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z in cm
t in s
4.1. Prüfungsaufgaben zu Wellen
Aufgabe 1: Wellengleichung (5)
Im Ursprung des Koordinatensystems schwingt ein Erreger mit y(0;t) = 4 cm∙sin^2 t 3
(^) mit t in Sekunden. Er erzeugt eine
Transversalwelle, die sich mit c = 40 cm/s ausbreitet. a) Wie groß sind die Periodendauer und die Wellenlänge der Welle? (1) b) Zeichne die Welle für die Zeitpunkte t 1 = 3 s und t 2 = 4 s in ein gemeinsames Koordinatensystem. (2) c) Formuliere die Ort-Zeit-Funktionen für die Schwingungen an den Stellen x 1 = 30 cm und x 2 = 60 cm. (2)
Lösungen:
a) ω = π∙Hz ⇒ T =^2
= 3 s und λ = c∙T = 120 cm. (1)
b) Skizze: (2)
c) y(30 cm; t) = −4 cm∙ cos^2 t 3
(^) und y(60 cm; t) = −4 cm∙ sin (^2) t 3
Aufgabe 2: Wellengleichung (14) Die Bugwelle eines Frachtschiffes auf dem 50 m breiten Mittellandkanal lässt sich angenähert mit der Gleichung z(x,y;t) = 0,5∙cos[π(t – x – y)] beschreiben, wobei die z-Achse nach oben, die y-Achse in Fahrtrichtung und die x-Achse senkrecht zur Fahrtrichtung nach rechts weisen. Ente Daisy hat sich vom Ufer aus 10 m auf die Wasserfläche zurückgezogen und beobachtet misstrauisch Boxer Killer, der nichtsahnend auf der nur 30 cm hohen Kanalwand vor sich hin döst. Zur Zeit t = 0 befinden sich Schiffsbug, Daisy und Killer gemeinsam auf der x-Achse. a) Skizziere Frachtschiff, Daisy und Killer im Augenblick t = 0. (4) b) Bestimme Periodendauer, Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle für y = 0, d.h. in x-Richtung senkrecht zur Fahrtrichtung. (3) c) Bestimme Periodendauer, Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle für x = 0, d.h. in y-Richtung parallel zur Fahrtrichtung. (1) d) Bestimme Periodendauer, Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in Ausbreitungsrichtung der Welle. (1) e) Skizziere ein vollständig beschriftetes z-t-Diagramm für Daisys Position (x = 15 und y = 0) in dem Zeitraum, in dem die erste Bugwelle unter ihr durchläuft. (4) f) Wird Killer nass und wenn ja, zu welchem Zeitpunkt? (2)
Aufgabe 2: Wellengleichung (14) a) Beschriftete Skizze: siehe rechts (4) b) Amplitude y 0 = 0,5 m; Winkelgeschwindigkeit ω = π s−^1 Periodendauer T =^2
= 2 s (1) Wellenlange λ = 2 m (1) Ausbreitungsgeschwindigkeit c = T
= 1m s
c) Ebenso wie b) (1) d) c = 2 m/s, λ = 2 m und T bleibt gleich (1) e) Beschriftete Skizze: siehe rechts (4) Beachte, dass die Welle ca. 0,5 Sekunden vorher ankommt, wobei das Zusammenschieben des Wasser in der ersten halben Sekunde vor Beginn der eigentlichen „Sinus“-Welle gar nicht durch die Gleichung beschrieben wird! f) Da die Welle höher ist als die Kanalwand, (1) wird er nach 25 Sekunden nass. (1)
x/cm
y/cm
x
y
1 m/s
1 m/s m/s
Aufgabe 3: Interferenz (5)
Bestimme die Phase und die Amplitude der Welle, die durch Interferenz von y 1 (x;t) = 2∙ sin 2 t x
^
(^) und
y 2 (x;t) = 3∙ cos 2 t x
^
(^) entsteht und zeichne ein Zeigerdiagramm.
Lösung
Mit cos(x) = sin(x + 2
) erhält man y 1 + y 2 = 2∙e iπ/3 (^) + 3∙ei2π/3 (^) = 4,36∙ei96,58°
⇒ Amplitude A ≈ 4,36 und Phasenverschiebung α ≈ 96,58° (2) Zeigerdiagramm: (3)
Aufgabe 5a: Reflexionsgesetz (8) Erkläre und begründe das Reflexionsgesetz mit Hilfe des Huygensschen Prinzips und des Kongruenzsatzes ssw anhand einer Skizze
Lösung: Beschriftete Skizze mit zwei Wellenfronten und zwei rechtwinkligen Dreiecken. (4) Die von links im Einfallswinkel α zur Senkrechten einlaufende Welle erzeugt mit ihren ersten zwei Wellenfronten im Abstand von λ/sin(α) auf der Reflexionsfläche zwei halbkreisförmige neue Wellenfronten im Ausfallswinkel α‘ zur Senkrechten. Da die beiden rechtwinkligen Dreiecke in einem Winkel (dem rechten) und den beiden Seitenlängen λ bzw. λ/sin(α) übereinstimmen, sind sie kongruent und die beiden Winkel α und α‘ stimmen ebenfalls überein: Einfallswinkel α = Ausfallswinkel α‘. (4)
Aufgabe 5b: Brechungsgesetz (5) Erkläre und begründe das Brechungsgesetz mit Hilfe der Skizze rechts:
Lösung: Parallele Linien als Wellenfronten interpretieren. (1) Verringerung der Wellenlänge durch Abnahme der Wellcehgeschwindigkeit c = λ∙f bei gleichbleibender Frequenz f im optisch dichteren Medium (2) Durch Betrachtung der beiden gefärbten Dreiecke erhält man
1 1 1 2 2 2 2 1
sin( ) c n sin( ) c n
Aufgabe 6a: Beugung a) Legt man Flurins Haar in den Strahlengeng eines Lasers mit einer Wellenlänge von 600 nm, so sieht man in 1 m Entfernung eine Punktreihe mit dem Abstand 1 cm. Wie dick ist Flurins Haar? b) Rotes Licht mit der Wellenlänge λ = 700 nm tritt durch einen 1 mm dicken Spalt auf einen 1 m entfernten Schirm. Wie weit ist das Beugungsmaximum 1. Ordnung vom Hauptmaximum entfernt? c) Wie ändert sich das Beugungsbild, wenn der 1 mm dicke Spalt durch zwei 10 μm dicke und ebenfalls 1 mm voneinander entfernte Spalte ersetzt wird? Begründe anhand einer Skizze.
Lösungen:
a) d = λ∙
B
b
= 60 μm
b) d / 2
=B
b
⇒ B =2 b d
^ = 1,4 mm
c) Der Abstand halbiert sich auf B =b d
= 0,7 mm und die Streifen werden viel dunkler.
Aufgabe 6b: Beugung Wie groß muss das Objektiv eines Fernrohrs sein, damit es die Beugungsscheibchen zweier Sterne im Winkelabstand von einer
Bogensekunde =^1 3600
Grad bei einer Wellenlänge von 400 nm noch trennen kann? Begründe anhand einer Skizze.
α 2
α 1
λ 2
λ 1
Im y
Re y
y 2 y 1
y 1 + y 2
α α‘
λ/sin(α)
λ
α λ
α‘
d) Die Entfernung ist Δx = c‧ t 2
= 300 m (Hin- und Rückweg der Welle) (1)
Die Geschwindigkeit des Objektes ist v = c^ f 2f f
≈ c‧ f 2f
= 40 m/s = 144 km/h vom Beobachter weg (1)
e) Form: möglichst pyramidenförmig, so dass Radarwellen an den geneigten Seitenflächen nach oben reflektiert werden. (1) Material: Kunststoffe mit hoher Dielektrizitätszahl ε, die das elektrische Feld absorbieren. (1)
Aufgabe 9: Interferenz (6) Zwei Steine fallen an den Orten A(5 m|0) und B(0|2 m) gleichzeitig ins spiegelglatte Wasser und erzeugen zwei Kreiswellen, die sich mit der Geschwindigkeit c = 1 m/s, der Wellenlänge λ = 10 cm und der Amplitude yA = yB = 3 cm von diesen beiden Punkten aus gleichphasig sinusförmig ausbreiten. Am Ort C(8 m|8 m) sitzt ein kleiner Frosch auf seinem Blatt. a) Wann kommt der erste Wellenberg von 3 cm Höhe bei dem Frosch an? (2) b) Wie hoch können die Wellenberge bei der Überlagerung der beiden Wellen in C maximal werden und wann kommt der erste dieser Interferenzberge dort an? (4)
Lösungen (6) Die Periodendauer ist T = λ/c = 0,1 s, d.h., jede Sekunde verlassen 10 Wellenberge den Erreger.
a) AC= 73 m ≈ 8,544 m = 85,44 λ ⇒ nach 8,544 s beginnt sich das Blatt zu heben. (2) b) Wegen BC= 100 m = 10 m = 100 λ erreichen die Wellen von B erst nach 10 s das Blatt und überlagern sich dort mit den Wellen von A. (1) Die Phasenverschiebung von 85,44 λ – 100 λ = −14,56 λ bzw. −0,56 λ bzw. 0,44 λ bzw. 158,4° führt nahezu zur gegenseitigen Auslöschung: 3 cm∙ ei∙0^ + 3 cm∙ei∙0,44∙2π^ = 1,12 cm∙ei∙79,2°. (1) Die Interferenzberge sind nur noch 1,12 cm hoch und kommen mit Phasenverschiebung von 79,2° bzw. 0,22 λ bzw. 0,22 T = 0,022 s beim Frosch an. (1) Der erste dieser abgeschwächten Berge kommt frühestens mit der Wellenfront von B nach 8,544 s beim Frosch an. (1) Der nächste Termin im 0,1-Sekundentakt + Phasenverschiebung 0,022 s ist dann nach 8,622 s. (1)
Aufgabe 10: Interferenz (8) Erpel Kurt sitzt am Ufer eines Sees auf der Position K(60|0) und beobachtet besorgt die 30 cm hohen, 4 m langen und 3 m/s schnellen Bugwellen der beiden Ausflugsdampfer A und B. a) Wie schnell sind die beiden Ausflugsdampfer? (2) b) Wie weit ist Kurt von den beiden Wellenfronten entfernt? (3) c) Wann erreichen die beiden Wellenfronten Kurt? (1) d) Zeige und begründe, dass Kurt sich keinerlei Sorgen um nasse Flossen oder Federn machen muss. (2)
Lösungen: (8) a) Durch den Vergleich der beiden jeweils hell und dunkel schraffierten Dreiecke erhält man die Geschwindigkeiten
vA =
∙c =^3 2
m s
und vB =^2 2
∙c = 3 2 m s
b) Die Elementarwelle a: y = –^3 2
x + 90 schneidet die Wellenfront A: y = 2 3
x + 70 im Punkt P(^120 13
|^990
) mit der Entfernung ΔsA = PK =
120 2 990 2 60 0 13 13
^ ≈ 91,53 m^ (2) Die Entfernung zur Wellenfront B lässt sich aus dem hell gefärbten Dreieck zu ΔsB = 35 2 m ≈ 49,50 m bestimmen. (1)
c) Wellenfront A erreicht ihn nach sA c
= 31,51 s und Wellenfront B
nach B s c
= 16,50 s. (1)
d) Der Gangunterschied der beiden Bugwellen ist A^ B s s
≈ 10,51 λ bzw. 0,51 λ bzw. dem Phasenunterschied 0,51∙2π ≈ 182,5°. Die beiden Wellen löschen sich also bei Kurt nahezu vollständig aus. (2)
10 50 100 x in m
y in m
A
K
B
y/m
A
K
B
vA
c
vB
c
ΔsB
ΔsA
P
x/m
Aufgabe 11: Interferenz (9) Auf einer Wasseroberfläche befinden sich wie rechts abgebildet zwei Wellenerreger Z 1 und Z 2 , welche gleichphasig schwingen und dabei Wellen mit der Wellenlänge 3 cm und der Amplitude 2 mm erzeugen. Die Abnahme der Amplitude mit wachsender Entfernung vom Erreger soll zunächst nicht berücksichtigt werden. Auch die etwaige Reflexion der Wellen am Beckenrand soll nicht beachtet werden. a) Zeige, dass in P ein Interferenzmaximum existiert. (2) b) Bestimme die Anzahl der Interferenzmaxima, die sich rechts von P auf der Parallelen zur x-Achse ausbilden. (3) c) Ein dritter Erreger Z 3 wird im Punkt (10 cm|12 cm) angebracht und schwingt gleichphasig und mit gleicher Amplitude wie Z 1 und Z 2. Bestimme nun die Amplitude im Punkt P. (2) d) Begründe energetisch, warum die Amplitude einer konzentrischen Einzelwelle bei doppeltem Abstand vom Erreger nur noch halb so gross ist. (2)
Lösungen (9) a) Mit Pythagoras erhält man für die Differenz der Weglängen
|Z 2 P| − |Z 1 P| = 122 92 cm − 12 cm = 15 cm – 12 cm = 3 cm = λ (1) und damit die Bedingung für maximale Verstärkung. (1) b) Das erste Maximum P 1 ist bei x 1 = 4,5 cm genau zwischen den beiden Erregern, so dass die Weglängen |Z 1 P 1 | = |Z 2 P 1 | gleich sind. (1) Das zweite Maximum P 2 ist bei x 2 = 9 cm genau über Z 2 , so dass symmetrisch zum Fall a) |Z 1 P 2 | − |Z 2 P 2 | = 3 cm = λ gilt. (1) Für das dritte Maximum P 3 gilt |Z 1 P 3 | − |Z 2 P 3 | = 6 cm = 2∙λ. Für das vierte Maximum müssten sich die Weglängen um 3∙λ = 9 cm unterscheiden, was aber unmöglich ist, weil für jeden Punkt P 4 außerhalb der x-Achse |Z 1 P 4 | − |Z 2 P 4 | < |Z 1 Z 2 | = 9 cm gilt. (möglich ist auch eine andere Formulierung oder graphische Veranschaulichung der Dreiecksungleichung) (1) c) Der Gangunterschied zu Z 1 und Z 2 beträgt 2 cm bzw. 5 cm, so dass die
Welle von Z 3 in P um^2 3
T ≙ 240° vor bzw. um^1 3
T ≙ 120° nachläuft. (1) Aus dem Zeigerdiagramm erhält man mit Pythagoras oder der Höhenformel für das gleichseitige Dreieck mit |Z 1 | = |Z 2 | = |Z 3 | = 2 mm eine Amplitude von |Z 1 + Z 2 + Z 3 | =^1 2
∙4 mm∙≈ 3,46 mm. (2)
Aufgabe 12: Interferenz (15) Aditia und ihre Schwester Milli werfen Steine ins Wasser. Aditias Stein erzeugt am Ort (4|5) eine Kreiswelle, die sich mit einer Amplitude von 20 cm ausbreitet. Millis Stein trifft 0,2 Sekunden später im Ort (2|7) auf und erzeugt eine Amplitude von 15 cm. Beide Wellen breiten sich mit 1 m/s und einer Wellenlänge von 1 m aus. Im Ort (1|1) sitzt Wasserläufer Kurt und erwartet mit Sorge die ankommenden Wellen. Alle Orte sind in Metern angegeben. a) Skizziere die Situation in ein Koordinatensystem. (3) b) Formuliere die beiden Wellengleichungen für die Abstände sA und sM von den Auftreffpunkten A und M. (4) c) Formuliere die beiden Gleichungen für die Schwingungen , die am Ort (1|1) durch die beiden Wellen erzeugt werden. (2) d) Wann kommt der erste Wellenberg bei Kurt an und wie hoch ist er? (2) e) Wann kommt der zweite Wellenberg bei Kurt an und wie hoch ist er? (4)
Lösung: a) Skizze (3) b) Die Wellengleichungen sind yA(sA;t) = 0,2∙sin[2π(sA – t)] und yM(sM;t) = 0,15∙sin[2π(sM – (t – 0,2))]. (2)
c) In (1|1) ist sA = (^) (4 1)^2 (5 1)^2 = 5 und sM = (^) (2 1)^2 (7 1)^2 = 37 ≈ 6,08. Die Schwingungsgleichungen in (1|1) sind also yA(5;t) = 0,2∙sin[2π(5 – t)] und yM(6,08;t) = 0,15∙sin[2π(6,28 – t)]. (4) d) Kurt beginnt durch Ankunft von Aditias Welle nach 5 Sekunden zu schwanken und erreicht den ersten Wellenberg von 20 cm Höhe nach 5,25 Sekunden. (2) e) Die Überlagerung gibt sich aus dem Zeigerdiagramm bzw. durch komplexe Addition z.B. für t = 5 s zu 0,15cis(0) + 0,2cis(2π∙1,28) = 0,226∙cis(1,051) ≈ 0,226∙cis(2π∙0,167) ≈ 0,226cis(60,2°). (2) f) Durch Überlagerung mit Millis Welle kommt der nächste Wellenberg erst verzögert nach 6,25 + 0,167 = 6,417 Sekunden aber dafür mit verstärkter Höhe von 22,6 cm. (2)
Z 1 Z 2
Z 3
1 5 10 x in cm
y in cm P
Z 1 Z 2
Lösungen: a) Skizzen (4):
b) f 1 =
s−^1 = 7,5 s−^1 (1)
c) f 2 =^8 2
s−^1 = 0,5 s−^1 (1)
d) f 1 =fa^ fb 2
e) f 2 = a^ b f f 2
f) Aus e) folgt fb = fa − 2f 2 = 11,998 GHz. (1)
y
t
y 2 (t) y 1 (t)
y
t
y 2 (t)
y 3 (t)
