7. Klasse TOP 10 Grundwissen 7
Besondere Dreiecke, Tangenten 09
Besondere Dreiecke und ihre charakterisierenden Eigenschaften
Gleichschenklig
AC =BC
ZZZZ
Z
α β
Die Basiswinkel
sind gleich groß:
α=β
Gleichseitig
AB =BC =AC
TTTTT
T
Jeder Innenwinkel
misst 60◦.
Rechtwinklig
Die dem rechten Winkel gegen¨
uberlie-
gende Seite (hier c) heißt Hypotenuse, die
anderen beiden heißen Katheten.
!!!!!!!
!LLL
L
c
p
Die Ecke mit dem
rechten Winkel
liegt auf dem
Thaleskreis ¨
uber
der Hypotenuse.
Beispiele:
1. Welchen Basiswinkel hat ein gleichschenkliges Dreieck mit γ= 102◦an der Spitze?
α=β= (180◦−γ) : 2 = 39◦
2. Mit einem gleichseitigen Dreieck kann man einen 60◦-Winkel konstruieren:
Zeichne um Seinen Kreis, der Schnittpunkt mit dem ersten Schenkel
sei A. Zeichne einen weiteren Kreis mit gleichem Radius um A, der
Schnittpunkt mit dem ersten Kreis sei B. Dann ist [SB der zweite
Schenkel. &%
'$
&%
'$
q q
q
S A
B
60◦
3. Wenn die Gitterpunkte des Koordinatensystems die Sitzpl¨
atze eines Kinos darstellen
und [AB]mit A(−4|0) und B(4|0) die Leinwand,
von welchen Pl¨
atzen in der Reihe y= 3 sieht man
dann die Leinwand unter einem Winkel von weni-
ger als 90◦?
Zeichne ¨
uber [AB]den Thaleskreis. Alle Punkte
außerhalb des Thaleskreises haben die gew¨
unsch-
te Eigenschaft, also (±3|3),(±4|3),(±5,3),....
-
6
x
01
y
3
A B
p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p
r r r r r r
90◦
<90◦
AA
AU
q q
Tangenten
stehen senkrecht
auf dem Radius: r⊥t
&%
'$
Z
Z
r
t
p
Kreis und Gerade
&%
'$
t
s
ss
s
p
Eine Gerade kann mit einem Kreis
•zwei Schnittpunkte haben:
Sekante s
•einen gemeinsamen Ber¨
uhr-
punkt haben: Tangente t
•keine gemeinsamen Punkte
haben: Passante p
Konstruktion von Tangenten an einen Kreis kdurch einen gegebenen Punkt P
Falls Pauf dem Kreis kliegt:
Verbinde den Kreismittelpunkt M
mit Pund errichte in Pdas Lot auf
M P .
&%
'$
k
ZZZ
Z
t
pqM
q
P
Falls Paußerhalb des Kreises kliegt:
Zeichne die Strecke [M P ]und dar¨
uber den Thales-
kreis k∗(Mittelpunkt des Thaleskreises ist der Mittel-
punkt M∗von [M P ]).
Die Schnittpunkte B1und B2
der Kreise kund k∗sind die
Ber¨
uhrpunkte, P B1und P B2
die Tangenten. &%
'$
kq
MqP
q
B1
qB2q
M∗
XXXXXXXXXX
t2
t1k∗