: a) точные проценты с точным числом дней ссуды, b) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, c) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение:

I = P·n·i n = t/K

P – первоначальная сумма денег, i – ставка простых процентов, I – наращенные проценты n – срок ссуды (измеренный в долях года) К – число дней в году t – срок операции (ссуды) в днях t = 13 + 28 + 11 + 1 = 53

a) К = 365; t = 53; I = 1 000 000 · 0,15 · 53 / 365 = 21 780,82 руб. b) К = 360; t = 53; I = 1 000 000 · 0,15 · 53 / 360 = 22 083,33 руб.

t = 12 + 30 + 12 = 54

c) К = 360; t = 54; I = 1 000 000 · 0,15 · 54 / 360 = 22 500 руб. 2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 1 000 000 руб.

Кредит выдан под 15% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт? Решение:

ni SP

+ ⋅= 1

1

D = S – P

56.930232

360

18015.0 1

1 1000000 =⋅+

⋅=P руб.

D = 1 000 000 – 930232.56 = 69 767.44 руб.

19

3. Через 180 дней предприятие должно получить по векселю 1 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 15% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт. Решение:

D = S·n·d

P = S – D = S – S·n·d = S(1-n·d)

D = Snd = 1 000 000 · 0.15 · 180 / 360 = 75 000 руб. P = S – D = 1 000 000 – 75 000 = 925 000 руб.

4. В кредитном договоре на сумму 1 000 000 руб. и сроком 4 года, зафиксиро- вана ставка сложных процентов, равная 15% годовых. Определить наращенную сумму. Решение:

S = P (1+i)n

S = 1 000 000 · (1 + 0.15)4 = 1 749 006,25 руб.

5. Ссуда, размером 1 000 000 руб. предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка – 15% годовых. Проценты начисляются 2 раза в год. Вычислить наращенную сумму. Решение:

S = P(1+j/m)N

Число периодов начисления в году m=2

S = 1 000 000 · (1+0,15 / 2)8 = 1 783 477,8 руб.

6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 2 раза в году, исходя из номинальной ставки 15% годовых. Решение:

iэ = (1+j/m)

m – 1 Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.

iэ = (1+0,15/2) 2 – 1 = 0,156 т.е. 15,6%

20

7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении

процентов 2 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 15% годовых. Решение:

j = m[( 1+iэ ) 1/m – 1]

j = 2·[( 1+0.15)1/2 – 1] = 0,1448 т.е. 14,48%

8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 1 000 000 руб. Определить

ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 15% годовых. Решение:

n

n vS

i SP ⋅=

+ ⋅=

)1(

1

26,571753 )15.01(

1 1000000

4 =

+ ⋅=

P руб.

9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 1 000 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 15% годовых. Определить дисконт. Решение:

P = S(1 - dсл) n

где dсл – сложная годовая учетная ставка

P = 1 000 000 · (1 – 0,15)5 = 443 705,3 руб. D = S – P = 1 000 000 – 443 705,3 = 556 294,7 руб.

10. В течении 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 1 000000 (1 млн.), на которые 2 раза в году (m=2) начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

1)1(

1)1(

−+

−+ =

m

mn

m

j m

j

RS

482.4 1)

2

15.0 1(

1) 2

15.0 1(

1 2

42

= −+

−+ ⋅=

S млн.руб.

комментарии (0)
не были сделаны комментарии
Напиши ваш первый комментарий
это только предварительный показ
консультироваться и скачать документ