9. Klasse TOP 10 Mathematik- Gesamtes Grundwissen mit Ubungen, Übungen von Mathematik

Nur auf Docsity: Lade 9. Klasse TOP 10 Mathematik- Gesamtes Grundwissen mit Ubungen und mehr Übungen als PDF für Mathematik herunter!          www.strobl-f.de/grund9g.pdf 9. Klasse TOP 10 Mathematik 09 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G Grundwissen Mathematik 9. Klasse: Die 10 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite! Zum Wiederholen kann man die Übungen des Kompakt-Überblicks verwenden. 9/1 Wurzeln G Ü L 9/2 Binomische Formeln, Faktorisieren G Ü L 9/3 Quadratische Gleichungen G Ü L 9/4 Quadratische Funktionen: Scheitel G Ü L 9/5 Quadratische Funktionen: Zeichnung G Ü L 9/6 Pythagoras G Ü L 9/7 sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck G Ü L 9/8 Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel G Ü L 9/9 Mehrstufige Zufallsexperimente G Ü L 9/10 Lösen von Gleichungen G Ü L 9/K Kompakt-Überblick zum Grundwissen G Ü L 9/M Mathematik bis 9. Klasse kompakt – Ü L G=Grundwissen, Ü=Übungen, L=Lösungen w w w .strobl-f.de/grund91.pdf   9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Wurzeln 01 • Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Quadrierens. Daher ist z. B. √ 25 = √ 52 = 5 und √ 5 2 = √ 5 · √ 5 = 5. Da sowohl √ (−3)2 = √ 9 = 3 als auch √ 32 = √ 9 = 3, muss man bei Variablen, deren Vorzeichen nicht bekannt ist, Betragsstriche setzen: √ a2 = |a|. (Der Betrag einer Zahl a ist die Zahl a selbst, wenn a nichtnegativ ist, und ist die Gegenzahl −a, wenn a < 0 ist, z. B. also |3| = 3, | − 3| = 3). • Allgemein: Entsprechend ist die n-te Wurzel n √ a die nichtnegative Lösung der Glei- chung xn = a, also z. B. 3 √ 1000 = 10, denn 103 = 1000. • Definitionsbereich: Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, d. h. der Radikand muss ≥ 0 sein. Bei √ x muss also x ≥ 0 sein, bei 1√ x+5 muss x+ 5 > 0 sein (wegen des Nenners hier > statt ≥), d. h. x > −5. • Rechenregeln Produkte und Quotienten/Brüche dürfen unter einer Wurzel zusammengefasst werden: √ 2 · √ 3 = √ 2 · 3 = √ 6, √ a · √ b = √ ab, √ 2√ 3 = √ 2 3 , √ ab√ ac = √ ab ac = √ b c • Teilweise radizieren Man sucht unter der Wurzel quadratische Faktoren und zieht daraus die Wurzel: √ 32 = √ 16 · 2 = 4 √ 2 √ ab2c7 = √ ab2c6c = bc3 √ ac (für a, b, c ≥ 0, sonst |bc3| mit Betrag!) √ 9x2 − 36 = √ 9(x2 − 4) = 3 √ x2 − 4 (keine weitere Vereinfachung möglich!) Umgekehrt: Vor der Wurzel stehende Faktoren werden quadratisch in die Wurzel hin- eingezogen: 3 √ 7 = √ 9 · 7 = √ 63 • Rationalmachen des Nenners durch Erweitern: 1√ 3 = 1· √ 3√ 3· √ 3 = √ 3 3 (Erweitern mit √ 3) • Schreibweise mit Potenzen: x 1 3 = 3 √ x (Brüche im Exponenten sagen: ”Ich bin eine Wurzel“) x 3 2 = (x3) 1 2 = √ x3 = √ x2 · x = x √ x oder x 3 2 = (x 1 2 )3 = √ x √ x √ x = x √ x oder x 3 2 = x1+ 1 2 = x1 · x 12 = x √ x Umgekehrt lassen sich Wurzeln oft bequemer als Potenzen weiterverarbeiten, z. B. 3 √ a · 6 √ a√ a = a 1 3 · a 1 6 · a− 1 2 = a0 = 1 • Vorsicht: Bei Summen oder Differenzen die Wurzeln nicht einzeln ziehen: Beispiel: √ 25− 16 ist nicht gleich √ 25− √ 16 (links: √ 9 = 3, rechts: 5− 4 = 1). Sondern: Ausdrücke wie √ a2 − b2 oder √ c+ d können nicht vereinfacht werden. • Vorsicht: Nicht in eine Wurzel hineinkürzen: Beispiel: √ 12 2 ist nicht √ 6. Sondern: Teilweise radizieren, falls möglich: √ 12 2 = √ 4·3 2 = 2· √ 3 2 = √ 3, oder den Nenner quadratisch in die Wurzel hineinziehen: √ 12 2 = 1 2 √ 12 = √ 1 4 · 12 = √ 3. w w w .strobl-f.de/grund94.pdf   9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Quadratische Funktionen: Scheitel 04 Die Funktionsgleichung kann auf verschiedene Arten gegeben sein, z. B. y = ax2 + bx+ c y = a(x+ d)2 + e a bestimmt die Form des Funktionsgraphen (siehe unten). bx nennt man auch lineares Glied, c Konstante. c ist in der Zeichnung des Graphen der y-Achsenabschnitt (denn setzt man x = 0 ein, so ergibt sich y = c, und der Punkt (0|c) ist dann der Schnittpunkt mit der y-Achse). e bewirkt eine Verschiebung des Graphen nach oben (bzw. bei negativem e nach unten) (denn in einer Wertetabelle sind dann alle y-Werte um e größer). d bewirkt eine Verschiebung nach links (bzw. bei ne- gativem d nach rechts) (denn für x muss um d weniger eingesetzt werden, um den glei- chen Funktionswert zu erhalten, der sich ohne d ergäbe). Die Graphen quadratischer Funktionen sind Parabeln (→ grund95.pdf); der tiefste bzw. höchste Punkt heißt Scheitel. Ist a > 0, so ist die Parabel nach oben geöffnet ( ), bei a < 0 nach unten ( ). Ist a = 1 oder a = −1, so kann man sie beim üblichen Koordinatensystem (1 cm für eine Längeneinheit) auch mit der Schablone zeichnen. Bei |a| > 1 ist die Parabel enger ( ), bei |a| < 1 weiter ( ). Bestimmung des Scheitels mit quadratischer Ergänzung Beispiel 1 y = x2 + 6x+ 6 Beispiel 2 y = 1 2 x2 − x+ 2 Beispiel 3 y = −2x2 + 8x− 3 1. Schritt: a ausklammern (zum Ausgleich in der Klammer durch a dividieren, in Beispiel 2 also geteilt durch 1 2 , d. h. mal 2): y = 1 2 [x2 − 2x+ 4] y = −2[x2 − 4x+ 3 2 ] 2. Schritt: Durch Halbierung des Koeffizienten des linearen Gliedes eine binomische Formel schreiben, Platz lassen für 3. Schritt: y = (x+ 3)2 . . .+ 6 y = 1 2 [(x− 1)2 . . .+ 4] y = −2[(x−2)2 . . .+ 3 2 ] 3. Schritt: Quadriert man die binomische Formel zur Kontrolle aus, so erhält man außer dem gewünschten linearen Glied noch zusätzlich ein Quadrat, das oben nicht dasteht und mit minus wieder ausgeglichen werden muss: y = (x+ 3)2 − 9 + 6 y = 1 2 [(x− 1)2 − 1 + 4] y = −2[(x−2)2−4+ 3 2 ] 4. Schritt: Zusammenfassen und äußere Klammer wieder ausmultiplizieren: y = (x+ 3)2 − 3 y = 1 2 (x− 1)2 + 3 2 y = −2(x− 2)2 + 5 5. Schritt: Angabe des Scheitels: Aus den Werten d und e der Funktionsgleichung y = a(x+ d)2 + e erkennt man (siehe oben), dass es sich um eine verschobene Parabel handelt, und zwar um e nach oben und um d nach links, so dass der Scheitel bei (−d|e) liegt: S(−3| − 3) S(1|1,5) S(2|5) Alternative zur quadratischen Ergänzung: Man bestimmt die Nullstellen (Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse [→grund82.pdf], sofern solche vorhanden sind), indem man den Funktionsterm gleich 0 setzt: ax2+bx+c = 0; die Lösungsformel (x1/2 = −b± √ b2−4ac 2a [→ grund94.pdf]) liefert dann symmetrisch links und rechts von − b 2a liegende Nullstellen, so dass wegen der Achsensymmetrie der Parabel in der Mitte der Nullstellen bei x = − b 2a der Scheitel liegt. Den y-Wert erhält man durch Einsetzen in die Funktionsgleichung. Beispiel: y = x2 + 6x+ 6. Nullstellen (→ grund93.pdf): x1/2 = −3± √ 3. Also ist der Scheitel bei x = −3. y-Wert: x = −3 einsetzen in y = x2 + 6x+ 6 liefert y = −3. Also S(−3| − 3). w w w .strobl-f.de/grund95.pdf   9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Quadratische Funktionen: Zeichnung 05 Zur Zeichnung der Parabel bestimmt man zunächst den Scheitel, die Nullstellen (falls vor- handen) und den Schnittpunkt mit der y-Achse (→ grund94.pdf, grund93.pdf, grund82.pdf). Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 y = x2 + 6x+ 6 y = 1 2 x2 − x+ 2 y = −2x2 + 8x− 3 Scheitel S1(−3| − 3) S2(1|1,5) S3(2|5) Nullstellen x1/2 = −3± √ 3 x1/2 = 1± √ 1−4· 1 2 ·2 2· 1 2 x1/2 = −8± √ 64−4·(−2)·(−3) 2·(−2) x1 ≈ −1,3, x2 ≈ −4,7 keine Nullstellen x1 ≈ 0,4, x2 ≈ 3,6 y-Achsenschnitt (0|6) (0|2) (0| − 3) Würde die Funktionsgleichung y = x2 lauten, so erhielte man für die x-Werte ±1, ±2, ±3 die Funktionswerte 1, 4, 9. Für die Funktionsgleichung y = 1 2 x2 müsste man diese Werte mit 1 2 multiplizieren und erhielte 1 2 , 2, 9 2 ; für y = −2x2 entsprechend die Werte −2, −8, −18. Da die Parabeln der obigen Beispiele durch Verschiebung aus den eben genannten hervorge- hen, kann man nun ausgehend vom Scheitel Parabelpunkte finden: In Beispiel 1 geht man vom Scheitel 1 (bzw. 2 bzw. 3) Einheiten nach links/rechts und 1 (bzw. 4 bzw. 9) Einheiten nach oben (siehe Zeichnung). In Beispiel 3 geht man vom Scheitel 1 (bzw. 2 bzw. 3) Einheiten nach links/rechts und 2 (bzw. 8 bzw. 18) Einheiten nach unten. Durch die Punkte legt man dann eine glatte Kurve (ins- besondere im Scheitel nicht spitz, sondern rund!): - 6 0 1 1 x y r r r r r r S1 Beispiel 1 r r r r r r r S2 Beispiel 2 r r r r r S3 Beispiel 3 r r r r r r r r r - 6 2 nach rechts 4 nach oben r T Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen berechnet man durch Gleichsetzen der Funktionsterme. So ist für den Schnittpunkt von Beispiel 1 und Beispiel 2 zu rechnen: x2 + 6x + 6 = 1 2 x2 − x + 2. Diese Gleichung hat die Lösungen (→ grund93.pdf) x1/2 = −7 ± √ 41, also x1 ≈ −0, 60, x2 ≈ −13, 42. Die y-Werte erhält man durch Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen: y1/2 = 54∓ 8 √ 41, also y1 ≈ 2,78, y2 ≈ 105,22 (siehe Zeichnung Punkt T ). w w w .strobl-f.de/grund96.pdf   9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Pythagoras 06        S S S S S S c b a Satz von Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a, b und der Hypotenuse c gilt a2 + b2 = c2 (die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber). Wichtige Anwendungen: • Auflösen der Formel a2 + b2 = c2 nach c bzw. a: c = √ a2 + b2 a = √ c2 − b2 (Diese Ausdrücke können nicht weiter vereinfacht werden und sind insbesondere nicht gleich a + b bzw. c− b) • Die rechtwinkligen Dreiecke in verschiedenen Lagen erkennen: Dreht man obiges Dreieck, so erkennt man leicht neben A = 1 2 chc eine weitere Formel für die Fläche des Dreiecks: A = 1 2 ab      a bc • Anwendung in der Physik:           ? S S SSw  = r s t FG FH FN In der nebenstehenden Abbildung sind r⊥s, FH‖t, FN⊥t und FG⊥r. Im großen äußeren Dreieck gilt r2 + s2 = t2. Im kleinen inneren Dreieck ist FN⊥FH und daher F 2G = F 2 N + F 2 H . • Durch Einzeichnen von Hilfslinien rechtwinklige Dreiecke erzeugen: J J J J J J J J J JJ r r a q Beispiel (Abbildung links): Gegeben sind der Kreisradius r = 5,3 m und der Abstand a = 2,8 m. Gesucht ist q. Lösung (Abbildung rechts): Man zeichnet die punktierte Hilfslinie der Länge a ein und erhält damit ein rechtwinkliges Dreieck mit p2 +a2 = r2, also p = √ r2 − a2 =√ (5,3 m)2 − (2,8 m)2 = 4,5 m. Damit ist q = r − p = 0,8 m. J J J J J J J J J JJ r r a q a p q • Diagonale im Quadrat d2 = a2 + a2 ⇒ d = √ 2a a ad • Höhe im gleichseitigen Dreieck h2 + (a 2 )2 = a2 ⇒ h = √ a2 − a2 4 = √ 3 2 a     T T T T T a 2 h a • Raumdiagonale im Quader Betrachte zunächst ∆ABD: Dort ist DB2 = a2 + b2. Betrachte dann ∆HDB: Dort ist HB2 = DB2 + h2. Also ist HB2 = a2 + b2 + h2. @ @ @ B B B B B B B B BA B D H a b h • Abstand der Punkte P1(x1|y1) und P2(x2|y2): P1P2 = √ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 w w w .strobl-f.de/grund99.pdf   9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Mehrstufige Zufallsexperimente 09 Viele Zufallsexperimente (z. B. mehrmaliges Ziehen aus einer Urne) lassen sich bequem mit einem Baumdiagramm beschreiben, bei dem man auf jeder Stufe des Experiments die Äste mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten beschriftet. Die Ergebnisse bzw. Ereig- nisse des ganzen Zufallsexperiments sind dann jeweils durch einen bzw. mehrere Pfade im Baumdiagramm gegeben. Dabei gelten die Pfadregeln: 1. Die Wahrscheinlichkeit eines durch einen Pfad gegebenen Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen längs dieses Pfads. 2. Die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu dieses Ereignis führen. Beispiele: 1. Die nebenstehenden Glücksräder werden gedreht. Be- trachtet werden die Ereignisse E1: Hauptgewinn, wenn beide Räder eine 1 zeigen; E2: Trostpreis, wenn genau eine 2 dabei ist; also E1 = {(1, 1)}, E2 = {(1, 2), (2, 1), (3, 2)}. 1. Stufe: Drehen des linken Glücksrads. 2. Stufe: Drehen des rechten Glückrads. P (E1) = 1 4 · 1 4 = 1 16 = 6,25 % (Pfad ganz links), P (E2) = P ({(1, 2)}) +P ({(2, 1)}) +P ({(3, 2)}) = = 1 4 · 3 4 + 1 4 · 1 4 + 1 2 · 3 4 = 5 8 = 62,5 % &% '$r1 2 3 @R &% '$r1 2 @R   HHH HH 1 2 3 1 4 1 4 1 2


A AA 1 2 1 4 3 4


A AA 1 2 1 4 3 4


A AA 1 2 1 4 3 4 - - 2. In einem Hut befinden sich 9 Lose, davon 2 Gewinnlose. Jemand zieht 3 Lose (natür- lich ohne Zurücklegen). Ereignis A: Mindestens ein Gewinn. Erste Stufe des Zufallsexperiments: Ziehen des ersten Loses. Bei der zweiten Stufe muss man berücksichtigen, dass nun nur noch 8 Lose im Hut sind, davon je nach Ausgang der ersten Stufe 1 oder 2 Gewinnlose. Entsprechend verfährt man beim dritten Zug. Baumdiagramm (G=Gewinn, G=Niete):   HHH HHH G G 2 9 7 9 @ @ @ @ @ @ G G G G 1 8 7 8 2 8 6 8


A A A


A A A


A A A G G G G G G G 1 1 7 6 7 1 7 6 7 2 7 5 7 Ereignis A ist durch alle Pfade außer dem letzten ganz rechts gegeben, so dass es be- quemer ist, die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Gegenereignisses A: ”Kein Gewinn“ zu berechnen: P (A) = 1− P (A) = 1− 7 9 · 6 8 · 5 7 = 7 12 = 58,3 %          www.strobl-f.de/grund9g.pdf 9. Klasse TOP 10 Mathematik 09 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G Grundwissen Mathematik 9. Klasse: Die 10 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite! Zum Wiederholen kann man die Übungen des Kompakt-Überblicks verwenden. 9/1 Wurzeln G Ü L 9/2 Binomische Formeln, Faktorisieren G Ü L 9/3 Quadratische Gleichungen G Ü L 9/4 Quadratische Funktionen: Scheitel G Ü L 9/5 Quadratische Funktionen: Zeichnung G Ü L 9/6 Pythagoras G Ü L 9/7 sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck G Ü L 9/8 Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel G Ü L 9/9 Mehrstufige Zufallsexperimente G Ü L 9/10 Lösen von Gleichungen G Ü L 9/K Kompakt-Überblick zum Grundwissen G Ü L 9/M Mathematik bis 9. Klasse kompakt – Ü L G=Grundwissen, Ü=Übungen, L=Lösungen w w w .strobl-f.de/grund91.pdf   9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Wurzeln 01 • Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Quadrierens. Daher ist z. B. √ 25 = √ 52 = 5 und √ 5 2 = √ 5 · √ 5 = 5. Da sowohl √ (−3)2 = √ 9 = 3 als auch √ 32 = √ 9 = 3, muss man bei Variablen, deren Vorzeichen nicht bekannt ist, Betragsstriche setzen: √ a2 = |a|. (Der Betrag einer Zahl a ist die Zahl a selbst, wenn a nichtnegativ ist, und ist die Gegenzahl −a, wenn a < 0 ist, z. B. also |3| = 3, | − 3| = 3). • Allgemein: Entsprechend ist die n-te Wurzel n √ a die nichtnegative Lösung der Glei- chung xn = a, also z. B. 3 √ 1000 = 10, denn 103 = 1000. • Definitionsbereich: Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, d. h. der Radikand muss ≥ 0 sein. Bei √ x muss also x ≥ 0 sein, bei 1√ x+5 muss x+ 5 > 0 sein (wegen des Nenners hier > statt ≥), d. h. x > −5. • Rechenregeln Produkte und Quotienten/Brüche dürfen unter einer Wurzel zusammengefasst werden: √ 2 · √ 3 = √ 2 · 3 = √ 6, √ a · √ b = √ ab, √ 2√ 3 = √ 2 3 , √ ab√ ac = √ ab ac = √ b c • Teilweise radizieren Man sucht unter der Wurzel quadratische Faktoren und zieht daraus die Wurzel: √ 32 = √ 16 · 2 = 4 √ 2 √ ab2c7 = √ ab2c6c = bc3 √ ac (für a, b, c ≥ 0, sonst |bc3| mit Betrag!) √ 9x2 − 36 = √ 9(x2 − 4) = 3 √ x2 − 4 (keine weitere Vereinfachung möglich!) Umgekehrt: Vor der Wurzel stehende Faktoren werden quadratisch in die Wurzel hin- eingezogen: 3 √ 7 = √ 9 · 7 = √ 63 • Rationalmachen des Nenners durch Erweitern: 1√ 3 = 1· √ 3√ 3· √ 3 = √ 3 3 (Erweitern mit √ 3) • Schreibweise mit Potenzen: x 1 3 = 3 √ x (Brüche im Exponenten sagen: ”Ich bin eine Wurzel“) x 3 2 = (x3) 1 2 = √ x3 = √ x2 · x = x √ x oder x 3 2 = (x 1 2 )3 = √ x √ x √ x = x √ x oder x 3 2 = x1+ 1 2 = x1 · x 12 = x √ x Umgekehrt lassen sich Wurzeln oft bequemer als Potenzen weiterverarbeiten, z. B. 3 √ a · 6 √ a√ a = a 1 3 · a 1 6 · a− 1 2 = a0 = 1 • Vorsicht: Bei Summen oder Differenzen die Wurzeln nicht einzeln ziehen: Beispiel: √ 25− 16 ist nicht gleich √ 25− √ 16 (links: √ 9 = 3, rechts: 5− 4 = 1). Sondern: Ausdrücke wie √ a2 − b2 oder √ c+ d können nicht vereinfacht werden. • Vorsicht: Nicht in eine Wurzel hineinkürzen: Beispiel: √ 12 2 ist nicht √ 6. Sondern: Teilweise radizieren, falls möglich: √ 12 2 = √ 4·3 2 = 2· √ 3 2 = √ 3, oder den Nenner quadratisch in die Wurzel hineinziehen: √ 12 2 = 1 2 √ 12 = √ 1 4 · 12 = √ 3. w w w .strobl-f.de/grund94.pdf   9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Quadratische Funktionen: Scheitel 04 Die Funktionsgleichung kann auf verschiedene Arten gegeben sein, z. B. y = ax2 + bx+ c y = a(x+ d)2 + e a bestimmt die Form des Funktionsgraphen (siehe unten). bx nennt man auch lineares Glied, c Konstante. c ist in der Zeichnung des Graphen der y-Achsenabschnitt (denn setzt man x = 0 ein, so ergibt sich y = c, und der Punkt (0|c) ist dann der Schnittpunkt mit der y-Achse). e bewirkt eine Verschiebung des Graphen nach oben (bzw. bei negativem e nach unten) (denn in einer Wertetabelle sind dann alle y-Werte um e größer). d bewirkt eine Verschiebung nach links (bzw. bei ne- gativem d nach rechts) (denn für x muss um d weniger eingesetzt werden, um den glei- chen Funktionswert zu erhalten, der sich ohne d ergäbe). Die Graphen quadratischer Funktionen sind Parabeln (→ grund95.pdf); der tiefste bzw. höchste Punkt heißt Scheitel. Ist a > 0, so ist die Parabel nach oben geöffnet ( ), bei a < 0 nach unten ( ). Ist a = 1 oder a = −1, so kann man sie beim üblichen Koordinatensystem (1 cm für eine Längeneinheit) auch mit der Schablone zeichnen. Bei |a| > 1 ist die Parabel enger ( ), bei |a| < 1 weiter ( ). Bestimmung des Scheitels mit quadratischer Ergänzung Beispiel 1 y = x2 + 6x+ 6 Beispiel 2 y = 1 2 x2 − x+ 2 Beispiel 3 y = −2x2 + 8x− 3 1. Schritt: a ausklammern (zum Ausgleich in der Klammer durch a dividieren, in Beispiel 2 also geteilt durch 1 2 , d. h. mal 2): y = 1 2 [x2 − 2x+ 4] y = −2[x2 − 4x+ 3 2 ] 2. Schritt: Durch Halbierung des Koeffizienten des linearen Gliedes eine binomische Formel schreiben, Platz lassen für 3. Schritt: y = (x+ 3)2 . . .+ 6 y = 1 2 [(x− 1)2 . . .+ 4] y = −2[(x−2)2 . . .+ 3 2 ] 3. Schritt: Quadriert man die binomische Formel zur Kontrolle aus, so erhält man außer dem gewünschten linearen Glied noch zusätzlich ein Quadrat, das oben nicht dasteht und mit minus wieder ausgeglichen werden muss: y = (x+ 3)2 − 9 + 6 y = 1 2 [(x− 1)2 − 1 + 4] y = −2[(x−2)2−4+ 3 2 ] 4. Schritt: Zusammenfassen und äußere Klammer wieder ausmultiplizieren: y = (x+ 3)2 − 3 y = 1 2 (x− 1)2 + 3 2 y = −2(x− 2)2 + 5 5. Schritt: Angabe des Scheitels: Aus den Werten d und e der Funktionsgleichung y = a(x+ d)2 + e erkennt man (siehe oben), dass es sich um eine verschobene Parabel handelt, und zwar um e nach oben und um d nach links, so dass der Scheitel bei (−d|e) liegt: S(−3| − 3) S(1|1,5) S(2|5) Alternative zur quadratischen Ergänzung: Man bestimmt die Nullstellen (Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse [→grund82.pdf], sofern solche vorhanden sind), indem man den Funktionsterm gleich 0 setzt: ax2+bx+c = 0; die Lösungsformel (x1/2 = −b± √ b2−4ac 2a [→ grund94.pdf]) liefert dann symmetrisch links und rechts von − b 2a liegende Nullstellen, so dass wegen der Achsensymmetrie der Parabel in der Mitte der Nullstellen bei x = − b 2a der Scheitel liegt. Den y-Wert erhält man durch Einsetzen in die Funktionsgleichung. Beispiel: y = x2 + 6x+ 6. Nullstellen (→ grund93.pdf): x1/2 = −3± √ 3. Also ist der Scheitel bei x = −3. y-Wert: x = −3 einsetzen in y = x2 + 6x+ 6 liefert y = −3. Also S(−3| − 3). w w w .strobl-f.de/grund95.pdf   9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Quadratische Funktionen: Zeichnung 05 Zur Zeichnung der Parabel bestimmt man zunächst den Scheitel, die Nullstellen (falls vor- handen) und den Schnittpunkt mit der y-Achse (→ grund94.pdf, grund93.pdf, grund82.pdf). Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 y = x2 + 6x+ 6 y = 1 2 x2 − x+ 2 y = −2x2 + 8x− 3 Scheitel S1(−3| − 3) S2(1|1,5) S3(2|5) Nullstellen x1/2 = −3± √ 3 x1/2 = 1± √ 1−4· 1 2 ·2 2· 1 2 x1/2 = −8± √ 64−4·(−2)·(−3) 2·(−2) x1 ≈ −1,3, x2 ≈ −4,7 keine Nullstellen x1 ≈ 0,4, x2 ≈ 3,6 y-Achsenschnitt (0|6) (0|2) (0| − 3) Würde die Funktionsgleichung y = x2 lauten, so erhielte man für die x-Werte ±1, ±2, ±3 die Funktionswerte 1, 4, 9. Für die Funktionsgleichung y = 1 2 x2 müsste man diese Werte mit 1 2 multiplizieren und erhielte 1 2 , 2, 9 2 ; für y = −2x2 entsprechend die Werte −2, −8, −18. Da die Parabeln der obigen Beispiele durch Verschiebung aus den eben genannten hervorge- hen, kann man nun ausgehend vom Scheitel Parabelpunkte finden: In Beispiel 1 geht man vom Scheitel 1 (bzw. 2 bzw. 3) Einheiten nach links/rechts und 1 (bzw. 4 bzw. 9) Einheiten nach oben (siehe Zeichnung). In Beispiel 3 geht man vom Scheitel 1 (bzw. 2 bzw. 3) Einheiten nach links/rechts und 2 (bzw. 8 bzw. 18) Einheiten nach unten. Durch die Punkte legt man dann eine glatte Kurve (ins- besondere im Scheitel nicht spitz, sondern rund!): - 6 0 1 1 x y r r r r r r S1 Beispiel 1 r r r r r r r S2 Beispiel 2 r r r r r S3 Beispiel 3 r r r r r r r r r - 6 2 nach rechts 4 nach oben r T Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen berechnet man durch Gleichsetzen der Funktionsterme. So ist für den Schnittpunkt von Beispiel 1 und Beispiel 2 zu rechnen: x2 + 6x + 6 = 1 2 x2 − x + 2. Diese Gleichung hat die Lösungen (→ grund93.pdf) x1/2 = −7 ± √ 41, also x1 ≈ −0, 60, x2 ≈ −13, 42. Die y-Werte erhält man durch Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen: y1/2 = 54∓ 8 √ 41, also y1 ≈ 2,78, y2 ≈ 105,22 (siehe Zeichnung Punkt T ). w w w .strobl-f.de/grund96.pdf   9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Pythagoras 06        S S S S S S c b a Satz von Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a, b und der Hypotenuse c gilt a2 + b2 = c2 (die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber). Wichtige Anwendungen: • Auflösen der Formel a2 + b2 = c2 nach c bzw. a: c = √ a2 + b2 a = √ c2 − b2 (Diese Ausdrücke können nicht weiter vereinfacht werden und sind insbesondere nicht gleich a + b bzw. c− b) • Die rechtwinkligen Dreiecke in verschiedenen Lagen erkennen: Dreht man obiges Dreieck, so erkennt man leicht neben A = 1 2 chc eine weitere Formel für die Fläche des Dreiecks: A = 1 2 ab      a bc • Anwendung in der Physik:           ? S S SSw  = r s t FG FH FN In der nebenstehenden Abbildung sind r⊥s, FH‖t, FN⊥t und FG⊥r. Im großen äußeren Dreieck gilt r2 + s2 = t2. Im kleinen inneren Dreieck ist FN⊥FH und daher F 2G = F 2 N + F 2 H . • Durch Einzeichnen von Hilfslinien rechtwinklige Dreiecke erzeugen: J J J J J J J J J JJ r r a q Beispiel (Abbildung links): Gegeben sind der Kreisradius r = 5,3 m und der Abstand a = 2,8 m. Gesucht ist q. Lösung (Abbildung rechts): Man zeichnet die punktierte Hilfslinie der Länge a ein und erhält damit ein rechtwinkliges Dreieck mit p2 +a2 = r2, also p = √ r2 − a2 =√ (5,3 m)2 − (2,8 m)2 = 4,5 m. Damit ist q = r − p = 0,8 m. J J J J J J J J J JJ r r a q a p q • Diagonale im Quadrat d2 = a2 + a2 ⇒ d = √ 2a a ad • Höhe im gleichseitigen Dreieck h2 + (a 2 )2 = a2 ⇒ h = √ a2 − a2 4 = √ 3 2 a     T T T T T a 2 h a • Raumdiagonale im Quader Betrachte zunächst ∆ABD: Dort ist DB2 = a2 + b2. Betrachte dann ∆HDB: Dort ist HB2 = DB2 + h2. Also ist HB2 = a2 + b2 + h2. @ @ @ B B B B B B B B BA B D H a b h • Abstand der Punkte P1(x1|y1) und P2(x2|y2): P1P2 = √ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 w w w .strobl-f.de/grund99.pdf   9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Mehrstufige Zufallsexperimente 09 Viele Zufallsexperimente (z. B. mehrmaliges Ziehen aus einer Urne) lassen sich bequem mit einem Baumdiagramm beschreiben, bei dem man auf jeder Stufe des Experiments die Äste mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten beschriftet. Die Ergebnisse bzw. Ereig- nisse des ganzen Zufallsexperiments sind dann jeweils durch einen bzw. mehrere Pfade im Baumdiagramm gegeben. Dabei gelten die Pfadregeln: 1. Die Wahrscheinlichkeit eines durch einen Pfad gegebenen Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen längs dieses Pfads. 2. Die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu dieses Ereignis führen. Beispiele: 1. Die nebenstehenden Glücksräder werden gedreht. Be- trachtet werden die Ereignisse E1: Hauptgewinn, wenn beide Räder eine 1 zeigen; E2: Trostpreis, wenn genau eine 2 dabei ist; also E1 = {(1, 1)}, E2 = {(1, 2), (2, 1), (3, 2)}. 1. Stufe: Drehen des linken Glücksrads. 2. Stufe: Drehen des rechten Glückrads. P (E1) = 1 4 · 1 4 = 1 16 = 6,25 % (Pfad ganz links), P (E2) = P ({(1, 2)}) +P ({(2, 1)}) +P ({(3, 2)}) = = 1 4 · 3 4 + 1 4 · 1 4 + 1 2 · 3 4 = 5 8 = 62,5 % &% '$r1 2 3 @R &% '$r1 2 @R   HHH HH 1 2 3 1 4 1 4 1 2


A AA 1 2 1 4 3 4


A AA 1 2 1 4 3 4


A AA 1 2 1 4 3 4 - - 2. In einem Hut befinden sich 9 Lose, davon 2 Gewinnlose. Jemand zieht 3 Lose (natür- lich ohne Zurücklegen). Ereignis A: Mindestens ein Gewinn. Erste Stufe des Zufallsexperiments: Ziehen des ersten Loses. Bei der zweiten Stufe muss man berücksichtigen, dass nun nur noch 8 Lose im Hut sind, davon je nach Ausgang der ersten Stufe 1 oder 2 Gewinnlose. Entsprechend verfährt man beim dritten Zug. Baumdiagramm (G=Gewinn, G=Niete):   HHH HHH G G 2 9 7 9 @ @ @ @ @ @ G G G G 1 8 7 8 2 8 6 8


A A A


A A A


A A A G G G G G G G 1 1 7 6 7 1 7 6 7 2 7 5 7 Ereignis A ist durch alle Pfade außer dem letzten ganz rechts gegeben, so dass es be- quemer ist, die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Gegenereignisses A: ”Kein Gewinn“ zu berechnen: P (A) = 1− P (A) = 1− 7 9 · 6 8 · 5 7 = 7 12 = 58,3 % w w w .strobl-f.de/grund910.pdf   9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Lösen von Gleichungen 10 Allgemein: Klammern auflösen, wenn sinnvoll (z. B. nicht sinnvoll, wenn im Nenner eines Bruchs bereits ein Produkt steht oder wenn ein Produkt gleich Null ist). Gleichartige Terme zusammenfassen (z. B. x bzw. x2 ausklammern). Typ Name Lösungsverfahren Beispiel x+ 2 = 3x− 3 Lineare Glei- chung x-Glieder auf eine Sei- te, Rest auf die andere 2 + 3 = 3x− x 5 = 2x; x = 5 2 ; L = {5 2 } 0 = 0 Allgemein- gültig Alle erlaubten x sind Lösung L = D bzw. L = IR 0 = 1 Unerfüllbar Keine Lösung L = {} x2 − 6x− 16 = 0 Quadratische Gleichung in Normalform p, q-Formel x1/2 = −p2± √ (p 2 )2 − q (oder allg. Formel mit a = 1) x1/2 = 3± √ 9 + 16 x1 = −2; x2 = 8 L = {−2; 8} 4x2 + 4x+ 1 = = 5x+ 34 Allgemeine quadratische Gleichung Nach 0 auflösen; Mitternachtsformel x1/2 = −b± √ b2 − 4ac 2a 4x2 − x− 33 = 0 x1/2 = 1± √ 1+4·4·33 2·4 = 1±23 8 x1 = 3; x2 = −114 L = {−11 4 ; 3} 4x2 − 2 = 7 Rein- quadratische Gleichung Nach x2 auflösen. Keine, eine oder zwei Lösungen! x2 = 9 4 x1/2 = ± √ 9 4 = ±3 2 L = {−3 2 ; 3 2 } x2 − 7x = 0 Qu. Gl. ohne Konstante (nur wenn rech- te Seite =0 ist!) x ausklammern; ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist x(x− 7) = 0 x = 0 oder x− 7 = 0 x1 = 0, x2 = 7 L = {0; 7} x4 − 6x2 − 16 = 0 Biquadr. Gleichung Substitution u = x2 u2 − 6u− 16 = 0 u1 = −2, u2 = 8 x1/2 pppppppppp?, x3/4 = ±√8 L = {− √ 8; √ 8} x4 = 5 Reine Potenz- gleichung Umkehroperation hoch 4↔ hoch 1 4 x = ±5 14 = ± 4 √ 5 L = {− 4 √ 5; 4 √ 5} x x− 1 − 1 = 3 x+ 2 Allgemeine Bruch- gleichung Nenner faktorisieren; mit Hauptnenner multi- plizieren; Definitionsmenge! D = IR\{−2; 1} HN = (x− 1)(x+ 2) x(x+2)−(x−1)(x+2) = 3(x− 1) x2+2x−x2−2x+x+2 = = 3x− 3 x = 5 2 L = {5 2 }. 3 x− 1 = 2 x+ 1 Bes. Bruchgl.: li. und re. Seite nur ein Bruch Kreuzweise multipli- zieren. Definitionsmenge! D = IR\{−1; 1} 3(x+ 1) = 2(x− 1) x = −5 L = {−5}√ 5x+ 34−2x = 1 Wurzel- gleichung Definitionsmenge! Wurzel isolieren; quadrieren; Probe! D = [−34 5 ;∞[√ 5x+ 34 = 2x+ 1 5x+ 34 = 4x2 + 4x+ 1 x1 =3 ( √ ), x2 =−114 ( pppppppppp?) L = {3} sinϕ = 0,6 Trigonometr. Gleichung Taschenrechner (SHIFT) sin−1 ϕ ≈ 36,87◦ Näheres→ 10. Klasse!      w w w .s tr ob l- f.d e/ gr un d9 k. pd f 9. K la ss e TO P 10 G ru nd w is se n 09 K er ns ät ze K B la tt au fD IN A 3 ve rg rö ße rn ,K ar te ik ar te n au ss ch ne id en un d R üc ks ei te an R üc ks ei te zu sa m m en kl eb en ! W ur ze ln 91 • D efi ni tio ns be re ic h, z. B .√ x − 3 • B ed eu tu ng :W ar um is t√ 2 ni ch t ge na u 1, 4? • Po te nz sc hr ei bw ei se :a 1 n = .. . • R ec he nr eg el n, z. B . 3√ x · 6√ x , 3√ x 6 , √ k 4 + k 2 B in .F or m el n, Fa kt or is ie re n 92 a 2 + 2 a b + b2 = .. . a 2 − b2 = .. . .. . = (x − y )2 B ei sp ie le :( 10 x + 1) 2 = .. . 6x 3 − 24 x = .. . x 2 − 14 x + .. . = (. .. )2 Q ua dr at is ch e G le ic hu ng en 93 W el ch er Sc hr itt w ir d be i qu ad r. G le ic hu ng en zu er st ge m ac ht ,z .B . x 2 + 3 x = 10 ? W ie la ut et di e L ös un gs fo rm el fü r di e G le ic hu ng a x 2 + bx + c = 0? W as be sa gt di e D is kr im in an te ? Q ua dr .F un kt io ne n: Sc he ite l 94 W ie er ke nn tm an an y = a (x + d )2 + e L ag e un d Fo rm de rP ar ab el ? W ie ge ht di e qu ad ra tis ch e E rg än zu ng ,z .B . y = x 2 − 1 4 x + 4 1 ? Q ua dr .F un kt io ne n: Z ei ch nu ng 9 5 W ie ze ic hn et m an z. B .d ie Pa ra be l y = − 1 2 (x − 3 )2 + 2 ? L 91 • R ad ik an d ≥ 0, hi er al so x ≥ 3 •√ 2 is td ie je ni ge Z ah l, de re n Q ua - dr at 2 is t; es is ta be r1 ,4 2 = 1 ,9 6 • a 1 n = n√ a • x 1 3 ·x 1 6 = x 1 3 + 1 6 = x 1 2 = √ x 3√ x 6 = (x 6 ) 1 3 = x 6 ·1 3 = x 2 √ k2 (k 2 + 1) = k √ k 2 + 1 L 92 a 2 + 2 a b + b2 = (a + b) 2 a 2 − b2 = (a + b) (a − b) x 2 − 2 x y + y 2 = (x − y )2 (1 0x + 1) 2 = 10 0x 2 + 20 x + 1 6 x 3 − 24 x = 6x (x 2 − 4) = = 6x (x + 2) (x − 2) x 2 − 14 x + 49 = (x − 7) 2 L 93 Z ue rs ta lle s au fe in e Se ite br in ge n. M itt er na ch ts fo rm el : x 1 / 2 = − b ± √ b 2 − 4 a c 2 a D is kr im in an te b2 − 4 a c: W en n po - si tiv ,d an n gi bt es zw ei L ös un ge n, w en n 0, da nn ei ne ,w en n ne ga tiv , da nn ke in e. L 94 Im V er gl ei ch zu y = x 2 is t y = a (x + d )2 + e um d na ch lin ks un d um e na ch ob en ve rs ch ob en . a < 0: N ac h un te n ge öf fn et .a be - tr ag sm äß ig kl ei n: W ei te Pa ra be l. x 2 − 1 4 x + 4 1 = (x − 7 )2 − 4 9 + 4 1 6 ha lb 6 Q ua dr at L 95 Vo m Sc he ite l au s be i de r N or - m al pa ra be l (a = 1) ”3 zu r Se ite , 9 na ch ob en us w .“ , al so be ia = − 1 2 ”3 zu rS ei te , 4, 5 na ch un te n us w .“ . 6 y - x 3 2 q − 2, 5 1 Py th ag or as 96 W ie be re ch ne t m an Se ite nl än ge n im re ch tw in kl ig en D re ie ck ? W ie la ng is t di e D ia go na le im Q ua dr at m it Se ite nl än ge a ? H öh e im gl ei ch se iti ge n D re ie ck : W ie la ut et de rP yt ha go ra s- A ns at z? si n, co s, ta n im re ch tw in kl .∆ 97 Fo rm ul ie re m it A nk at he te us w .: si n ϕ = .. . .. . co s ϕ = .. . .. . ta n ϕ = .. . .. .    G eg en - ka th et e ϕ A nk at he te H yp ot en us e p Fo rm ul ie re B ez ie hu ng en zw i- sc he n si n, co s, ta n. Pr is m a, Z yl ., Py ra m id e, K eg el 9 8 W ie la ut en di e Vo lu m en fo rm el n? W ie si eh t di e A bw ic kl un g de s M an te ls ei ne s K eg el s au s? W ie ge ht m an zu r B er ec hn un g de r O be rfl äc he ei ne r Py ra m id e im Pr in zi p vo r? M eh rs tu fig e Z uf al ls ex pe ri m en te 99 W ie ka nn m an m eh rs tu fig e Z u- fa lls ex pe ri m en te be sc hr ei be n? B ei sp ie l: P ( ” ve rs ch ie de nf ar bi g“ ) be im zw ei m al ig en Z ie he n oh ne Z ur üc kl eg en au s ei ne r U rn e m it 3 sc hw ar ze n un d 2 ro te n K ug el n. L ös en vo n G le ic hu ng en 91 0 W ie la ut en di e L ös un gs re ze pt e: (1 )2 8 x + 7 = 0 (2 )2 8 x 2 = 7 (3 )2 8 x 2 − 7 x = 0 (4 )2 8 x 2 − 7 x + 1 = 0 (5 ) 1 x = 2 8 7 − x L 96 H H H H k 1 k 2 h p k 2 1 + k 2 2 = h 2 Q ua dr at di ag on al e d = √ 2a    T T T h s s 2p h 2 + ( s 2 )2 = s2 L 97 si n ϕ = G eg en ka th et e H yp ot en us e co s ϕ = A nk at he te H yp ot en us e ta n ϕ = G eg en ka th et e A nk at he te ta n ϕ = si n ϕ c o s ϕ (s in ϕ )2 + (c os ϕ )2 = 1 L 98 V P ri sm a = G ru nd fl. ·H öh e= G ·h V Z y li n d e r = r2 π h V P y r = 1 3 G h , V K e g e l = 1 3 r2 π h M K e g e l: Se kt or m it R ad iu s m = √ r2 + h 2 O P y r :V er w en de St üt zd re ie ck e.     @ @ @ D D D D L 99 B au m di ag ra m m .


A A A


A A A s r s r s r   S S S 3 5 2 5 2 4 2 4 3 4 1 4 Pf ad re ge ln : P ( ” ve rs ch ie de n- fa rb ig “) = = 3 5 ·2 4 + 2 5 ·3 4 L 91 0 (1 )A lle x au fe in e Se ite .x = − 1 4 (2 )H ie r2 L sg en .x = ± √ 7 28 = ± 1 2 (3 )A us kl am m er n. x (2 8x − 7 )= 0 ; x 1 = 0; x 2 = 1 4 (4 )M itt er na ch ts fo rm el .H ie rL = {} (5 )B ru ch gl .: M it N en ne rm ul tip li- zi er en .7 − x = 2 8x ;x = 7 2 9          www.strobl-f.de/ueb93.pdf 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Quadratische Gleichungen 03 1. Löse folgende quadratische Gleichungen: (a) x2 − 5x+ 6 = 0 (b) x2 − 6x = 27 (c) x2 − x+ 0,3 = 0 (d) x2 + 4x = 7 (e) x2 + 12x+ 36 = 0 (f) 3x2 − 11,7x+ 4,2 = 0 (g) 60x2 + 57x = 18 (h) −x2 + 66x− 1089 = 0 (i) −0,5x2 + 7 = 2x (j) 2x2 − kx− k2 = 0 2. Bestimme nur die Zahl der Lösungen: (a) 8(x− 7)(x− 1) = 15 (b) −(x− 7)(x− 1) = 15 (c) (x− 7)2 − (x− 1)2 = 15 (d) 3(x− 10)2 + 902 = (x− 23)(x− 137) + 3999 3. Bei welcher der folgenden Gleichungen sollte man ausmultiplizieren, bei welcher nicht? (a) (x− 7)(x− 17) = 200 (b) (x− 7)(x− 17) = 0 (c) (x− 1)2 = −4x (d) (x− 1)2 = −4 4. Finde zwei Zahlen, deren Summe 10 ist und deren Produkt 11 ist. 5. Welcher Fehler wurde hier gemacht? x2 = 49x | : x x = 49 FALSCH! 6. Schreibe 3x2 + 30x+ 72 als Produkt! Hinweise: Gelingt es, eine in Normalform gegebene quadratische Gleichung x2 + bx + c = 0 auf die Form (x − r)(x − s) = 0 zu bringen, so sind x1 = r und x2 = s die Lösungen der Gleichung (denn ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist). Umgekehrt kann man damit Faktorisieren: Hat man für die quadratische Gleichung ax2 + bx+ c = 0 z. B. mit der Formel die Lösungen x1 = r und x2 = s gefunden, so ist ax2 + bx+ c = a(x− r)(x− s) (”x minus Lösung“). Beispiel: 5x2 + 25x−120 = 0 liefert x1 = 3, x2 = −8; damit kann man schreiben 5x2 + 25x−120 = = 5(x− 3)(x− (−8)) = 5(x− 3)(x+ 8).          www.strobl-f.de/ueb94.pdf 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Quadratische Funktionen: Scheitel 04 1. Bestimme den Scheitel: (a) y = x2 − 3x− 3 4 (mit quadratischer Ergänzung) (b) y = −1 4 x2 + 6x− 11 (mit quadratischer Ergänzung) (c) y = 1 2 x2 + 4x− 24 (mit Hilfe der Nullstellen) 2. Wie lautet die Gleichung einer nach unten geöffneten Standardparabel mit Scheitel (5|2)? 3. Wodurch unterscheiden sich die Parabeln y = 3x2− 18x+ 27 und y = 1 3 x2− 2x+ 3? 4. Bestimme den Scheitel der Parabel, die durch die Punkte A(−1|−38), B(1|−18) und C(3| − 6) geht. Anleitung: Setze in den Ansatz y = ax2 + bx+ c den x- und y-Wert jeweils eines Punktes ein und gewinne so ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen für die Variablen a, b, c. Zur Lösung von linearen Gleichungssystemen siehe grund84.pdf und ueb84.pdf, Aufgabe 3. 5. In dieser Aufgabe wird der Funktionsterm einer quadratischen Funktion aufgestellt für die Summe aller natürlichen Zahlen bis zur Zahl x. (a) Betrachte zunächst die Summe s = 1 + 2 + 3 + . . .+ 11 + 12. Studiere folgenden Trick zur Berechnung von s: s = 1 + 2 + . . .+ 12 s = 12 + 11 + . . .+ 1 2s = 13 + 13 + . . .+ 13 = 12 · 13, also s = 78 Verwende denselben Trick, um 1 + 2 + . . .+ 98 + 99 zu bestimmen. (b) Begründe ebenso: 1 + 2 + . . .+ x = x(x+1) 2 (c) Bestimme den Scheitel zur Funktionsgleichung y = x(x+1) 2 6. Aus einem diagonal halbierten DIN A 4-Blatt soll entsprechend nebenstehender Zeichnung ein möglichst großflächiges Rechteck geschnitten werden. Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q 29,7 21 a b Hinweis: Gehe in folgenden Schritten vor: • Schreibe für die Größe, die maximiert werden soll, eine einfache Formel. • Die Maße a und b des Rechtecks sind durch eine sog. Nebenbedingung verknüpft (denn je größer a, desto kleiner ist b). Mache dir klar, dass gilt: 29,721 = b 21−a • Auflösen dieser Gleichung nach b. • Durch Einsetzen in die anfängliche Formel erhält man eine Darstellung mit nur einer Variablen in Form einer quadratischen Funktionsgleichung. Führe eine Umbenennung durch (x statt a). • Durch Suche des Scheitels findet man das Extremum, d. h. die Breite a, für die die Fläche extremal (hier: maximal) wird.          www.strobl-f.de/ueb95.pdf 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Quadratische Funktionen: Zeichnung 05 1. Zeichne folgende Parabeln: I y = x2 − 3x− 3 4 II y = 1 2 x(x+ 1) III y = −x2 − 4x− 5 2. Bestimme die gemeinsamen Punkte: (a) Für die Parabeln I und III aus Aufgabe 1 (b) Für die Parabel II aus Aufgabe 1 und y = 1 2 x2 + 4x− 24 3. Man gebe die Funktionsgleichung der Parabel an, die durch Spiegelung der Parabel y = −1 4 x2 + 6x− 11 am Ursprung des Koordinatensystems entsteht. 4. Zeichne folgende Parabeln: I y = 3x2 − 18x+ 27 II y = 1 3 x2 − 2x+ 3 III y = −5x2 + 62x− 189 5. Bestimme die gemeinsamen Punkte der Parabeln II und III aus Aufgabe 4. Interpretiere das Ergebnis. 6. Zeichne in das Koordinatensystem aus Aufgabe 4 die Gerade g : y = −4 3 x + 8 3 und berechne die x-Werte der gemeinsamen Punkte (a) der Geraden und der Parabel II aus Aufgabe 4 (b) der Geraden und der Parabel III aus Aufgabe 4          www.strobl-f.de/ueb98.pdf 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel 08 1. Berechne Volumen und Oberfläche, wenn der Körper jeweils die Höhe h = 5 cm hat: (a) Prisma mit gleichschenkligem Dreieck als Grundfläche, Schenkellänge 3 cm, Ba- sis 2 cm. (b) Zylinder mit Radius r = 3 cm. (c) Gerade Pyramide (d. h. alle Seitenkanten gleich lang) mit Quadrat der Kan- tenlänge 24 cm als Grundfläche. (d) Kegel mit Radius r = 3 cm. 2. Die nebenstehende Figur rotiert um die Achse A. Berechne das Volumen Rotationskörpers in Abhängigkeit von a. HH HHHH A a a a a 3. Ein Kegel, dessen Höhe h so groß ist wie der Grundkreis-Durchmesser, habe das Vo- lumen 1 Liter. Berechne h. Berechne ferner den Öffnungwinkel α des Sektors, aus dem dieser Kegel gefertigt werden kann. 4. Eine Pyramide habe als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit Umkreisradius r (gemäß ueb96.pdf, Aufgabe 4a, ist dann die Grundkantenlänge ebenfalls r und der Inkreisradius √ 3 2 r). Der Höhenfußpunkt der Pyramide sei der Umkreismittelpunkt, die Seitenkantenlänge sei 2,6r. Berechne das Volumen der Pyramide. Berechne den Neigungswinkel der Seitenkante zur Grundfläche und den Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche. 5. Berechne das Volumen eines Kegelstumpfs mit Höhe 2, ”oberem“ Radius 3 und ”un- terem“ Radius 5. 6. Das nebenstehende Netz mit lauter gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge k lässt sich zu einem Oktaeder falten, indem man zunächst aus der ”lin- ken“ Hälfte des Netzes eine Pyramide herstellt. Berechne die Höhe dieser Pyramide und zeichne ein Schrägbild der Oktaeders. " " " " " " " " " "" " " "" " " " " " " "b b b b b b b b b b b b b b b b bb b b bb k A′ A A′′          www.strobl-f.de/ueb99.pdf 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Mehrstufige Zufallsexperimente 09 1. Von 58,6 Millionen Italienern sind etwa 300 000 deutschsprachig (vor allem Südtiro- ler), von 7,4 Millionen Schweizern etwa 4,7 Millionen (der Rest hat als Erstsprache z. B. Französisch, Italienisch, Rätoromanisch), von 8,2 Millionen Österreichern etwa 88,6 % (der Rest z. B. kroatisch). Bei einem Preisausschreiben wird zuerst ein Land ausgelost und dann aus dessen Einwohnern eine Person. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die ausgewählte Person Deutsch als Erstsprache? Ergäbe sich ein anderes Ergebnis, wenn man direkt aus allen Einwohnern dieser drei Länder eine Person zufällig auswählen würde? 2. In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, davon 12 rote, der Rest schwarze. (a) Man zieht viermal mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nur rote Kugeln zu ziehen? (b) Man zieht aus dieser Urne zweimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahr- scheinlichkeit, nur rote Kugeln zu ziehen? (c) Man zieht aus der Urne dreimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrschein- lichkeit, immer abwechselnd die jeweils andere Farbe zu ziehen? (d) Wie viele der 30 Kugeln müssten rot sein, damit die Wahrscheinlichkeit aus Teil- aufgabe (a) etwa 50 % beträgt? (e) Wie viele der 30 Kugeln müssten rot sein, damit die Wahrscheinlichkeit aus Teil- aufgabe (b) etwa 50 % beträgt? 3. Ein dreiziffrige Zufallszahl (im Bereich von 000 bis 999) wird ermittelt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält sie mindestens zwei gleiche Ziffern? Viele Taschenrechner können solche Zufallszahlen mit einer RANDOM oder RAN- Taste liefern. Führe das Experiment 25-mal durch. Wie viele Ergebnissse mit min- destens zwei gleichen Ziffern sind zu erwarten? 4. Hinter einem Sportplatz befindet sich ein Haus mit einem großen und einem kleinen zum Platz hin zeigenden Fenster. Die Wahrscheinlichkeit, dass im Laufe eines Fuß- ballspiels die große Scheibe (Reparaturkosten 150 Euro) zertrümmert wird, betrage 0,2 %, für die kleine Scheibe (110 Euro) 0,1 %. Im Falle eines Schadens werden bis zur Reparatur keine Spiele durchgeführt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 7 Spieltagen die Reparaturkosten mehr als 1000 Euro betragen? 5. Aus einer Urne (2 rote, 3 schwarze Kugeln) wird so lange ohne Zurücklegen gezogen, bis die zweite schwarze Kugel gezogen wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies beim dritten Zug der Fall? 6. Beim Känguru-Wettbewerb der Mathematik sind 30 Fragen zu beantworten, wobei jeweils 5 Antwortmöglichkeiten vorgegeben sind. Erscheint die Annahme plausibel, dass die 361 513 Teilnehmer der Klassen 5–13 im Jahr 2006 alle nur auf gut Glück angekreuzt haben, wenn 14 von ihnen volle Punktezahl erhielten?          www.strobl-f.de/ueb910.pdf 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Lösen von Gleichungen 10 Typ Name Lösungsverfahren Beispiel 4x+ 4 = −4x+ 8 5 = 5 0 = 5 x2 − 8x− 20 = 0 9x2 + 12x+ 4 = = 8x+ 9 9x2 + 3 = 7 x2 − 2x = 0 x4− 8x2− 20 = 0 x3 = 512 1− 1 x = 1 x2 − x 4 3x− 4 = 1 x+ 2 √ 8x+ 9− 2 = 3x cosα = 1 2 √ 2          www.strobl-f.de/lsg91.pdf 9. Klasse Lösungen 9 Wurzeln 01 1. (a) x− 36 ≥ 0: x ≥ 36; D = [36;∞[. (b) 36 + x2 ist wegen des Quadrats stets > 0, also D = IR. (c) x+ 36 > 0: x > −36; D =]− 36;∞[. (d) x2 − 36 ≥ 0, d. h. x ≥ 6 oder x ≤ −6; D =]−∞;−6] ∪ [6;∞[ 2. (a) √ 5 · 100 + 3 √ 2 · 49− 5 √ 4 · 2− 3 √ 9 · 5 = 10 √ 5 + 21 √ 2− 10 √ 2− 9 √ 5 = = √ 5 + 11 √ 2 (b) √ 64k2 = 8|k| (c) (√ x5y√ 5a : √ x3y3√ a2 ) · √ 25x√ a = √ x5y · a2 √ 25x√ 5a · x3y3 √ a = √ x5ya2 · 25x 5ax3y3a = √ 5x3 y2 = = x y √ 5x (d) ( 6 √ 8 · 8 12 )4 = (8 16 · 8 12 )4 = (8 16 + 12 )4 = (8 23 )4 = 8 83 = (8 13 )8 = ( 3 √ 8)8 = 28 = 256 (e) √ x 1 6x− 1 2 = √ x 1 6 − 1 2 = √ x− 1 3 = ( x− 1 3 ) 1 2 = x− 1 3 · 1 2 = x− 1 6 = 1 x 1 6 = 1 6 √ x 3. (a) 1√ 2 = 1 · √ 2√ 2 · √ 2 = √ 2 2 (b) √ 2− √ 125√ 5 = ( √ 2− √ 125) · √ 5√ 5 · √ 5 = √ 10− √ 625 5 = √ 10− 25 5 = √ 10 5 − 5 4. (a) −14± √ 196− 32 2 = −14± √ 164 2 = −14± √ 4 · 41 2 = −14± 2 √ 41 2 = = −7± √ 41 (b) x1/2 = −5± √ 25 + 8 · 7 2 √ 7 = −5± √ 81 2 √ 7 = −5± 9 2 √ 7 . x1 = −5−9 2 √ 7 = −14 2 √ 7 = −14 √ 7 2 √ 7 √ 7 = −14 √ 7 2·7 = − √ 7 x2 = −5+9 2 √ 7 = 4 2 √ 7 = 2 √ 7√ 7 √ 7 = 2 √ 7 7 5. Bei ± oder ∓ gehören jeweils die oberen Vorzeichen bzw. nur die unteren Vorzeichen zusammen. Bei Unsicherheiten schreibe man zuerst die Ausdrücke nur mit den oberen Vorzeichen. f(x) = 2 ( 7± √ 55 2 )2 −6· 7± √ 55 2 − 3 2 = 2· 49± 14 √ 55 + 55 4 − 42± 6 √ 55 2 − 3 2 = = 49± 14 √ 55 + 55− 42∓ 6 √ 55− 3 2 = 59± 8 √ 55 2 g(x) = ( 7± √ 55 2 )2 + 7± √ 55 2 = 49± 14 √ 55 + 55 4 + 14± 2 √ 55 4 = 59± 8 √ 55 2 Interpretation: Die durch f und g gegebenen Funktionen haben die Punkte mit diesen x-Werte als ge- meinsame (Schnitt-)Punkte. 6. Intervallschachtelung: Wegen 1,412 = 1,9881 und 1,422 = 2,0164 liegt √ 2 zwi- schen 1,41 und 1,42. Probieren mit 1,4152 = 2,002225, 1,4132 = 1,996569 und 1,4142 = 1,999396 zeigt, dass √ 2 zwischen 1,414 und 1,415 liegt, also √ 2 = 1,414 . . .          www.strobl-f.de/lsg92.pdf 9. Klasse Lösungen 9 Binomische Formeln, Faktorisieren 02 1. (a) (x− 1 2 )2 = x2 − x+ 1 4 (b) (2m+ n)2 = 4m2 + 4mn+ n2 (c) (mn− p)(p+mn) = (mn− p)(mn+ p) = m2n2 − p2 (d) (−r − s)2 = (−r)2 + 2(−r)(−s) + (−s)2 = r2 + 2rs+ s2 (e) (x−11 3 )2 +(x+11 3 )2− (x+ 7 3 )(x− 7 3 ) = (x− 4 3 )2 +(x+ 4 3 )2− (x+ 7 3 )(x− 7 3 ) = = x2 − 8 3 x+ 16 9 + x2 + 8 3 x+ 16 9 − (x2 − 49 9 ) = 2x2 + 32 9 − x2 + 49 9 = x2 + 81 9 = = x2 + 9 (Weitere Vereinfachung ist nicht möglich/keine binomische Formel!) 2. (a) ax2 + bx− x = x(ax+ b− 1) (b) x2 − 30x+ 225 = (x− 15)2 (c) 9x2 − 121 = (3x+ 11)(3x− 11) (d) m2x2 + 40mx+ 400 = (mx+ 20)2 (e) 81x4 − 1 = (9x2 + 1)(9x2 − 1) = (9x2 + 1)(3x+ 1)(3x− 1) (f) 11x3 − 44x = 11x(x2 − 4) = 11x(x+ 2)(x− 2) (g) 1 5 x2 + 12x+ 180 = 1 5 (x2 + 60x+ 900) = 1 5 (x+ 30)2 (h) 3k2 − 3k + 3 4 = 3(k2 − k + 1 4 ) = 3(k − 1 2 )2 (i) 3x2 + 39x+ 507 = 3(x2 + 13x+ 169) (Weitere Vereinfachung ist nicht möglich, da das gemischte Glied nicht zur bino- mischen Formel (x+ 13)2 = x2 + 26x+ 169 passt.) (j) −x2 + 1 2 x− 1 16 = −(x2 − 1 2 x+ 1 16 = −(x− 1 4 )2 3. Der Term unter der Wurzel muss ≥ 0 sein: x2 − 12x + 36 ≥ 0, also (x − 6)2 ≥ 0. Da Quadrate nie negativ sind, ist dies stets der Fall. Also sind alle x-Werte erlaubt: D = IR. 4. (a) Summen/Differenzen (z. B. (a+ b)3) nicht einzeln potenzieren! Sondern: Ausmultiplizieren (binomische Formeln): (a+ b)3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b) = (a2 + 2ab+ b2)(a+ b) = = a3 + a2b+ 2a2b+ 2ab2 + b2a+ b3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 (b) Summen/Differenzen (z. B. a7 − a5) können nicht zusammengefasst werden. Sondern: Gemeinsame Faktoren ausklammern, eventuell binomische Formeln suchen, sonst stehen lassen: a7 − a5 a3 − a2 = a5(a2 − 1) a2(a− 1) = a5(a+ 1)(a− 1) a2(a− 1) = a3(a+ 1) 5. (a) x2 − 10x+ 25 = (x− 5)2 (b) 1 100 x2 + x+ 25 = ( 1 10 x+ 5)2 (Lösungsweg: 1. Schritt: Schreibe 1 100 x2 + x+ . . . = ( 1 10 x+?)2. 2. Schritt: Überlege das gemischte Glied: 2 · 1 10 x·? = x, also 2 10 ·? = 1, also ? = 5. 3. Schritt: Binomische Formel für ( 1 10 x+ 5)2 ausrechnen.) 6. ax− 7bx+ 4ay − 28by = x(a− 7b) + 4y(a− 7b) = (x+ 4y)(a− 7b)          www.strobl-f.de/lsg93.pdf 9. Klasse Lösungen 9 Quadratische Gleichungen 03 1. (a) x1/2 = 2,5± √ 6,25− 6 = 2,5± 0,5; x1 = 2, x2 = 3 (b) x2 − 6x− 27 = 0; x1/2 = 3± √ 9 + 27 = 3± 6; x1 = −3, x2 = 9 (c) x1/2 = 0,5± √ 0,25− 0,3 = 0,5± √ −0,05; keine Lösung (d) x1/2 = −2± √ 4 + 7 = −2± √ 11 (e) x1/2 = −6± √ 36− 36 = −6 (eine doppelte Lösung) (f) x1/2 = 11,7± √ 11,72−4·3·4,2 2·3 = 11,7±9,3 6 ; x1 = 0,4, x2 = 3,5 (g) 60x2 + 57x− 18 = 0; x1/2 = −57± √ 572+4·60·18 2·60 = −57±87 120 ; x1 = −1,2; x2 = 0,25 (h) x1/2 = −66± √ 662−4·(−1)·(−1089) 2·(−1) = −66±0 −2 = 33 (eine doppelte Lösung). (i) −0,5x2 − 2x+ 7 = 0; x1/2 = 2± √ 4−4·(−0,5)·7 2·(−0,5) = 2± √ 18 −1 = −2∓ 3 √ 2 (j) x1/2 = +k± √ (−k)2−4·2·(−k2) 2·2 = k± √ 9k2 4 = k±3k 4 ; x1 = k, x2 = −k2 2. (a) 8(x2 − x− 7x+ 7) = 15; 8x2 − 64x+ 41 = 0; D = (−64)2 − 4 · 8 · 41 = 2784 > 0; also 2 Lösungen (b) −(x2 − x− 7x+ 7) = 15; −x2 + 8x− 22 = 0; D = 82 − 4 · (−1) · (−22) = −24 < 0; also keine Lösung (c) x2 − 14x+ 49− (x2 − 2x+ 1) = 15; −12x+ 33 = 0; lineare Gleichung mit 1 Lösung (nämlich 33 12 = 11 4 ) (d) 3(x2−20x+100)+8100 = x2−137x−23x+3151+3999; 2x2+100x+1250 = 0; D = 1002 − 4 · 2 · 1250 = 0; also 1 doppelte Lösung 3. Bei (a) und (c) muss ausmultipliziert werden. Bei (a) ergibt sich dann x1/2 = 12± 15, bei (c) x1/2 = −1. Bei (b) sollte man nicht ausmultiplizieren; denn ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, also wenn x− 7=0 oder x− 17=0; Lösungen somit x1 = 7, x2 = 17. Bei (d) sieht man sofort, dass die Gleichung keine Lösung hat, da ein Quadrat stets ≥ 0 ist. 4. Die Zahlen seien x und y. Das Gleichungssystem x + y = 10, x · y = 11 löst man, indem man die erste Gleichung nach y auflöst (y = 10− x) und in die zweite einsetzt: x(10−x) = 11; 10x−x2 = 11; x2−10x+11 = 0; x1/2 = 5± √ 25− 11 = 5± √ 14. Ist x = 5 + √ 14, so ist y = 10− x = 5− √ 14, und umgekehrt. 5. Richtiger Weg: Alles auf eine Seite bringen, x ausklammern: x2 − 49x = 0; x(x− 49) = 0; x1 = 0, x2 = 49. Im gegebenen falschen Rechenweg fehlte also die erste Lösung x1 = 0. Ursache: Man dividiere nie durch einen Ausdruck mit der Lösungsvariablen. Denn da man den Wert von x noch nicht kennt, könnte es sein, dass man verbotenerweise durch 0 dividiert. 6. 3x2 + 30x + 72 = 0 hat die Lösungen x1/2 = −30± √ 900−4·3·72 2·3 = −30±6 6 ; x1 = −4, x2 = −6. Also 3x2 + 30x+ 72 = 3(x+ 4)(x+ 6).          www.strobl-f.de/lsg96.pdf 9. Klasse Lösungen 9 Pythagoras 06 1. (a) PQ = √ (xq − xp)2 + (yq − yp)2 - 6 xp xq yp yq x y r r     P Q xq − xp yq − yp (b) AB = √ (1− 3)2 + (1− 2)2 = √ 5, BC = √ (5− 1)2 + (−2− 1)2 = = √ 16 + 9 = 5, AC= √ (5− 3)2 + (−2− 2)2 = √ 20. (c) Ist bei A der rechte Winkel, so ist [BC] die Hypotenuse; es muss also gelten BC2 = AC2 + AB2. Dies gilt wegen BC2 = 25, AC 2 + AB 2 = 20 + 5 = 25. 2. (a) Als längste Strecke kommen in Be- tracht: Von der vorderen unteren Ecke E zur hinteren Firstecke F oder von E zur Trauf-Ecke T . Wie bei der Diagonalen im Quader (→ grund96.pdf) berechnet man: EF 2 = 1,702 + 2,502 + 2,552, EF ≈ 3,96. ET 2 = 3,402 + 2,502 + 2,032, ET ≈ 4,68 (alles in m). Längster Faden also: 4,68 m. (b) HH HHHH1,70 0,52 l F TDachlänge: l2 = 0,522 + 1,702, l ≈ 1, 78. Dach links: A ≈ 1,78 · 2,50 ≈ 4, 45 Dachfläche: 2A ≈ 8, 9 (m2) 3. v2 = v2x + v 2 y , also vx = ± √ v2 − v2y , vy = ± √ v2 − v2x, |v| = √ v2x + v 2 y . vx 5 6 ±0,6 ±8 3 7 vy 12 −8 0,8 15 ±4 ±24 |v| 13 10 1 17 5 25 4. (a) H HH   HHH h∆ 60◦   HH HHHHr r r Das regelmäßige Sechs- eck kann in gleichseitige Dreiecke zerlegt wer- den. Daher ist die Kantenlänge gleich dem Umkreisradi- us r. Der Inkreisradius ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck: h∆ = √ 3 2 r. (c) Nennt man die Ecken A1, A2, . . . , A8 und den MittelpunktM , so zeichne man die Verbindungslinie [A1A3] ein. Dann ist MA1A3 ein rechtwinkliges Dreieck, das durch [MA2] in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt wird. 5. (a) p2 +h2 = a2, q2 +h2 = b2, a2 +b2 = c2 (b) Aus (a) folgt h2 = a2 − p2. Somit pq = p(c− p) = pc− p2 = = a2 − p2 = h2 (Höhensatz) 6. Es soll gelten: FP = PL Mit der Formel für Abstände im Koordinaten- system folgt:√ x2 + (y − f)2 = y + f Quadrieren beider Seiten: x2 + (y − f)2 = (y + f)2 x2 + y2 − 2yf + f 2 = y2 + 2yf + f 2 x2 = 4yf Mit y = x2 folgt x2 = 4x2f f = 1 4 . Also Brennpunkt F (0|1 4 ).          www.strobl-f.de/lsg97.pdf 9. Klasse Lösungen 9 sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck 07 1. (a) α = 180◦ − γ − β = 180◦ − 90◦ − 57◦ = 33◦ (Winkelsumme im Dreieck) sin β = b c , also b = c sin β = 4 sin 57◦ ≈ 3,35 cos β = a c , also a = c cos β = 4 cos 57◦ ≈ 2,18 (oder Pythagoras: a = √ c2 − b2) (b) β = 180◦ − γ − α = 180◦ − 90◦ − 24◦ = 66◦ sinα = a c , also c = a sinα ≈ 66,38; tanα = a b , also b = a tanα ≈ 60, 64 (c) a2 + b2 = c2, also b = √ c2 − a2 = √ 0,352 − 0,12 ≈ 0,34 sinα = a c ≈ 0,29, also α ≈ 16,60◦; cos β = a c ≈ 0,29, also β ≈ 73,40◦ 2. (a) - 6     1 m x y ϕ Die Gerade y = mx + t mit Steigung m hat als Steigungsdreieck ”1 nach rechts, m nach oben“. Man liest dort ab: tanϕ = m 1 = m. (b) - 6PPPPPPPP 1 x y 10








h gS T α β Für Gerade h folgt wegen der Steigung m = 2 aus tanα = 2 ein Neigungswinkel α ≈ 63,43◦. Somit ist <) SOT = 90◦ − α ≈ 26,57◦. Für Gerade g folgt wegen des Steigungsdreiecks (3 nach rechts, 1 nach unten) aus tan β = 1 3 ein Winkel β ≈ 18,43◦. Somit ist <) OTS = 90◦ − β ≈ 71,57◦. Winkelsumme im Dreieck: <) TSO ≈ 81,86◦ 3. ∆ABC: tanα = BC AB , also BC = AB tanα ≈ 10,38 ∆ABD: tan β = AD AB , also AD = AD tan β ≈ 8,34 Pythagoras im ∆DFC: x = √ DF 2 + FC 2 ≈ √ 72 + (BC − AD)2 ≈ 7,29 4.    PPPPPP Erde Jupiter Mond 2′ 2′ r d Halbiert man nebenstehendes gleichschenkliges Dreieck, so erkennt man: sin 2′ = r/2 d , somit ergibt sich als Entfernung r von noch getrennt wahrnehmbaren Lichtpunkten: r = 2d sin 2′ = 2 · 800 · 106 · sin( 2 60 )◦ km ≈ 930 000 km. Somit könnten theoretisch Ganymed und Kallisto noch getrennt gesehen werden. 5. Es ist sin 30◦ = cos 60◦ = 1 2 , sin 45◦ = cos 45◦ = 1 2 √ 2, sin 60◦ = cos 30◦ = 1 2 √ 3. (a) tan 30◦ = sin 30 ◦ cos 30◦ = 1√ 3 = 1 3 √ 3; tan 45◦ = sin 45 ◦ cos 45◦ = 1 1 + tan2 30◦ = 1 + ( 1√ 3 )2 = 4 3 ; 1 + tan2 45◦ = 2 (b) 1 + tan2 α = 1 + ( sinα cosα )2 = cos 2 α+sin2 α cos2 α = 1 cos2 α 1 + tan2 30◦ = 1 cos2 30◦ = 1 ( 1 2 √ 3)2 = 4 3 ; 1 + tan2 45◦ = 1 ( 1 2 √ 2)2 = 2 6. ∆EMG: Rechter Winkel bei E; EG = √ 2a (Diagonale im Quadrat→ grund96.pdf). Pythagoras also: MG = √ ME 2 + EG 2 = √ (a 2 )2 + ( √ 2a)2 = √ 1 4 a2 + 2a2 = 1,5a. Ebenso ∆NBG: NG = 1,5a. Also ist ∆MNG gleichschenklig. Ferner: MN = √ 2 · 1 2 a (denn [MN ] ist Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge a 2 ). Sei L der Mittelpunkt von [MN ]. Dann ist ML = 1 2 MN = 1 4 √ 2a. ∆MLG: cosµ = ML MG = 0,25 √ 2a 1,5a = 1 6 √ 2. Somit µ ≈ 76,37◦.          www.strobl-f.de/lsg98.pdf 9. Klasse Lösungen 9 Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel 08 1. (a) L L L L L b 2 sh∆ Mit Pythagoras berechnet man die Höhe h∆ des Grundflächen- Dreiecks: h∆ = √ s2 − ( b 2 )2 = √ 8 = 2 √ 2. (Alle Maße in cm.) Also G = 1 2 bh∆ = 2 √ 2; V = Gh = 2 √ 2 · 5 = 10 √ 2 ≈ 14,1. O = 2G+ uh = 2 · 2 √ 8 + (3 + 3 + 2) · 5 = 40 + 4 √ 2 ≈ 45,7. (b) V = r2πh = 32π · 5 = 45π ≈ 141,4. O = 2rπh+ 2r2π = 2 · 3π · 5 + 2 · 32π = 48π ≈ 150,8 (c) , , , , L L L L hhhh A B CD S MF V = 1 3 Gh = 1 3 · 242 · 5 = 960 Höhe h∆ = SM des Seitenflächen-Dreiecks aus dem Stütz- dreieck FMS: MS = √ FM 2 + SF 2 = √ 122 + 52 = 13. O = 4A∆+G = 4· 12BCh∆+G = 4· 1 2 ·24·13+242 = 1200. (d) V = 1 3 r2πh = 1 3 · 32π · 5 = 15π ≈ 47,1; m = √ r2 + h2 = √ 34 O = πrm+ r2π = π · 3 · √ 34 + 32π = (3 √ 34 + 9)π ≈ 83,2 2. Der Körper setzt sich zusammen aus einem Kegel mit Radius rK = 2a und Höhe hK = a plus einem großen Zylinder mit Radius RZ = 2a und Höhe HZ = a minus einem kleinen Zylinder mit Radius rZ = a und Höhe hz = a: V = 1 3 r2KπhK +R 2 ZπHZ − r2ZπhZ = 13(2a) 2πa+ (2a)2πa− a2πa = 13 3 a3π 3. r = h 2 . V = 1 3 r2πh = 1 3 (h 2 )2πh = π 12 h3 = 1 dm3, also h = 3 √ 12 π dm ≈ 15,6 cm. Aus ”Bogenlänge gleich Grundkreisumfang“, b = α 360◦ 2mπ = 2rπ, folgt mit r = h 2 und m = √ h2 + (h 2 )2 = √ 5 4 h: α 360◦ · √ 5 2 h = h 2 , also α = 360 ◦ √ 5 ≈ 161◦. 4. A A   A A




E E E E EE @ @ @@ Q QQ r h 2,6r A F M S D E StützdreieckAFS: h2+r2 = (2,6r)2, also h2 = 5,76r2, h = 2,4r. Die GrundflächeG besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit Fläche A∆ = 12DE · FM = 1 2 r √ 3 2 r = √ 3 4 r2. Also V = 1 3 Gh = 1 3 · 6 · √ 3 4 r2 · 2,4r = 1,2 √ 3r3. Winkel ϕ =<) FAS der Seitenkante zur Grundfläche aus dem Stützdreieck FAS: cosϕ = AF AS = r 2,6r ≈ 0,385, also ϕ ≈ 674◦. Seitenflächen-Winkel ψ=<) FMS aus ∆FMS: tanψ= FS FM = 2,4r√ 3 2 r ≈2,77; ψ≈70,2◦. 5. r2 r1 h h1 S M1 M2 A1 A2 Ergänzt man den Kegelstumpf zu einem Kegel, so erhält man ähn- liche Dreiecke: Die Strecken im Dreieck M1A1S verhalten sich wie die entsprechenden Strecken im Dreieck M2A2S: r1h1 = r2 h+h1 . Kreuzweise multiplizieren: r1(h+ h1) = r2h1 r1h+ r1h1 = r2h1; r1h = r2h1 − r1h1; h1 = r1hr2−r1 = 3·2 5−3 = 3 VK.stumpf =Vganzer K.−Voberer K.= 13r 2 2π(h+ h1)− 13r 2 1πh1≈102,6 6. Eine aus dem ”halben“ Netz hergestellte Pyramide hat quadrati- sche Grundfläche mit Diagonalenlänge √ 2k, also ergibt sich im eingezeichneten Stützdreieck mit Pythagoras: ( √ 2k 2 )2 + h2 = k2, somit h = √ 1 2 k ≈ 0,71k. q          www.strobl-f.de/lsg9k.pdf 9. Klasse Lösungen 09 Kompakt-Überblick zum Grundwissen K 1. (a) √ 144− √ 44 2 = 12−2 √ 11 2 = 6− √ 11 (b) . . . = (x− 1)− 12 · (x− 1)− 12 = = (x− 1)−1 = 1 x−1 2. . . .= a 5(1−a2) (a+1)2 = a 5(1+a)(1−a) (a+1)2 = a 5(1−a) 1+a 3. Sei x das Alter des Klavierlehrers. Mein Alter: x− 22. x·(x−22) = 555; x2−22x−555 = 0; x1/2 = 11± 26. Also ist er 37. 4. Enge Parabel mit den Nullstellen 1 und 3, also Scheitel bei (2| − 2). Spiegelung: y = −2(x− 3)(x− 1). 5. Scheitel S mit quadr. Ergänzung: y = −[x2+4x−5] = −[(x+2)2−9] = −(x+ 2)2 + 9, also S(−2|9). −x2 − 4x+ 5 = −2x+ 6; 6 -x y 0 1 1 A A A A A A A A A 0 = x2 + 2x + 1; x1/2 = −1 (1 Lsg.) Anschaulich: Die Gerade y = −2x+6 berührt die Parabel in einem Punkt. 6. ∆GCD: 242 + GC2 = (6 √ 41)2; GC = 30 Also AD = 40. J J B A M1 G C M2 D 6 √ 4124 Ferner EF = (120− 80) : 2 = 20. Die Punkte EFM2D bilden eine klei- ne Pyramide. Im Dreieck M2DE (mit rechtem Winkel bei M2) gilt dabei: ED 2 = M2D 2 +M2E 2 = 656. ∆EDF (rechter Winkel bei E): DF 2 = ED 2 + EF 2 = 656 + 202 = 1056, also DF = √ 1056 ≈ 32,5 Volumen: Quader (unten) mit aufge- setztem Prisma (Grundfläche BCE) minus zwei kleine Pyramiden (mit Grundfläche ADE und Höhe EF ). 7.





β c b=9 a = 4 α @R hc c = √ a2 + b2 = = √ 42 + 92 ≈ 9,85 tanα = 4 9 ≈ 0,44, also α ≈ 23,96◦ β = 180◦−γ−α ≈ 66,04◦ sinα = hc b , also hc = b sinα ≈ 3,66 Andere Wege: cos β = hc a oder Fläche A = 1 2 ab = 1 2 chc, also hc = abc 8. (a) VZ = r 2 1πhZ = 1 2π · 2 ≈ 6,28 (b) VZ =VK = 1 3 r21πhK , also hK =3hZ =6 (c) Der Rotationskörper ist ein gelochter Zylinder mit doppeltem Radius r2 = 2 und Loch mit r1 = 1. Da in V = r2πh der Radius quadratisch eingeht, ist das Volumen des Zylinders mit r2 = 2 im Vergleich zum vorigen Zylinder 4- fach, nach Abzug des Lochs bleibt also 3-faches Volumen. 9. Zum Beispiel: Kartenspiel mit 52 Kar- ten, davon 4 Könige. Ziehen von 2 Karten ohne Zurücklegen. Im Baum- diagramm ist dann der obere Ast jeweils ”König“, der untere ”nicht König“, und es ist ? = 48 51 . A: ”Genau ein König“. 10. (a) −5,5 = 8x; x = −5,5 8 = −11 16 (b) 2x2 + 3x− 2 = 0; x1/2 = −3± √ 9−4·2·(−2) 2·2 ; x1 = 1 2 ; x2 = −2 (c) x(x− 9) = 0; x1 = 0; x2 = 9 (d) D = IR\{0;−9}; Mult.mit HN x(x−9) : x+ 9 + 8x = x(x+ 9); x2 = 9; L = {−3; 3} (e) x = 10 √ 1000 = 1000 1 10 ≈ 1,995 (f) Zwei Lösungen: x1/2 = ±7          www.strobl-f.de/lsg9m.pdf 9. Klasse Lösungen 9 Mathematik bis 9. Klasse kompakt M 1. (a) . . . = 11 16 − 1 16 · (225− 25)− 5 = = 11 16 − 200 16 − 5 = −189 16 − 80 16 = −269 16 (b) . . .=(−1 5 )·(−3 6 + 2 6 )=(−1 5 )·(−1 6 )= 1 30 2. (a) 16,80 Euro entsprechen 80 %, also al- ter Preis = 16,80 : 0,80 = 21 (Euro) (b) 36 entsprechen 62 3 %, also Grundwert = alle Zuschauer = 36 : (62 3 : 100) = = 36 : 20 3·100 = 36 · 300 20 = 540. Noch übrig: 540− 36 = 504. (c) A-Anteil: 7200 18000 = 0,4 = 40 %. Neutral: 0,05 · 18000 = 900. Winkel im Kreisdiagramm: "! # A A: 40 % von 360◦ = 0,4·360◦ = 144◦. Neutral: 0,05 · 360◦ = 18◦. (d) Bei direkter Prop. müsste Quotien- tengleichheit vorliegen, es ist jedoch 12600000 70000 = 180, aber 660000 420 > 1000. (e) 7 km = 700000 cm, 700000 : 56 = 125000, also Maßstab 1:125000. 3. Drachenviereck. D auf Thaleskreis über [AC] → A, B, C, D auf Kreis. AABCD= 1 2 ·AC ·BD=6 cm2. A B C D r M p 4. (a) V = r2πh = (h 2 )2πh = h 3 4 π ≈ h3 4 · 3. Mit V = 162 dm3 folgt (in dm) h 3 4 ·3 ≈ 162, also h3 ≈ 216, also h ≈ 6 (dm). O = 2r2π+2rπh = 2(h 2 )2π+2h 2 πh = 3 2 h2π≈ 3 2 ·62 ·3=162 (dm2 =1,62 m2). (b) • ∆ZAB ∼ ∆ZDC: x+5,5 4,08 = 5,5 3,4 ; x+5,5= 5,5 3,4 ·4,08 = 6,6, also x = 1,1. • α = δ = 180◦ − 36◦ − 72◦ = 72◦. Da das Dreieck ZCD annähernd we- gen der gleichen Basiswinkel gleich- schenklig ist, ist auch y ≈ 5,5. • Vergrößerungsfaktor für die Stre- ckenlängen der ähnlichen Dreiecke m = 6,6 5,5 , also Faktor für die Flächen m2 = (6 5 )2 = 36 25 . Da sich die Dreiecks- flächen wie 36:25 verhalten, verhält sich ATrapez : A∆ZDC = 11 : 25. 5. Pythagoras: r2 = s2 + t2, also t= √ r2 − s2 = √ 372 − 122 = = √ 1225 = 35. QQ Q Q R S T σ τ t r s p sin τ = t r , cos τ = s r , tanσ = s t , t = s tanσ . 6. • . . . = 2x x(x−2) − 2(x−2) x(x−2) = 2x−2x+4 x(x−2) = 4 x(x−2) • . . . = x−3 · 20,5 · x4·0,5 = √ 2 · x−1 = √ 2 x 7. (a) 2x2 − 5x+ 2 = 0; x1/2= 5± √ 25−4·2·2 2·2 = 5±3 4 ; x1 =2, x2 = 12 . (b) x(3x2− 2)=0; x=0 oder 3x2− 2=0; x1 = 0 oder x2/3 = ± √ 2 3 . (c) 1 10 x2− 3 2 x− 2 5 x+6− 1 10 x2−4x<−8,75; −5,9x < −14,75; x > 14,75 5,9 = 2,5. (d) 2x−3 x+1 =x+1; Def.mengeD=IR\{−1}. 2x − 3 = (x + 1)(x + 1); 2x − 3 = x2 + 2x+ 1;−4 = x2; pppppppppp?, also L = {}. 8. I 2x+ 3y = 11 | · 2 II 3x− 2y = −16 | · 3 13x = −26; x=−2; z. B. in I: −4+3y=11; y = 5. 9. f(x): Nach unten geöffnete, enge Parabel mit Scheitel bei (1|8) und Nullstellen für x− 1 = ±2, also x = −1, x = 3. g(x) = 2 3 x − 2 3 : Steigende Gerade mit y- Achsenabschnitt −2 3 und Nullstelle x = 1. h(x): Hyperbel mit Definitionslücke/senk- rechter Asymptote x = 3, Nullstelle x = 0. Für große x-Werte ist h(x) ≈ 2, also waag- rechte Asymptote y = 2. f und g schneiden sich, da die Parabel nach unten geöffnet ist und die Gerade ihre Nullstelle genau unter dem Scheitel der Parabel hat. 6 y - x0 6 1     g f h 10. (a) Je Stein rot oder gelb: 2·2·2·2·2 = 32 (b) Man denke sich ein Baumdiagramm (zuerst Urne je mit W. 0,5 wählen, dann ersten Stein ziehen, dann zwei- ten Stein [nun ist ein Stein weniger im Säckchen!]). Die Pfadregeln ergeben: P (”gelb gelb“) = 1 2 · 6 15 · 5 14 + 1 2 · 12 20 · 11 19