9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9
Pythagoras 03
SSSSSS
S
c
b a
Satz von Pythagoras:
In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a,bund
der Hypotenuse cgilt
a2+b2=c2
(die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegen¨
uber).
Wichtige Anwendungen:
•Aufl¨
osen der Formel a2+b2=c2nach cbzw. a:
c=√a2+b2a=√c2−b2
(Diese Ausdr¨
ucke k¨
onnen nicht weiter vereinfacht werden und sind insbesondere nicht gleich a+b
bzw. c−b)
•Die rechtwinkligen Dreiecke in verschiedenen Lagen erkennen:
Dreht man obiges Dreieck, so erkennt man leicht neben A=1
2chc
eine weitere Formel f¨
ur die Fl¨
ache des Dreiecks: A=1
2ab
a
bc
•Anwendung in der Physik:
?
SSS
Sw
=
r
s
t
FG
FH
FN
In der nebenstehenden Abbildung sind r⊥s,FHkt,
FN⊥tund FG⊥r.
Im großen ¨
außeren Dreieck gilt r2+s2=t2.
Im kleinen inneren Dreieck ist FN⊥FHund daher
F2
G=F2
N+F2
H.
•Durch Einzeichnen von Hilfslinien rechtwinklige Dreiecke erzeugen:
JJJJJJJJJJ
J
r
r
a
q
Beispiel (Abbildung links):
Gegeben sind der Kreisradius r= 5,3m und
der Abstand a= 2,8m. Gesucht ist q.
L¨
osung (Abbildung rechts):
Man zeichnet die punktierte Hilfslinie der
L¨
ange aein und erh¨
alt damit ein rechtwinkliges
Dreieck mit p2+a2=r2,also p=√r2−a2=
q(5,3m)2−(2,8m)2= 4,5m.
Damit ist q=r−p= 0,8m.
JJJJJJJJJJ
J
r
r
a
q
a
p
q
•Diagonale im Quadrat
d2=a2+a2
⇒d=√2a
a
a
d
•H¨
ohe im gleichseitigen Dreieck
h2+ (a
2)2=a2
⇒h=qa2−a2
4=√3
2a
TTTTT
a
2
h
a
•Raumdiagonale im Quader
Betrachte zun¨
achst ∆ABD: Dort ist DB2=a2+b2.
Betrachte dann ∆HDB: Dort ist H B2=DB2+h2.
Also ist HB 2=a2+b2+h2.
@@
@
BBBBBBBB
B
A B
D
H
a
b
h
•Abstand der Punkte P1(x1|y1)und P2(x2|y2):
P1P2=q(x2−x1)2+ (y2−y1)2