Vjerovatnoća: osnovni pojmovi, operacije, definicije, pravilo i Bayes-ova teorema, Skripte od Osnovi statistike

Preuzmite Vjerovatnoća: osnovni pojmovi, operacije, definicije, pravilo i Bayes-ova teorema i više Skripte u PDF od Osnovi statistike samo na Docsity! VJEROVATNOĆA Osnovni pojmovi Neke operacije sa slučajnim događajima Različite definicije vjerovatnoće Pravilo sabiranja vjerovatnoća (aditivno pravilo) Uslovna vjerovatnoća i nezavisnost događaja Vjerovatnoća uzroka (Bayes-ova teorema) Vjerovatnoća, kao izraz mjere očekivanja da se neki događaj desi, važno je uporište statističkog zaključivanja, koje se izvodi u uslovima manje ili veće neizvjesnosti. Teorija vjerovatnoće potpomaže zaključivanje u uslovima imperfektne informacije i neizvjesnosti. To se posebno odnosi na formulisanje metoda za zaključivanje o vrijednostima parametara populacije na osnovu informacije iz uzorka. 1 OSNOVNI POJMOVI Osnovni pojmovi u teoriji vjerovatnoće su: eksperiment, ishod i prostor uzorka, odnosno elementarnih događaja. 0 0 1 F Eksperi menti , su potpuno precizirane operacije posmatranja ili prikupljanja podataka, koje se u nepromijenjenim uslovima mogu ponavljati proizvoljno mnogo puta i čiji se ishod ne može sa sigurnošću predvidjeti. Realizacije eksperimenata su ishodi (elementarni događaji), kao skup unaprijed poznatih mogućnosti realizacije. U svakom pojedinom izvođenju eksperimenta realizuje se samo jedan ishod - elementarni događaj, što znači da su elementarni događaji međusobno isključivi. Prostor uzorka (prostor elementarnih događaja) je skup svih elementarnih događaja, a može se označiti kao: S = {e1, e2, ..., ei, ..., en}, ei F 0 C E S, 1 F 0 A 3 i F 0 A 3 n Slučajni događaj predstavlja podskup skupa elementarnih događaja, koji imaju neku zajedničku osobinu. Posmatrajmo bacanje kocke, čije su strane numerisane brojevima od 1 do 6. Elementarni događaji su brojevi od 1 do 6, koji čine prostor uzorka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Slučajni događaj čine jedan, dva ili više elementarnih događaja. Na primjer, slučajni događaj je A < dobijeni broj je neparan > , što se može zapisati kao A = {1, 3, 5}. Siguran događaj (S) jednak je skupu elementarnih događaja i realizuje se svaki put kada se izvodi određeni eksperiment. U ovom slučaju može se odrediti kao: S < dobijeni broj je manji od 7>. Nemoguć događaj (N) je onaj koji se ne može realizovati prilikom izvođenja nekog eksperimenta. Za eksperiment bacanja kocke nemoguć događaj može se odrediti kao: N < dobijeni broj veći je od 6 >. NEKE OPERACIJE SA SLUČAJNIM DOGAĐAJIMA Neka su dati događaji A i B. Kažemo da A implicira B ako se svaki put kada se ostvari događaj A ostvari i događaj B, što se označava sa: Događaji A i B su jednaki ako istovremeno A implicira B i B implicira A, što se označava sa: 2 2 2. (normiranost), 3. ako su uzajamno disjunktni događaji, tada je (-aditivnost). U prethodnoj definiciji osobine 1,2 i 3 su aksiome Kolmogorova. 1. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula, 2. Vjerovatnoća je konačno aditivna funkcija: ako su uzajamno disjunktni događaji, tada je 3. Vjerovatnoća suprotnog događaja: 4. Ako je , tada je 5. Za svako važi 6. Lema o pokrivanju ili Bulova nejednakost: 7. Za slučaj da je n=2, biće: 8. Neprekidnost vjerovatnoće: Ako je niz događaja monotono neopadajući, tj., onda je: Uređena trojka naziva se prostor vjerovatnoća ili vjerovatnosni model posmatranog stohastičkog eksperimenta. Ako je prostor ishoda nekog eksperimenta S diskretan (najviše prebrojiv), tj. , - polje je partitivni skup skupa S. Svakom elementarnom događaju možemo pridružiti vjerovatnoću tako da je: , j =1,2,... Vjerovatnoću proizvoljnog događaja definišemo kao zbir vjerovatnoća ishoda koji sačinjavaju događaj A: Može se dokazati da je uređena trojka prostor vjerovatnoća. Još se naziva diskretan prostor vjerovatnoća ili prekidan prostor vjerovatnoća. 4. Klasična definicija vjerovatnoće Kada je skup elementarnih događaja konačan i kad su svi ishodi jednako vjerovatni, tada se na jednostavan način može definisati vjerovatnoća slučajnog događaja. Neka je prostor elementarnih događaja konačan, tj. , - polje je skup svih podskupova od S. Svakom elementarnom događaju pridružimo vjerovatnoću , j = 1,2,..., n, tako da je: , Vjerovatnoća proizvoljnog događaja A sastavljena je od k elementarnih događaja koji se može predstaviti u obliku: , jednaka je: 5 Ako svakom elementarnom događaju pridružimo istu vjerovatnoću j = 1,2,..., n, dobijamo da je Navedena definicija vjerovatnoće poznata je kao klasična ili Laplasova definicija vjerovatnoće. PRAVILO SABIRANJA VJEROVATNOĆA (ADITIVNO PRAVILO) U slučajevima kada se određuje vjerovatnoća da se desi događaj E1 ili E2 ili događaj ... En, primjenjuje se pravilo sabiranja vjerovatnoća. U čisto praktičnom smislu, ovakvu kombinaciju očekivanja realizacije događaja prepoznajemo po upravo ovakvoj formulaciji ... "ili" ... "ili". Neka su događaji E1 i E2 slučajni događaji iz prostora elementarnih događaja S. Tada je vjerovatnoća njihove unije jednaka zbiru pojedinačnih vjerovatnoća tih događaja umanjenom za vjerovatnoću njihovog istovremenog ostvarenja: što predstavlja vjerovatnoću da će se ostvariti ili događaj E1 ili događaj E2. Ako su događaji E1 i E2 međusobno disjunktni (isključivi), tada je vjerovatnoća njihove unije jednaka zbiru njihovih pojedinačnih vjerovatnoća: , Za n događaja E1, E2, ... , En iz prostora elementarnih događaja S, vjerovatnoća njihove unije je: PRIMJER Posmatramo auto gume istog proizvođača. Većina guma je u skladu sa propisanim standardom u pogledu broja kilometara koje može da pređe. Neke gume su prešle manji ili veći broj kilometara. Analizom broja pređenih kilometara za 200 slučajno izabranih auto guma ustanovljeno je sljedeće: Broj pređenih kilometara Događaj Broj auto guma Vjerovatnoća pojavljivanja Manja od propisane E1 14 0,070 Propisana E2 178 0,890 Veća od propisane E3 8 0,040 200 1,000 Pitanje koje se postavlja je: kolika je vjerovatnoća da će slučajno izabrana 6 6 auto guma imati broj pređenih kilometara manji ili veći od propisanog? Izbor auto gume sa brojem kilometara manjim od propisanog označimo kao događaj E1, a izbor gume sa brojem kilometara većim od propisane sa E3. Događaji su međusobno isključivi (disjunktni), jer neka auto guma ne može istovremeno da ima broj kilometara i manji i veći od propisane. Vjerovatnoća da izabrana guma ne bude sa propisanim brojem kilometara (da ima broj pređenih kilometara ili manji ili veći od propisanog), je: . PRIMJER Iz špila karata slučajno se izvlači jedna karta. Kolika je vjerovatnoća da izvučena karta bude dama ili karta pik? Označimo događaje i njihove odgovarajuće vjerovatnoće: - E1 izvučena karta je dama P(E1) = 4/52 = 0,077, - E2 izvučena karta je karta pik P(E2) = 13/52 = 0,250, - izvučena karta je dama pik 1/52 = 0,019. Prema ranije datom izrazu vjerovatnoća da izvučena karta bude dama ili karta pik iznosi: . USLOVNA VJEROVATNOĆA I NEZAVISNOST DOGAĐAJA Za dva događaja E1 i E2 uslovna vjerovatnoća označava se sa P(E2/E1) i predstavlja vjerovatnoću ostvarenja događaja E2 pod uslovom da se ostvario događaj E1. Ova vjerovatnoća određuje se pomoću izraza: uz uslov da je P(E1) > 0. Nezavisni događaji su oni kod kojih ostvarenje ili neostvarenje jednog događaja nema uticaja na vjerovatnoću ostvarenja drugog događaja, tako da je: F 0D 9 . Ovo se može iskazati i na sljedeći način: dva događaja E1 i E2 su nezavisni ako je: , Odnosno, dva događaja su nezavisna ako je vjerovatnoća njihovog istovremenog ostvarenja jednaka proizvodu njihovih pojedinačnih vjerovatnoća. PRIMJER Jedan proizvođač automobila sagledava žalbe u vezi sa kvalitetom svog 7 Dužina staža u servisu (godina) Odgovor do 1 1-5 6-10 preko 10 Ukupno Ostaje u servisu 6 16 4 37 63 Prelazi u drugi servis 11 6 4 16 37 17 22 8 53 100 Kolika je vjerovatnoća da slučajnim izborom jednog mehaničara izaberemo onog koji bi prešao u drugi servis, a koji u konkretnom servisu radi više od 10 godina? Prvi događaj D označava sve one mehaničare koji bi prešli u drugi servis, a njegova vjerovatnoća je . Drugi događaj K je da izabrani mehaničar ima više od 10 godina staža u servisu, čija je vjerovatnoća . Događaj je izbor mehaničara koji bi prešao u drugi servis, a koji radi više od 10 godina u servisu, čija vjerovatnoća je . Konačno, vjerovatnoća da slučajnim izborom jednog mehaničara dobijemo onog koji bi prešao u drugu firmu, a koji radi više od 10 godina u predmetnom servisu, prema izrazu (3.19) je: Ovaj rezultat mogao se dobiti i kao prosta vjerovatnoća, jer se jasno vidi da je od ukupnog broja anketiranih mehaničara (100) njih 16 bilo u grupi koja bi promijenila firmu, a koji više od 10 godina rade u posmatranom auto serisu. VJEROVATNOĆA UZROKA (BAYES-OVA TEOREMA) Vrlo često nas zanima vjerovatnoća uzroka nekog događaja. Tako, na primjer, ako smo kontrolom proizvodnje auto dijelova ustanovili da je neki od njih neispravan, postavlja se pitanje, na kojoj mašini je proizveden ili koji ga je radnik proizveo. U slučaju kad automobil ne može da upali, postavlja se pitanje zbog čega: da li se akumulator ispraznio, da li je u pitanju kvar na elektro instalacijama ili je nešto treće u pitanju. U ovakvim slučajevima određivanje vjerovatnoće uzroka jedan je od načina njihovog otkrivanja. Neka su dati događaji D1, D2, ... , Dk, koji su međusobno disjunktni: F 06 6 , F 0 2 2 i, j , a čija unija predstavlja siguran događaj, odnosno neki potpun prostor elementarnih događaja: , i = 1, ..., k. Tada je vjerovatnoća događaja X koji se realizuje pod uslovom da se realizovao jedan i samo jedan od događaja D1, D2, ... , Dk : 10 10 Prema pravilu množenja vjerovatnoća važi: . Odavde se uopštavanjem dobija opšti oblik Bayes-ove teoreme: Pri tome se događaji D1, D2, ... , Dk smatraju uzrocima događaja X koji je, dakle, njihova posljedica. Zato se ova vjerovatnoća označava kao vjerovatnoća uzroka. Treba uočiti da su vjerovatnoće a priori, a vjerovatnoće a posteriori, što u konačnom rezultatu daje a posteriorne vjerovatnoće, koje pokazuju da je neki od događaja D1, D2, ... , Dk bio uzrok nastanka događaja X. Ova teorema posebnu primjenu nalazi prilikom određivanja vjerovatnoće nekih događaja za koje je poznata vjerovatnoća uzroka njihovog nastanka. PRIMJER Proizvođač automobila ugrađuje, pored ostalih dijelova, i jedan mikročip, kojeg nabavlja od tri proizvođača, S, Q i T, i to 35% od proizvođača S, 25% od proizvođača Q i 40% od proizvođača T. Na osnovu ranijih iskustava poznato je da je učešće neispravnih mikročipova kod proizvođača S 3%, kod proizvođača Q 4%, a kod proizvođača T 2%. Mikročip se skladišti bez posebnog označavanja, tako da se ne razaznaje od kog je proizvođača. Slučajno je izabran jedan mikročip i ustanovljeno je da je neispravan. Kolika je vjerovatnoća da je proizveden kod proizvođača Q? Tri događaja i odgovarajuće (apriorne) vjerovatnoće su: D1– mikročip nabavljen od proizvođača S ; D2 – mikročip nabavljen od proizvođača Q; D3 – mikročip nabavljen od proizvođača T . Posebna je informacija da je mikročip neispravan, tako da je događaj X da je slučajno izabrani mikročip neispravan. Uslovne vjerovatnoće (aposteriorne), da je neispravan mikročip proizveden kod određenog proizvođača, na osnovu ranijih iskustava su: neispravan mikročip proizveden je kod proizvođača S; neispravan mikročip proizveden je kod proizvođača Q; neispravan mikročip proizveden je kod proizvođača T. Mikročip se slučajno bira iz skladišta i nije poznato ko je proizvođač. Zadatak je da se odredi vjerovatnoća da je neispravan mikročip 11 proizveden kod proizvođača Q, odnosno . Ova vjerovatnoća može da se izračuna na osnovu izraza: . Ovo znači da je vjerovatnoća da je slučajno izabrani neispravan mikročip proizveden kod proizvođača Q 0,3509, odnosno u 35,1% slučajeva može se očekivati da je neispravan mikročip proizveden kod proizvođača Q. U sljedećoj tabeli dat je pregled svih događaja i vjerovatnoća za ovaj primjer: Događaj Di Apriorna vjerovatnoća P(Di) Uslovna vjerovatnoća P(X/Di) Zajednička vjerovatnoća P(Di) P(X/Di) Aposteriorna vjerovatnoća P(Di/X) S - D1 0,35 0,03 0,0105 0,0105/0,0285 = 0,3684 Q - D2 0,25 0,04 0,0100 0,0100/0,0285 = 0,3509 T - D3 0,40 0,02 0,0080 0,0080/0,0285 = 0,2807 1,00 - P(X) = 0,0285 1,0000 Vjerovatnoća da je neispravan mikročip proizveden kod proizvođača S je 0,3684, a kod proizvođača T je 0,2807. U čisto praktičnom smislu, ove informacije za konkretnog proizvođača automobila mogu da imaju izuzetno važno značenje u organizaciji nabavke i proizvodnje. 12 12