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Zwei Figuren heißen kongruent („deckungsgleich“), wenn sie durch eine beliebige Abfolge von Ver- schiebungen, Drehungen und Spiegelungen ineinander übergeführt werden können.
Die rechts dargestellten Dreiecke sind alle kongruent.
Wenn man die Dreiecke ausschneidet, passen sie alle exakt aufeinander.
Kongruenz
Die kürzeste Verbindung zweier Punkte A und B ist die Strecke AB. Erkläre, warum deshalb die Seitenlängen a , b und c in jedem Dreieck die Dreiecksungleichungen erfüllen müssen:
a + b > c und a + c > b und b + c > a
A B
c ist die kürzeste Verbindung von A und B. Also muss a + b länger sein. A B
C
c
b a
Dreiecksungleichung
Von den 3 Seitenlängen und den 3 Winkeln eines Dreiecks kennst du insgesamt 3 Bestimmungsstücke. Gibt es abgesehen von Kongruenz genau ein Dreieck mit diesen 3 Bestimmungsstücken? Im Folgenden beantworten wir diese Frage systematisch zu jeder möglichen Kombination.
a) Drei Seitenlängen und kein Winkel sind bekannt:
Drei Seitenlängen a = 4 cm, b = 6 cm, c = 8 cm sind bekannt. a , b und c erfüllen die Dreiecksungleichungen. Dann können wir das Dreieck abgesehen von Kongruenz eindeutig konstruieren:
1) Seite AB mit Länge c konstruieren.
2) Kreis mit Radius b und Mittelpunkt A konstruieren.
3) Kreis mit Radius a und Mittelpunkt B konstruieren.
4) C ist einer der beiden Schnittpunkte der Kreise. Der andere Schnittpunkt liefert ein gespiegeltes Dreieck. Konstruiere das Dreieck:
Seiten-Seiten-Seiten-Satz
Datum: 11. September 2020
b) Zwei Seitenlängen und ein Winkel sind bekannt. Dann gibt es zwei Möglichkeiten, wie der Winkel zu den beiden Seiten liegen kann:
Zwei Seitenlängen b = 7 cm, c = 8 cm und der eingeschlossene Winkel α = 30◦^ sind bekannt. Dann können wir das Dreieck abgesehen von Kongruenz eindeutig konstruieren:
1) Seite AB mit Länge c konstruieren.
2) Strahl von Punkt A mit Winkel α konstruieren.
3) Kreis mit Radius b und Mittelpunkt A konstruieren.
4) C ist der Schnittpunkt von Kreis und Strahl.
Konstruiere das Dreieck:
Seiten-Winkel-Seiten-Satz
Zwei Seitenlängen a und c = 8 cm und ein nicht eingeschlossener Winkel α = 30◦^ sind bekannt.
Dann beginnen wir die Konstruktion folgendermaßen:
1) Seite AB mit Länge c konstruieren.
2) Strahl von Punkt A mit Winkel α konstruieren.
3) Kreis mit Radius a und Mittelpunkt B konstruieren.
Die Anzahl der Lösungen hängt von der Seitenlänge a ab.
- Wenn a mindestens so lang wie c ist, dann gibt es genau eine Lösung:
- Wenn a kürzer als c ist, dann gibt es entweder zwei Lösungen oder eine Lösung oder keine Lösung:
Wenn a = c · sin( α ) gilt, dann gibt es genau ein (rechtwinkliges) Dreieck als Lösung. Mehr zu der Winkelfunktion Sinus (sin) erfährst du auf dem Arbeitsblatt – Ähnlichkeit und Winkelfunktionen.
Seiten-Seiten-Winkel-Satz
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d) Keine Seitenlänge und drei Winkel sind bekannt:
Zwei parallele Geraden werden von einer dritten Gerade geschnitten. Die beiden rechts eingezeichneten Winkel sind dann gleich groß. Solche Winkel nennen wir Parallelwinkel oder Z-Winkel.
α
α
Parallelwinkel
Erkläre, warum die Winkelsumme in jedem Dreieck 180 ◦^ ist.
Die beiden Winkel im Punkt C sind α und β. (Z-Winkel) Also gilt α + β + γ = 180◦.
Winkelsumme
Damit ein Dreieck mit 3 gegebenen Winkeln konstruierbar ist, muss also deren Winkelsumme 180 ◦^ sein. Die Angabe des dritten Winkels liefert dann aber keine zusätzliche Information.
Die drei Winkel α = 30◦, β = 40◦, γ = 110◦^ eines Dreiecks sind bekannt. Dann können wir unendlich viele Dreiecke mit diesen Winkeln konstruieren:
1) Seite AB mit beliebiger Länge konstruieren.
2) Strahl von Punkt A mit Winkel α konstruieren.
3) Strahl von Punkt B mit Winkel β konstruieren.
4) C ist der Schnittpunkt der beiden Strahlen.
Konstruiere ein mögliches Dreieck:
Wenn zwei Dreiecke die gleichen Winkel α , β und γ haben, heißen sie ähnlich. Zwischen den Seitenlängen ähnlicher Dreiecke gibt es einen Zusammenhang. Hast du eine Vermutung? Dieser Zusammenhang ist auch die Grundlage für die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens. Mehr dazu findest du auf dem Arbeitsblatt – Strahlensatz und dem Arbeitsblatt – Ähnlichkeit und Winkelfunktionen.
Ähnlichkeit
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