9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9
Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel 09
Schr¨
agbild
Die nach ”hinten“ laufenden Linien werden unter einem Win-
kel ω(z. B. ω= 45◦) und mit Faktor qverk¨
urzt (z. B. q= 0,7)
dargestellt. N¨
utzlich sind hierzu oft Hilfspunkte oder ein ”Ein-
sperren“ in ein Rechteck.
Ist z. B. der Grundriss eines Primas das neben-
stehende gleichseitige Dreieck mit Seitenl¨
ange
2, so kann man mit dem Hilfspunkt Hdie Lage
des Punktes Cim Schr¨
agbild in einer Entfer-
nung von 1·qvom Punkt Hkonstruieren. """"
"
bbbb
b
r
HB
A
C
1
2
Netz
(”Bastelanleitung“ )
Hilfreich ist hier oft,
sich den K¨
orper ”auf-
geklappt“ oder ”abge-
wickelt“ zu denken.
Aus Platzgr¨
unden ist
das Netz hier jeweils
verkleinert dargestellt.
Prisma (→grund54.pdf)
ω
B
A
H
C
h
G
Volumen:
Grundfl¨
ache ·H¨
ohe
V=Gh
Mantelfl¨
ache:
M=uh
(u=Umfang der
Grundfl¨
ache)
Oberfl¨
ache:
O=M+ 2G
TT
T
TT
T
AG
G
M a n t e l h
B C A0
u=AA0
Zylinder
Volumen:
Grundfl¨
ache ·H¨
ohe
V=r2πh
Mantelfl¨
ache:
M=uh = 2πrh
Oberfl¨
ache:
O=M+ 2G=
= 2πrh + 2r2π
Mantel
Pyramide
HHHHH
H
DDDDDDD
D
@@
@
A
B
C
SVolumen:
1
3Grundfl¨
ache ·H¨
ohe
V=1
3Gh
(Vieleck als Grund-
fl¨
ache G)
Mantelfl¨
ache:
M=A1+A2+A3+. . .
(Seitenfl¨
achen-Dreiecke)
Oberfl¨
ache:
O=M+G
QQQQ
Q
BBBB
B
p
A
B
C
S
S
S
G
A1
A2
A3
Kegel
JJJJ
J
r
h m
Volumen:
1
3Grundfl¨
ache ·H¨
ohe
V=1
3r2πh
Mantellinie:
m=√h2+r2
Mantelfl¨
ache:
M=πrm
(Sektor M=α
360◦m2π)
Oberfl¨
ache:
O=M+G=πrm +r2πr
m
α
M
G
Sektor-
Bogenl¨
ange
b=α
360◦2mπ
gleich
Grundkreis-
Umfang 2rπ
Kegelstumpf
Hierf¨
ur gibt es auch ”fertige“ Formeln, die man in der Regel nicht auswendig weiß, son-
dern in der Formelsammlung nachschl¨
agt oder sich selbst herleitet. Hierzu erg¨
anzt man den
Kegelstumpf zu einem ganzen Kegel und verwendet zur Berechnung von dessen H ¨
ohe den
Strahlensatz (→ueb99.pdf, Aufgabe 5).
L¨
angen- und Winkelberechnungen
Hilfreich sind rechtwinklige St¨
utzdreiecke, deren Maße man oft mit Pythagoras ermitteln
kann oder in denen man mit sin, cos, tan arbeiten kann (→ueb99.pdf, Aufgaben 1c, 4).