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Die Senatorin für Kinder und Bildung
Abitur 2017 - Leistungskurs Mathematik Name:
Teil 1 – Aufgabe 1 - zum Themenbereich Analysis
Gegeben ist die in definierte Funktion f mit
3 f(x) x 12 x.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f sowie dessen Hochpunkt H 2 | 16 .
a) Der Graph von f, die x-Achse und die Gerade mit der
Gleichung x 2 schließen im Bereich 0 x 2
eine Fläche ein.
Zeigen Sie, dass diese Fläche den Inhalt 20 besitzt.
( 2 Punkte)
b) Die Gerade g verläuft durch den Punkt H und besitzt
eine negative Steigung.
Der Graph von f, die y-Achse und die Gerade g
schließen im Bereich 0 x 2 eine Fläche mit dem
Inhalt 20 ein.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes
der Geraden g mit der y-Achse.
( 3 Punkte)
&
Die Senatorin für Kinder und Bildung
Abitur 2017 - Leistungskurs Mathematik Name:
Teil 1 – Aufgabe 2 - zum Themenbereich Stochastik
Ein Glücksrad hat drei Sektoren, einen blauen, einen gelben und einen roten. Diese sind unterschiedlich
groß. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der blaue Sektor getroffen wird, beträgt p.
a) Interpretieren Sie den Term
7 1 p im Sachzusammenhang.
( 2 Punkte)
b) Das Glücksrad wird zehnmal gedreht.
Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass der blaue
Sektor genau zweimal getroffen wird.
(1 Punkt)
c) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der gelbe Sektor getroffen wird, beträgt
50 %.
Felix hat 100 Drehungen des Glücksrads beobachtet und festgestellt, dass bei diesen der Anteil der
Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen wurde, deutlich geringer als 50 % war.
Er folgert: „Der Anteil der Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen wird, muss also bei den
nächsten 100 Drehungen deutlich größer als 50 % sein.“
Beurteilen Sie die Aussage von Felix.
(2 Punkte)
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Abitur 201 7 - Leistungskurs Mathematik Name:
Teil 1 – Aufgabe 4 - zum Themenbereich Analytische Geometrie
Ein Fahnenmast ragt auf einem ebenen, horizontalen Platz 6 m vertikal nach oben. In einem kartesischen
Koordinatensystem wird dieser Platz durch die x 1 - x 2 - Ebene und die Spitze des Fahnenmasts durch den
Punkt S 0 0 6modelliert. Der Vektor
0
v 4
gibt die Richtung der Sonnenstrahlen zum Zeitpunkt 0
t
an.
a) Bestimmen Sie die Länge des Schattens, den der Fahnenmast zum Zeitpunkt 0
t auf den Platz wirft.
( 3 Punkte)
b) Zu einem anderen Zeitpunkt 1
t wird die Richtung der Sonnenstrahlen durch den Vektor 1
v dargestellt.
Beschreiben Sie einen Weg, wie man rechnerisch ermitteln kann, ob die Sonne zum Zeitpunkt 1
t höher
steht als zum Zeitpunkt 0
t.
(2 Punkte)
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Die Senatorin für Kinder und Bildung
Schriftliche Abiturprüfung 201 7
MAT-LK-TR-H-L Erwartungshorizont Teil 1 Seite 3 von 15
Teil 1 Erwartungshorizont und Bewertung nach Anforderungsbereichen
Lösungsskizze
Bewertung
I II III
Aufgabe 1
a)
Es gilt:
2 4 2
0
1 f(x)dx x 6 x 20
4
.
2
b) Die y-Achse, die Gerade mit der Gleichung y 16 und der Graph von f schließen
eine Fläche mit dem Inhalt 12 ein. Daraus folgt, dass die y-Achse, die Gerade mit der
Gleichung y 16 und die Gerade g eine Fläche mit dem Inhalt 8 einschließen.
Also sind die Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse: 0 | 24 .
3
Verteilung der insgesamt 5 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche 0 2 3
Aufgabe 2
a) Mit dem Term kann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass der blaue
Sektor bei sieben Drehungen kein einziges Mal getroffen wird. 2
b)
(^10 ) p 1 p 2
^ ^
1
c) Die Aussage ist falsch, da die Wahrscheinlichkeit für „trifft den gelben Sektor“ bei
jedem einzelnen Spiel gleich ist, unabhängig von den bisherigen Versuchsausgän-
gen. 2
Verteilung der insgesamt 5 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche 1 4 0
Aufgabe 3
a)
8 2 3 1
4 4
(^2)
b) Abbildung A zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X.
Begründung:
X ist binomialverteilt mit n 6 und
1 p
4
. Daraus folgt, dass E X^ 1 ,5gilt.
Abbildung B zeigt eine Gleichverteilung und kommt deshalb nicht in Frage.
Abbildung C zeigt eine Verteilung mit einem Erwartungswert größer als 1,5 und
kommt daher ebenfalls nicht in Frage. 3
Verteilung der insgesamt 5 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche 2 3 0
Die Senatorin für Kinder und Bildung
Abitur 2018 - Leistungskurs Mathematik Name:
Teil 1 – Aufgabe 1 - zum Themenbereich Analysis
Gegeben ist die Funktion f mit
3 2
f(x) x 3 x 2 x und x IR.
Die Abbildung zeigt ihren Graphen f
G , der bei x 1 den Wendepunkt
W hat.
a) Zeigen Sie, dass die Tangente an f
G im Punkt W
die Steigung 1 hat.
( 2 Punkte)
b) Betrachtet werden die Geraden mit positiver Steigung m, die
durch W verlaufen.
Geben Sie die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit f
G
in Abhängigkeit von m an.
( 3 Punkte)
y
O^ x
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Abitur 2018 - Leistungskurs Mathematik Name:
Teil 1 – Aufgabe 2 - zum Themenbereich Stochastik
a) Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n 10 und p 0,8.
Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X dar.
Abbildung 1 Abbildung 2
Abbildung 3
Geben Sie die beiden Abbildungen an, die nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X dar-
stellen.
Begründen Sie Ihre Angabe.
(3 Punkte)
b) Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße Y mit den Parametern n und p_._
Es gilt:
- Der Erwartungswert von Y ist 8.
- Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y ist symmetrisch.
Ermitteln Sie den Wert von n.
( 2 Punkte)
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Abitur 2018 - Leistungskurs Mathematik Name:
Teil 1 – Aufgabe 4 - zum Themenbereich Geometrie
Gegeben sind die Geraden
g : x 3 r 0
mit r IR
und
h : x 3 s 0
mit s IR.
a) Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von g und h an.
Zeigen Sie, dass g und h senkrecht zueinander verlaufen.
(2 Punkte)
b) Die Ebene E enthält die Geraden g und h.
Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform.
( 3 Punkte)
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Schriftliche Abiturprüfung 2018
MAT-LK-H-L Seite 1 von 2
Teil 1 Erwartungshorizont und Bewertung nach Anforderungsbereichen
Lösungsskizze
Bewertung
I II III
Aufgabe 1
a)
Mit
2 f´ x 3 x 6 x 2
folgt für die Steigung der Wendetangente: f´(1)^ ^1. (^2)
b) Der Graphik lässt sich entnehmen, dass alle Geraden mit 0 m 1 drei Schnitt-
punkte mit f
G haben und dass sich für die Wendetangente und alle Geraden mit
größerer Steigung nur ein Schnittpunkt ergibt. Der Operator „Gib an“ erlaubt eine
einfache Angabe in der Form:
Die Anzahl der Schnittpunkte ist 3 für 0 m 1 und 1 für m 1. 3
Verteilung der insgesamt 5 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche 2 3 0
Aufgabe 2
a) Abbildung 1 stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X nicht dar,
da P X 10 0 , aber n=10 ist.
Abbildung 3 stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X nicht dar,
da
10
k 0
P X k 1
^ . Schon P(X=8)+P(X=9) ergibt eine Summe größer als 1.^
1 2
b) Aufgrund der Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt p 0,5.
Mit (^) μ n p gilt: n 0,5 8 n 16. 2
Verteilung der insgesamt 5 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche 1 4 0
Aufgabe 3
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 5 annimmt, ist
P X 5 1
Damit ist der Erwartungswert ^ ^
E X 3 4 5
1 1
b)
Für den Fall ^ ^
P Y 4
ist (^)
P 5 1
Y. Damit wäre der Erwar-
tungswert ^ ^
E Y 3 4 5
Für den Fall ^ ^
1 P Y 5
6
ist^ ^ ^
P Y 4
. Damit wäre der Erwartungswert
E Y 3 5 4
Insgesamt ergibt sich für den Erwartungswert ^
E Y
.^
3
Verteilung der insgesamt 5 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche 1 1 3
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Abitur 2018 - Leistungskurs Mathematik Name:
Teil 1 – Aufgabe 1 - zum Themenbereich Analysis
Gegeben ist die in IR definierte Funktion f mit f (x) x 9 x 15 x 25
3 2 .
Weisen Sie nach, dass f folgende Eigenschaften besitzt:
(1) Der Graph von f besitzt an der Stelle x 0 die Steigung 15.
(2) Der Graph von f besitzt im Punkt A ( 5 |f( 5 ))die x-Achse als Tangente.
(3) Die Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt B 1 |f( 1 )kann durch die Gleichung
t( x) 36 x 36 beschrieben werden.
(5 Punkte)
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Abitur 2018 - Leistungskurs Mathematik Name:
Teil 1 – Aufgabe 2 - zum Themenbereich Analysis
Für jeden Wert von k (k IR)ist eine Funk-
tion k
f durch
3
k
f (x) x k x (x IR) ge-
geben.
Die in der Abbildung dargestellten Graphen
A und B sind Graphen von k
f für zwei ver-
schiedene Werte von (^) k.
Der Graph A schneidet die x-Achse an der
Stelle x 1.
Der Graph B hat einen Tiefpunkt mit der
x-Koordinate 1.
a) Bestimmen Sie zu den Graphen (^) A und B jeweils den zugehörigen Wert von (^) k.
( 3 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass alle Graphen von k
f genau einen gemeinsamen Punkt haben.
( 2 Punkte)
B
A
B
y
O
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Abitur 2018 - Leistungskurs Mathematik Name:
Teil 1 – Aufgabe 4 - zum Themenbereich Geometrie
Gegeben sind die Punkte A 0 | 0 | 0 , B 3 | 6 | 6 und F 2 | 4 | 4 sowie die Gerade
g:
x 4 k 0
(k IR ).
a) Die Gerade h verläuft durch die Punkte A und B.
Zeigen Sie, dass sich g und h im Punkt F senkrecht schneiden.
( 4 Punkte)
b) Ein Punkt C liegt auf g und ist verschieden von F.
Geben Sie die besondere Bedeutung der Strecke CF im Dreieck ABC an.
( 1 Punkt)
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Schriftliche Abiturprüfung 201 8
MAT-LK-TR-H-L Erwartungshorizont Teil 1 Seite 3 von 17
Teil 1 Erwartungshorizont und Bewertung nach Anforderungsbereichen
Lösungsskizze
Bewertung
I II III
Aufgabe 1
a) (^) Es ist
2 f '(x) 3 x 18 x 15.
Nachweis der Erfüllung der Eigenschaft (1): f´( 0 ) 15
Nachweis der Erfüllung der Eigenschaft (2): f ( 5 ) 0 , f ´( 5 ) 0
Nachweis der Erfüllung der Eigenschaft (3): f ( 1 )t( 1 ), f´( 1 ) (^362 )
Verteilung der insgesamt 5 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche 2 3 0
Aufgabe 2
a) Aus k
f (1) 0 folgt, dass k 1 für den Graphen A gilt.
Mit
2
k
f (x) 3 x kfolgt aus f´( 1 ) 0 k
, dass k 3 für den Graphen B gilt. 2 1
b) Für zwei beliebige Werte 1
k und 2
k mit 1 2
k k folgt aus k 1 k 2
f (x) f (x) die Glei-
chung
3 3
1 2
x k x x k x, also 1 2 1 2
0 k x k x (k k ) x und damit
x 0.
Wegen k
f (0) 0 ist folglich der Koordinatenursprung der gemeinsame Punkt. 2
Verteilung der insgesamt 5 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche 0 2 3
Aufgabe 3
a)
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 2
10 1
10 10
.
1 1
b)
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 3
10 9 8 72
10 100
.
1 2
Verteilung der insgesamt 5 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche^2 3
Die Senatorin für Kinder und Bildung
Zentralabitur 201 9 - Leistungskurs Mathematik Name:
Teil 1 – Aufgabe 1 - zum Themenbereich Analysis
Der abgebildete Graph f
G stellt eine Funktion f dar.
a) Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von f.
Geben Sie diesen Graphen an.
Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
(3 BE)
b) Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f.
Geben Sie das Monotonieverhalten von F im Intervall 1;3 an.
Begründen Sie Ihre Angabe.
( 2 BE)
I II III
Die Senatorin für Kinder und Bildung
Zentralabitur 201 9 - Leistungskurs Mathematik Name:
Teil 1 – Aufgabe 2 - zum Themenbereich Analysis
Die Abbildung zeigt den Graphen g
G einer in IR definierten,
differenzierbaren Funktion g.
Betrachtet wird eine in (^) IR definierte Funktion f, für deren erste
Ableitungsfunktion (^)
g x
f ' x e gilt.
a) Untersuchen Sie, ob der Graph von f einen Extrempunkt hat.
( 2 BE)
b) Untersuchen Sie, ob der Graph von f einen Wendepunkt hat.
( 3 BE)
