Berechnung von Körpervolumen: Arbeitsblatt mit Lösungen, Übungen von Geometrie

Nur auf Docsity: Lade Berechnung von Körpervolumen: Arbeitsblatt mit Lösungen und mehr Übungen als PDF für Geometrie herunter! Seite 1 Berechnung von Körpervolumen Station 1 1. Berechne Rauminhalt, Oberflächeninhalt und die gesamte Kantenlänge des in der untenstehenden Abbildung dargestellten Körpers. Alle Längen sind in cm angegeben. Lösung: Lösung: V = ........................ V = ................... O = ……………... O = ………….. k = ....................... k = .................. Lösung: Lösung: V = ....................... V = ....................... O = ....................... O = ....................... k = ....................... k = ....................... Lösung: V = ....................... O = ....................... k = ....................... Seite 2 Berechnung von Körpervolumen Station 2 1. Berechne Rauminhalt, Oberflächeninhalt und die gesamte Kantenlänge des in der untenstehenden Abbildung dargestellten Körpers. Alle Längen sind in cm angegeben. Fertige gegebenenfalls vor Beginn jeder Aufgabe eine kleine Skizze an . Vergiss nicht, eventuelle Zwischenschritte zu kommentieren und achte auf den richtigen Gebrauch der Maßeinheiten. 2. Ein Lastwagen mit einer Ladefläche von 3,00m x 1,80m ist 40cm hoch mit Sand beladen. Wie viel m3 Sand sind auf dem Lastwagen? Antwort: ___________________________ 3. Im Schwimmbad ist das große Becken 50 m lang und 20 m breit, die Wassertiefe beträgt 2,40m. Wie viel m3 Wasser sind in dem Becken? Antwort: ___________________________ Lösung: V = ....................... O = ....................... k = ....................... Lösung: V = ....................... O = ....................... k = ....................... Lösung: V = ....................... O = ....................... k = ....................... Seite 5 Berechnung von Körpervolumen Station 5 1. Welches Volumen haben die zusammengesetzten Körper? 2. Welche Kantenlänge hat ein Würfel mit dem Volumen a) V = 27 cm3 b) V = 216 cm3 c) V = 125 cm3 3. Das Becken im städtischen Freibad wird zu Beginn der Freibadsaison wieder gefüllt. Wie viel Liter Wasser wird für das Becken benötigt, wenn es randvoll werden soll? 4. Berechne die Höhe des Körpers, wenn das Volumen V = 120cm³ beträgt. Seite 6 Berechnung von Körpervolumen Lösung Station 1 1. Berechne Rauminhalt, Oberflächeninhalt und die gesamte Kantenlänge des in der untenstehenden Abbildung dargestellten Körpers. Alle Längen sind in cm angegeben. Linker Körper: (Anmerkung: hier wird zuerst das gesamte Körpervolumen ausgerechnet und dann werden die fehlenden Teile abgezogen. Es sind aber auch andere Rechenwege möglich.) V = 27 cm ∙ 36 cm ∙ 7 cm – ( 12 cm ∙ 9 cm ∙ 7 cm ) – ( 9 cm + 9 cm ) ∙ 12 cm ∙ 7 cm = 6804 cm3 – 756 cm3 – 1512 cm3 = 4536 cm3 O = 2 ∙ (27 ∙ 7) + 2 ∙ ( 36 ∙ 7 ) + 2 ∙ [ 36 ∙ (27 – 18 ) + (36 – 12 ) ∙ 9 + (36 – 24 ) ∙ 9 ] = 378 + 504 + 2 [ 324 + 216 + 108] = 882 + 2 ∙ 648 = 882 + 1296 = 2178 cm2 k = 2 ∙ ( 36 + 27 + 36 + 27 ) + 8 ∙ 7 = 2 ∙ 126 + 56 = 252 + 56 = 308 cm Rechter Körper: (Anmerkung: Hier ist es am einfachsten vom Volumen des gesamten Körpers das „Loch“ abzuziehen.) V = 50 cm ∙ 20 cm ∙ 40 cm – 30 cm ∙ 20 cm ∙ 20 cm = 40.000 cm3 – 12.000 cm3 = 28.000 cm3 O = 2 ∙ 50 cm ∙ 20 cm + 2 ∙ 20 cm ∙ 40 cm + 2∙ 50 cm ∙ 40 cm + 2 ∙ 20 cm ∙ 20 cm = 2000 cm2 + 1600 cm2 + 4000 cm2 + 800 cm2 = 8400 cm2 k = 4 ∙ 40 cm + 4 ∙ 20 cm + 4 ∙ 50 cm + 4 ∙ 30 cm + 8 ∙ 20 cm = 160 cm + 80 cm + 200 cm + 120 cm + 160 cm = 720 cm Seite 7 Linker Körper: V = 8 ∙ 5 ∙ 18 + (18 – 10 ) ∙ 8 ∙ 8 + (17 + 11) ∙ 12 ∙ 8 – (5 + 8 +12 – 20) ∙ 11 ∙ 8 = 720 + 512 + 2688 – 440 = 3480 cm3 O = 18 ∙ 8 + 10 ∙ 8 + (17 + 11 – 8) ∙ 8 + (17 + 11) ∙ 8 (alle senkrechten Flächen (grau)) + 2 ∙ [5 ∙ 18 + 8 ∙ 8 + (20 – 5 – 8 ) ∙ (11 + 17) + ( 12 + 8 + 5 – 20 ) ∙ 17 ] (vorne u hinten) + 25 ∙ 8 + 25 ∙ 8 = (oben und unten) 144 + 80 + 160 + 224 + 2 ∙ [ 90 + 64 + 196 + 85 ] + 200 + 200 = = 608 + 870 + 400 = 1878 cm2 k = 2 ∙ ( 18 + 5 + 10 + 8 + 20 + 12 +17 + 5 + 11 + 20 ) + 10 ∙ 8 = 2 ∙ 126 + 80 = 252 + 80 = 332 cm Rechter Körper: V = 50 cm ∙ 20 cm ∙ 20 cm + 20 cm ∙ 20 cm ∙ 35 cm = 20 000 cm3 + 14 000 cm3 = 34 000 cm3 O = 20 cm ∙ 50 cm ∙ 3 + 30 cm ∙ 20 cm + 20 cm ∙ 20 cm + (vorderer Quader) 20 cm ∙ 35 cm ∙ 3 + 20 cm ∙ 20 cm ∙ 2 + 15 cm ∙ 20 cm (hinterer Quader) = 3000 cm2 + 600 cm2 + 800 cm2 + 2100 cm2 + 800 cm2 + 300 cm2 = 7600 cm2 k = 585 cm Rechnung: V = 40 m ∙ 70 m ∙ 20 m – 40 m ∙ 20 m ∙ 20 m = 56000 m3 – 16000 m3 = 40000 m3 O = 2 ∙ (40 cm ∙ 70 cm – 20 cm ∙ 40 cm) + 2 ∙ 70 cm ∙ 20 cm + 2 ∙ 40 cm ∙ 20 cm = 2 ∙ ( 2800 cm2 – 800 cm2) + 2800 cm2 + 1600 cm2 = 8400 cm2 k = 560 cm Berechnung von Körpervolumen Lösung Station 2 1. Berechne Rauminhalt, Oberflächeninhalt und die gesamte Kantenlänge des in der untenstehenden Abbildung dargestellten Körpers. Alle Längen sind in cm angegeben. Rechnung: V = 15 cm ∙ 25 cm ∙ 10 – 10 cm ∙ 10 cm ∙ 8 cm = 3750 cm3 – 800 cm3 = 2950 cm3 O = 2 ∙ 25 ∙15 – 2 ∙ 10 ∙ 8 + 2 ∙ 10 ∙15 + 2 ∙ 25 ∙ 10 + + 2 ∙ 10 ∙ 10 + 2 ∙ 10 ∙ 8 = = 750 cm2 – 160 cm2 + 300 cm2 + 500 cm2 + 200 cm2 + 160 cm2 = = 1750 cm2 k = 4 ∙ 25 cm + 4 ∙ 15 cm + 4 ∙ 10 cm + 4 ∙ 10 cm + 4 ∙ 8 cm + 4 ∙ 10 cm = = 100 cm + 60 cm + 40 cm + 40 cm + 32 cm + 40 cm = 312 cm Seite 10 Berechnung von Körpervolumen Lösung Station 4 1. In einem Park befindet sich ein Blumenbeet in Form einer Raute. a) Berechne die Fläche des Beetes A = (8 m · 6 m) : 2 = 24 m2 b) Es soll neue Blumenerde in einer Schicht von 10 cm eingefüllt werden. Berechne das Volumen der Erde V = 24 m2 · 0,1 m = 2,4 m3 c) Ein Sack Blumenerde hat 50 l. Wie viel Säcke braucht man? Umrechnung: 50 l = 50 dm3 = 0,05 m3 2,4 m3 : 0,05 m3 = 48 Es werden 48 Säcke Blumenerde benötigt. 2. Berechne das Volumen und die Oberfläche der abgebildeten Körper. a) O = 2 · (3 · 6 + 3 · 5 + 6 · 5) cm2 = 2 ∙ ( 18 + 15 + 30) cm2 = 2 ∙ 63 cm2 = 126 cm2 V = 3 cm · 5 cm · 6 cm = 90 cm3 b) O = 2 · 1 2 · 4 · 3,46 cm2 + (4 cm + 4 cm + 4 cm ) · 5 cm = 13,84 cm2 + 60 cm2 = 73,84 cm2 V = 1 2 · 4 cm · 3,46 cm · 5 cm = 6,92 cm2 ∙ 5 cm = 34,6 cm3 c) O = 2 · 1 2 · (5 cm + 3 cm) · 2 cm + 5 cm · (5 cm + 2 cm + 3 cm + 2,83 cm) = 16 cm2 + 5 ∙ 12,83 = 16 cm2 + 64,15 cm2 = 80,15 cm2 V = 1 2 · (5 cm + 3 cm) ∙ 2 cm · 5 cm = 8 cm2 ∙ 5 cm = 40 cm3 3. Berechne das Volumen VQuader = 11 m · 6 m · 4 m = 264 m3 VTrapez = ( (11 m−2∙3 m)+(11 m−2 ∙ 3,16 m) 2 ∙ 3 m) ∙ 6 m = = ( 5 m + 4,68 m 2 ∙ 3 m) ∙ 6 m = 4,84 m ∙ 3 m ∙ 6 m = 87,12 m3 264 m3 – 87,12 m3 = 176,88m3 4. Welches Volumen hat der zusammengesetzten Körper? Der zusammengesetzte Körper besteht aus 8 Quadern mit a = 4 cm, b = 4 cm und c = 2 cm: V gesamt = 8 ∙ (4 cm · 4 cm · 2 cm) V gesamt = 256 cm3 Seite 11 Berechnung von Körpervolumen Lösung Station 5 1. Welches Volumen haben die zusammengesetzten Körper? a) Vges = 2 · (300 · 120 · 50) + 200 · 120 · 50 = 2 ∙ 1800000 + 1200000 Vges = 4800000 mm3 = 4800 cm3 b) Vges = 2 · (120 · 240 · 10) + 10 · 240 · 180 = = 2 ∙ 288000 + 432000 Vges = 1008000 mm3 = 1008 cm3 2. Welche Kantenlänge hat ein Würfel mit dem Volumen a) V = 27 cm3 a = 3 cm ➔ 3 cm ∙ 3 cm ∙ 3 cm = 27 cm3 b) V = 216 cm3 a = 6 cm ➔ 6 cm ∙ 6 cm ∙ 6 cm = 216 cm3 c) V = 125 cm3 a = 5 cm ➔ 5 cm ∙ 5 cm ∙ 5 cm = 125 cm3 3. Das Becken im städtischen Freibad wird zu Beginn der Freibadsaison wieder gefüllt. Wie viel Liter Wasser wird für das Becken benötigt, wenn es randvoll werden soll? VQu = 25 m · 12 m · 3,5 m = 1050 m3 VTrap = (6 m + 12 m) 2 ∙ 1,5 m ∙ 12 m = 9 m ∙ 1,5 m ∙ 12 m = 162 m3 VGes = VQu – VTrap = 1050 m3 – 162 m3 = 888 m3 4. Berechne die Höhe des Körpers, wenn das Volumen V = 120 cm3 beträgt. AG = 6 · 8 2 = 24 cm2 V = AG · h 120 = 24 · h | : 24 h = 5 cm