Kombinatorika zadaci, Vežbe od Matematika

Preuzmite Kombinatorika zadaci i više Vežbe u PDF od Matematika samo na Docsity! 1 Kombinatorika – zadaci 1. Reši nejednačine: a) ( 2)! 72 ! n n + = b) ( 1)! 30 ( 1)! n n + = − c) (2 )! 20 ! (2 3)! ( 2)! x x x x = − − Rešenja: a) ( 2)! 72 ! n n + = ( 2)! 72 ! ( 2)( 1) ! n n n n n + = + + ⋅ !n 2 2 2 1,2 1 2 72 ( 2)( 1) 72 2 2 72 0 3 70 0 4 3 9 280 3 17 2 2 2 14 7 2 20 10 Ne može 2 7 n n n n n n n b b ac n a n n n = + + = + + + − = + − = − ± − − ± + − ± = = = = = − = = − → = b) ( 1)! 30 ( 1)! n n + = − ( 1)! 30 ( 1)! ( 1) ( 1)! n n n n n + = − + ⋅ ⋅ − ( 1)!n − 2 1 2 30 ( 1) 30 30 0 5 6 Negativan broj, nije rešenje. 5 n n n n n n n = + ⋅ = + − = = = − → = 2 c) (2 )! 20 ! (2 3)! ( 2)! x x x x = − − (2 )! 20 ! (2 3)! ( 2)! (2 ) (2 1) (2 2) (2 3)! x x x x x x x x = − − ⋅ − ⋅ − − (2 3)!x − 20 ( 1) ( 2)!x x x⋅ ⋅ − ⋅ − = ( 2)!x − 2 (2 1) 2 ( 1)x x x⋅ − ⋅ − 20 ( 1)x x= ⋅ − 2 (2 1) 2 20 ..................../ : 4 2 1 5 2 6 3 x x x x x x x ⋅ − ⋅ = − = = = 2. Reši nejednačine: a) 2 5 7 nV n= + b) 13 37 6 x xV V +⋅ = ⋅ c) 2 4 43 4: 2 : 3 x xV V+ + = Rešenja: a) 2 5 7 nV n= + 2 2 2 1,2 1 2 5 7 ( 1) 5 7 5 7 0 6 7 0 6 64 6 8 2 2 7 1 7 n V n n n n n n n n n n n n izbacimo n = + − = + − − − = − − = ± ± = = = = − → = b) 13 37 6 x xV V +⋅ = ⋅ 1 3 37 6 7 ( 1)( 2) 6 ( 1) ( 1) Pokratimo šta može 7 x xV V x x x x x x x +⋅ = ⋅ ⋅ − − = ⋅ + − → ⋅ ( 1)x − ( 2) 6 ( 1)x x x− = ⋅ + ( 1)x − 7( 2) 6( 1) 7 14 6 6 7 6 6 14 20 x x x x x x x − = + − = + − = + = 5 Rešenja: ( 1)! 72 ( 3)! ( 1)( 2) ( 3)! n n n n n − < − − − − ( 3)!n − 2 2 72 ( 1)( 2) 72 2 2 72 0 3 70 0 n n n n n n n < − − < − − + − < − − < Najpre rešimo kvadratnu jednačinu: 2 1,2 1 2 3 70 0 3 17 10 7 2 n n n n n − − = ± = → = ∧ = − Kvadratni trinom ima znak broja a svuda osim izmedju nula. Pošto je nejednačina 2 3 70 0n n− − < biramo gde je minus: ( 7,10)n∈ − Nama trebaju prirodni brojevi, pa je korekcija {1,2,3,4,5,6,7,8,9}n∈ U zadatku imamo : ( 1)! 1 0 1 3 ( 3)! 3 0 3 n n n n n n n − → − ≥ → ≥  → ≥ − → − ≥ → ≥  Pa kad izvršimo još jednu korekciju , dobijamo konačno rešenje: {3,4,5,6,7,8,9}n∈ b) ( 2)! 100 ( 1)( 2) y y y + < + + ( 2)! 100 ( 1)( 2) ( 2) y y y y + < + + + ( 1)y + ! ( 1) y y + ( 2)y + 100 ! 100y < < Da se podsetimo: 1!=1 , 2!=2*1=2, 3!=3*2*1=6, 4!=4*3*2*1=24, 5!=5*4*3*2*1=120 Očigledno je {1, 2,3,4}y∈ Može i 0! =1<100, al nam traže samo prirodne brojeve! 6 c) 5 3 n nC C< 5 3 2 ( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2) Pazi, kod nejednačina nema skraćivanja. 5 4 3 2 1 3 2 1 ( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2) 0 5 4 3 2 1 3 2 1 ( 1)( 2) ( 3)( 4) 1 0 3 2 1 5 4 ( 1)( 2) 7 6 n nC C n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n < − − − − − − < → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − − − − − < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − −  − <  ⋅ ⋅ ⋅  − − − + 2 2 12 1 0 20 ( 1)( 2) 7 12 20 0 6 20 ( 1)( 2) 7 8 0 6 20 n n n n n n n n n n   − <     − − − + − <     − − − − <    Da rastavimo kvadratni trinom na činioce.... 2 1 2 2 7 8 0 1 8 7 8 0 ( 1)( 8) 0 n n n n n n n n − − = = − ∧ = − − = → + − = Vraćamo se na zadatak: 2( 1)( 2) 7 8 0 6 20 ( 1)( 2)( 1)( 8) 0 120 ( 1)( 2)( 1)( 8) 0 n n n n n n n n n n n n n n n  − − − − <    − − + − < − − + − < Nama treba gde su minusi ( crveno ), i biramo samo prirodne brojeve : (2,8) {3,4,5,6,7}n n∈ → ∈ Pogledajmo početak zadatka : 5 3 n nC C< , on nam govori da je n veće ili jednako 5. Dakle, rešenja su : {5,6,7}n∈ 7 5. Odrediti k i n ako je : 24 4n nk kV C= ∧ = Rešenje: 24 4 24 4 ! 6 3 jer je 3! 3 2 1 6 ! ! n n k k n n k k V C V C k k k k = ∧ = = → = → = → = = ⋅ ⋅ = Sad se vratimo da nadjemo n: 3 24 ( 1)( 2) 24 nV n n n = − − = Proizvod tri uzastopna prirodna broja je 24. Jasno je da je 24 4 3 2 4n= ⋅ ⋅ → = 6. Reši sistem jednačina: 2 1 20m m m k k V C C + = = Rešenje: Nadjemo vrednost za m iz prve jednačine: 2 2 1 2 20 ( 1) 20 20 0 5 4 mV m m m m m m = − = − − = = = − 5m = Zamenimo ovu vrednost u drugu jednačinu: 1 5 5 1 m m k k k k C C C C + + = = Podsetimo se da važi ( )C CΘ ΘΩ Θ−Ω= →Ω+ Θ−Ω = Ω , to jest , zbir dva donja daje gornji broj. Da bi ovo važilo mora da je ( 1) 5 2 1 5 2k k k k+ + = → + = → = Rešenje sistema je 5m = i 2k = .