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5.5. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen
Aufgabe 1: Kurvendiskussion, Fläche zwischen zwei Schaubildern (13)
Untersuchen Sie f(x) =
x
4 − 2x
2 und g(x) =
x
2 − 2 auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrempunkts
sowie gemeinsame Punkte. Skizzieren Sie die beiden Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem und
berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von f und g eingeschlossen wird.
Lösung
Symmetrie: f und g sind symmetrisch zur y-Achse, da f(−x) = f(x) und g(−x) = g(x) (1)
f(x) =
x 2 (x − 2)(x + 2) ⇒ Sfx1(0|0) (doppelt, daher Berührpunkt ohne VZW) und Sfx2/3(±2|0) (1)
g(x) =
(x − 2)(x + 2) ⇒ Sgx1/2(±2|0) und Sgy(−4|0) (Scheitelpunkt = Tiefpunkt) (1)
Ableitungen: f’(x) = 2x 3 − 4x = 2x(x 2 − 2) und f’’(x) = 6x 2 − 4 (1)
Tiefpunkte (f’(x) = 0 und f’’(x) > 0): Tf1/2(± 2 |−2) (2)
Gemeinsame Punkte: f(x) = g(x) ⇔
x
4 −
x
2
(x
2 − 1)(x
2 − 4) = 0 (1)
Sfg1/2(±1|−
) und Sfg3/4(±2|0) (1)
Flächeninhalt A =
1
0
2 (f (x) g(x))dx
2
1
2 (g(x) f (x))dx
1 4 2
0
(x 5x 4)dx+
2 4 2
1
( x 5x 4)dx=
1 5 3
0
x x 4x 5 3
2 5 3
1
x x 4x 5 3
= 8 FE (1)
Beschriftete Skizze (2)
Aufgabe 2: Kurvenuntersuchung, Integration, Tangenten (15)
a) Untersuchen Sie das Schaubild von f(x) = 2
x 4 − 3x 2
2
auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Hoch-,
Tief- und Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen der Wendetangenten. ( Lösung : t1/2 = ∓4x ± 4) Skizzieren Sie die Schaubilder von f und ihren Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich.
b) Berechnen Sie den Inhalte der Fläche, die von den beiden Wendetangenten und dem Schaubild von f
eingeschlossen wird.
Lösung
a) Symmetrie: f(x) = f(−x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-Achse) (1)
Achsenschnittpunkte: x = 0 ⇒ Sy(0∣ 2
y = 0 mit Substitution z = x 2 und p-q-Formel ⇒ Sx1/2(±1|0), Sx/3/4 (± 5 |0) (1)
Ableitungen: f'(x) = 2x 3 − 6x und f''(x) = 6x 2 − 6 (1)
Hoch- und Tiefpunkte: f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0 ⇒ H(0| 2
) und T1/2 (± 3 |−2) (2)
Wendepunkte: f''(x) = 0 mit VZW bzw. f'''(x) ≠ 0 ⇒W1/2 (±1|0) (1)
Wendetangenten: t1/2(x) = ∓4x ± 4 (2) Schaubildskizze (1)
b) A = 2
1
1 0
(t (x) f (x))dx= 2∙
1 4 2
0
( x 3x 4x )dx 2 2
1 5 3 2
0
x x 2x x 10 2
FE (3)
Aufgabe 3: Kurvenuntersuchung, Integration, Tangenten (15)
a) Untersuchen Sie das Schaubild von f(x) = − 4
x 4
2
x 2 − 4
auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Hoch-,
Tief- und Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen der Wendetangenten. ( Lösung : t1/2 = ∓2x ± 2) Skizzieren Sie die Schaubilder von f und ihren Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich.
b) Berechnen Sie den Inhalte der Fläche, die von den beiden Wendetangenten und dem Schaubild von f
eingeschlossen wird.
Lösung
a) Symmetrie: f(x) = f(−x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-Achse) (1)
Achsenschnittpunkte: x = 0 ⇒ Sy(0∣− 4
y = 0 mit Substitution z = x 2 und p-q-Formel ⇒ Sx1/2(±1|0), Sx/3/4 (± 5 |0) (1)
Ableitungen: f'(x) = −x 3
- 3x und f''(x) = −3x 2
- 3 (1)
Hoch-und Tiefpunkte: f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0 ⇒ H(0|− 4
) und T1/2 (± 3 |1) (2)
Wendepunkte: f''(x) = 0 mit VZW bzw. f'''(x) ≠ 0 ⇒W1/2 (±1|0) (1)
Wendetangenten: t1/2(x) = ∓2x ± 2 (2) Schaubildskizze (1)
b) A = 2
1
2 0
(f (x) t (x))dx= 2∙
1 4 2
0
( x x 2x )dx 4 2 4
1 5 3 2
0
x x x x 20 2 4
FE (3)
Aufgabe 4: Symmetrienachweis durch Verschiebung, Extremwertaufgabe, Integration (25)
Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = − 3
x^3 − x^2 2x 3
mit x ∊ ℝ. Das Schaubild von f ist K.
a) Untersuchen Sie K auf Schnittpunkte mit den Achsen, Hoch-, Tief- und Wendpunkte. Geben Sie die
Koordinaten der Hoch und Tiefpunkte auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet an. Zeichnen Sie K für
−4,5 ≤ x ≤ 2,5 mit 1 LE = 1 cm. (10)
b) Zeigen Sie durch eine geeignete Verschiebung des Schaubildes, dass K symmetrisch ist zu N(− 1 ∣0).
Bestimmen Sie den Inhalt der Gesamtfläche, die von K und der x-Achse eingeschlossen wird. (7)
c) Zeichnen Sie die Kurve G der Funktion g mit g(x) = −x^2 3
für −3 ≤ x ≤ 3 in das Achsenkreuz aus
Teilaufgabe a) ein. Die Gerade mit der Gleichung x = u (0 ≤ u ≤ 2) schneidet die Kurve K im Punkt R und die Kurve G im Punkt S. Für welches u wird der Inhalt des Dreiecks RSO am größten? Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt. (8)
Lösung
a) Schnittpunkt mit der y−Achse: (x = 0) Sy(0| 3
Schnittpunkt mit der x−Achse: (f(x) = 0) N 1 (−1|0), N 2 (2|0) und N 3 (−4|0) (1,5)
Ableitungen: f(x) = − 3
x^3 − x^2 2x 3
, f'(x) = −x^2 − 2x 2 und f''(x) = −2x − 2 (2)
Hoch- und Tiefpunkte: T(−1+ 3 |3,46) ≈ T(0,73|3,46) und H(− 1 − 3 |−3,46) ≈ H(−2,73|−3,46) (1,5)
Wendepunkte: (f''(x)=0 mit VZW bzw. f'''(x≠0) W(−1|0) (1,5)
Schaubild: (an x-Achse gespiegelt) (2) + (1) d)
b) Symmetrie: f(x − 1) = −( 3
x
3 − x
2
) − (x
2 − 2x + 1) + (2x − 2) + 3
x
3
A =
1 3 2
4
( x x 2x )dx 3 3
2 3 2
1
( x x 2x )dx 3 3
(oder A = 2∣...∣) (1)
= 20,25 FE (1)
c) Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken O(0|0), R (u(f(u)) und S(u|g(u)):
A(u) = 2
∙g∙h = 2
[(−
u^3 − 2
u^2 3u 4) − (− 2
u^2 4)] u = − 4
u^4 + 2
u^2 mit 0 ≤ u ≤ 2 (2)
Ableitungen: A'(u) = −u^3 + 3u und A''(u) = −3u^2 +3 (2)
relatives Maximum auf [0;2]: (A'(u) = 0 und A''(u) < 0) bei u = 3 (1)
Randwerte: A(0) = 0, A( 3 ) = 4
und A(2) = 2 ⇒ absolutes Max für u = 3 mit A( 3 ) = 4
Aufgabe 6: Kurvenuntersuchung Optimierungsaufgabe, Integration (24)
Für x ∊ ℝ ist die Funktion f mit dem Schaubild K gegeben durch f(x) =
(x 6x 24) 8
a) Untersuchen Sie das Schaubild K auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K im Bereich −2,5 ≤ x
≤ 6,5 mit 1 LE = 1cm. (7)
b) Die Gerade g mit der Gleichung y = 2
x und das Schaubild K begrenzen zwei Flächenstücke. Berechnen
Sie deren Gesamtinhalt. (7)
c) Für −2 ≤ u ≤ 2 schneidet die Gerade mit der Gleichung x = u das Schaubild im Punkt A und die Gerade aus
Teilaufgabe b) im Punkt B. Der Punkt C(2|1) bildet mit den Punkten A und B ein Dreieck. Für welchen Wert von u wird das Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal? (10)
Lösungen
a) Ableitungen: f(x) =
(x 6x 24) 8
, f'(x) =
(3x 12x) 8
, f''(x) =
(6x 12) 8
und f'''(x) = 4
Extrema: (f'(x) = 0 und f''(x) </> 0) T(4|−1) und H(0|3) (3) Wendepunkt: (f''(x)=0 mit VZW bzw. f'''(x)≠0) W(2|1) (1,5) Skizze: (1)
b) Schnittpunkte von g und K: Entweder rechnerisch durch Gleichsetzen g(x) = f(x) (ergibt Gleichung 3.
Grades => Probieren) oder durch ablesen der Punkte aus dem Schaubild und Punktprobe: x 1 = −23, x 2 = 6,
x 3 = 2 (1)
A =
2
2
f (x) g(x) dx +
6
2
f (x) g(x) dx (1)
2 3 2
2
x x x 3 dx 8 4 2
6 3 2
2
x x x 3 dx 8 4 2
2 4 3 2
2
x x x 3x 32 4 4
6 4 3 2
2
x x x 3x 32 4 4
= 16 FE. (1)
c) A(u) = 2
gh = 2
(f(u) − g(u))(2 − u) = 2
u 3 − 4
u 2 − 2
u + 3 )(2 −u)
u 4
2
u 3 − 2
u 2 − 2u + 3 ⇒ A'(u) = − 4
u^3 + 2
u^2 − u − 2 (3)
Maximum: (A'(u)=0 ergibt Gleichung 3. Grades ⇒ Probieren)
u 1 = 2− 8 (relatives Maximum) (1)
u 2 = 2 (relatives Minimum) (1)
u 3 = 2+ 8 (außerhalb des zulässigen Bereiches) (1)
Randwerte: A(−2) = 0, A(2) ist rel. Minimum ⇒ abs. Maximum bei u 1 = 2− 8 mit A(2− 8 ) = 4. (3)
Aufgabe 7. Kurvenuntersuchung Optimierungsaufgabe, Integration (24)
Für x ∈ ℝ ist die Funktion f mit dem Schaubild K gegeben durch f(x) =
(x 6x 24) 8
a) Untersuchen Sie das Schaubild K auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K im Bereich −6,5 ≤ x
≤ 2,5 mit 1 LE = 1cm. (7)
b) Die Gerade g mit der Gleichung y = 2
x und das Schaubild K begrenzen zwei Flächenstücke. Berechnen
Sie deren Gesamtinhalt. (7)
c) Für −2 ≤ u ≤ 2 schneidet die Gerade mit der Gleichung x = u das Schaubild im Punkt A und die Gerade aus
Teilaufgabe b) im Punkt B. Der Punkt C(−2|−1) bildet mit den Punkten A und B ein Dreieck. Für welchen Wert von u wird das Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal? (10)
Lösungen
a) Ableitungen: f(x) =
(x 6x 24) 8
, f'(x) =
(3x 12x) 8
und f''(x) =
(6x 12) 8
Extrema: (f'(x) = 0 und f''(x) </> 0) T(−4|1) und H(0|−3) (3)
Wendepunkt: (f''(x)=0 mit VZW bzw. f'''(x)≠0) W(−2|−1) (1,5) Wertetabelle und Schaubild: (vgl. Gruppe A) (1)
b) Schnittpunkte von g und K: Entweder rechnerisch durch Gleichsetzen g(x) = f(x) (ergibt Gleichung 3.
Grades ⇒ Probieren) oder durch ablesen der Punkt aus dem Schaubild und Punktprobe: x 1 = 23, x 2 = −6,
x 3 = − 2 (1)
A =
2
2
f (x) g(x) dx +
6
2
f (x) g(x) dx (1)
2 3 2
6
x x x 3 dx 8 4 2
2 3 2
2
x x x 3 dx 8 4 2
2 4 3 2
6
x x x 3x 32 4 4
2 4 3 2
2
x x x 3x 32 4 4
= 16 FE. (1)
c) A(u) = 2
gh = 2
(g(u) − f(u))(2 + u) = 2
u
3 − 4
u
2
2
u + 3 )(2 u) = − 16
u
4 − 2
u
3 − 2
u
2
2u + 3 ⇒ A'(u) = − 4
u^3 − 2
u^2 − u 2 und A''(u) = − 4
u^2 − 3u − 1 (3)
Maximum: (A'(u)=0 ergibt Gleichung 3. Grades ⇒ Probieren): u 1 = −2+ 8 (relatives Maximum), u 2 = − 2
(relatives Minimum) und u 3 = − 2 − 8 (außerhalb des zulässigen Bereiches) (3)
Randwerte: A(−2) ist rel. Minimum, A(2) = 0 ⇒ abs. Maximum bei u 1 = −2+ 8 mit maximaler Fläche
A(−2+ 8 ) = 4. (1)
Aufgabe 8: Kurvenuntersuchung, Extremwertaufgabe, Integration (30)
a) Untersuche f(x) =
x
4 − 2x
2
- 4 auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- sowie Wendepunkte und
skizziere ihren Graphen mit allen wesentlichen Punkten.
b) In den Raum zwischen der x-Achse und dem Teil des Graphen von f, der die Extremalpunkte enthält, soll ein
Rechteck mit maximalem Flächeninhalt eingepasst werden. Berechne die Eckpunkte dieses Rechtecks.
c) Wieviel Prozent des gesamten Zwischenraums nimmt das Rechteck aus b) ein?
Lösungen:
a) Symmetrie zur y-Achse, da f(−x) = f(x) oder. f(x) =
x
4 − 2x
2
- 4 enthält nur gerade Exponenten (1)
Sy(0|4) (1)
c) A(u) = 2
∙g∙h = 2
∙(3 − u)∙(0 − f(u)) = 18
(u
4 − 18u
2
(4u
3 − 36u) (3)
relatives Maximum (A‘(u) = 0 und A‘‘(u) < 0) bei u = 0 mit A(0) = 4,5 FE. (2) Bereichsgrenzen A(−3) = A(3) = 0 absolutes Maximum bei u = 0. (2)
Aufgabe 10: Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Optimierungsaufgabe, Integration (24)
K ist das Schaubild der Funktion ft.mit ft = −
2
2
x (x 3t) t
mit x ε ℝ und t ε ℝ*+.
a) Untersuchen Sie K 2 auf Schnittpunkte mit der x-Achse, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K 2 für
−1 ≤ x ≤ 6 mit 1 LE = 1 cm. (10)
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Hochpunkte von Kt. (6)
c) Die Senkrechte x = u schneidet K 2 in P und die x-Achse in R. Gegeben ist außerdem der Punkt Q(0∣6).
Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt, den das Dreieck PQR annehmen kann. (8)
Lösung
a) f 2 (x) = − 4
x
2 (x − 6) = − 4
x
3
2
x
2 , f 2 '(x) = − 4
x
2
x + 3, f 2 '''(x) = − 2
Schnittpunkte mit der x-Achse: (f(x)=0) N1/2(0∣0) (doppelte NST Berührpunkt) und N 3 (6∣0) (1)
Hoch- und Tiefpunkte: (f'(x)=0, f''(x) </>0) T(0∣0) und H(4∣8) (4)
Wendepunkte: (f''(x)=0, f'''≠0 oder VZW von f''(x)) W(2∣4) (2) Wertetabelle und Schaubild: (1)
b) f’t(x) = −
2 t
x
2
t
x, f’’t(x) = −
2 t
x +
t
Hochpunkt: (f’t(x) = 0 und f’’t(x) < 0) H(2t4t) (3)
Ortskurve der Hochpunkte y = 2x (1)
c) A(u) = 2
∙g∙h = (6 − u)∙f 2 (u) = 8
u
2 (u − 6)
2 , (2)
A‘(u) = 2
u∙(u − 6)∙(u − 3), A‘‘(u) = 2
(u
2 − 6u + 6) (2)
rel. Max (A‘(u) = 0 und A‘‘(u) < 0) bei u = 3. (2)
Bereichsgrenzen: A(0) = A(6) = 0 abs Max bei u = 3 mit A(3) = 8
FE. (2)
Aufgabe 11: Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Optimierungsaufgabe (26)
Für jedes t ∈ ℝ*+ sind die Funktionen ft und gt gegeben durch ft(x) =
x t x 2t
und gt(x) =
( t )x 2t t
. Das Schaubild von ft ist Kt, das Schaubild von gt ist Gt.
a) Untersuchen Sie das Schaubild Kt auf Symmetrie, Schnittpunkte mit der x-Achse, Hoch-, Tief- und
Wendepunkte. Zeichnen Sie K 1 und G 1 im Bereich −2 ≤ x ≤ 2 mit 1 LE = 2 cm. (11)
b) In den Raum, der zwischen K 1 und G 1 liegt, soll ein Rechteck maximaler Fläche eingepasst werden, dessen
Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Rechteckes auf zwei Nachkommastellen gerundet an. (9)
c) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Kt und Gt. Für welches t wird der Abstand der beiden
rechten Schnittpunkte minimal? Hinweis: Dieses Extremwertproblem lässt sich lösen ohne dabei irgendwelche Ableitungen zu bilden! (6)
Lösungen:
a) Ableitungen: ft’(x) =
x 2t x t
, ft’’(x) =
x 2t t
und f‘‘‘t(x) = t
x (2)
Symmetrie: ft ist eine gerade Funktion, also symmetrisch zur y-Achse. (1)
Schnittpunkte mit der x-Achse N1/2(0∣0) (doppelte NST Berührpunkt) und N3/4(± 2 3 t ∣0) (2)
Extrempunkte (ft’(x) = 0 und ft’’(x) ≠ 0): H(0∣0) und T1/2(± t 3 ∣−
5 t ) (4)
Wendepunkte (ft’’(x) = 0 mit VZW): W1/2(±
t 3
5 t ) (3)
Schaubild (zusätzliche Werte: f 1 (±2) = 4) (1)
b) Aus der Zeichnung lässt sich erkennen, dass von den Zwischenräumen in den Bereichen –2 ≤ x ≤ –1, –1 ≤ x
≤ 1 und 1 ≤ x ≤ 2 der mittlere Bereich −1 ≤ x ≤ 1 deutlich größer ist als die beiden anderen. Es bietet sich daher an, die folgenden Eckpunkte mit 0 ≤ x ≤ 1 zu wählen:
A(u∣g(u))
B(u∣(f(u))
C(u∣(f(–u)) = C(–u∣f(u)
D(u∣(g(–u)) = D(–u∣g(u) (2) A(u) = b∙h = [u – (–u)]∙[f 1 (u) – g 1 (u)] = 2u∙[0,5u 4
- 2,5u 2 + 2] = u 5 - 5u 3 + 4u A‘(u) = 5u 4 - 15u 2 + 4
und A‘‘(u) = 20u
3
- 30u Relatives Maximum (A‘(u) = 0 und A‘‘(u) < 0): 0 = 5u
4
2
4
3u 2
u1/2 =
≈ ± 1,64 und u3/4 =
≈ ± 0,54. Nur u 3 ≈ 0,54 liegt im gewünschten Bereich! A‘‘(0,54) ≈ – 15,4 < 0 relatives
Maximum (Hochpunkt). Bereichsgrenzen: A(0) = 0, A(0,54) ≈ 1,41 und A(1) = 1 absolutes Maximum
bei u 3 ≈ 0,54 y-Koordinaten: f 1 (0,54) ≈ – 0,21 und g 1 (0,54) ≈ – 1,56 Eckpunkte: A(0,54∣–0,21), B(–
0,54∣–0,21), C(–0,54∣–1,56) und D(0,54∣–1,56). (7)
c) Punkte A(1
t 2t
) und B(2
4t t
) Abstand d(t) =
1 ( 3t ) 2t
mit t > 0.
Ansatz 1:
Da die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, genügt es, das Minimum von d
2 (t) =
1 ( 3t ) 2t zu suchen: Ist d
2 (t) an der Stelle t 0 minimal, so besitzt auch d(t) dort ein relatives Minimum. (d
2 (t)’) =
2t
3t 2 )(−
2 t
−6t) = 0
2t
−3t 2 = 0 t =
3 mit d(
3 ) = 1. (t > 0!). Randwerte: Da d(t) für t → 0
(wegen
2t
) und für t → ∞ (wegen 3t 2 ) gegen ∞ strebt, ist an dieser Stelle auch das absolute Minimum.
Ansatz 2 :
(^152 ) 1 ( 3t ) 2t
erreicht sein absolutes Minimum, wenn
2t
−3t
2 = 0 t =
Aufgabe 12: Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Tangente (24)
Für jedes t ε ℝ ist die Funktion ft gegeben durch ft(x) = −x
3
2
- (2t − 1)x + t. Ihr Schaubild heißt Kt.
a) Untersuchen Sie K 2 auf Achsenschnittpunkte, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K 2 für −2 ≤ x ≤
2 mit 1 LE = 2 cm. (10)
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an K 2 im Punkte P(0,5∣f 2 (0,5)). Zeigen Sie, dass der Tiefpunkt
von K 2 auf dieser Tangenten liegt. Q sei ein vom Hochpunkt H(1∣4) verschiedener Punkt auf K 2. Bestimmen Sie die Koordinaten von Q so, dass die Tangente an K 2 in Q durch H geht. (7)
c) Zeigen Sie, dass Kt die x-Achse in A(−1∣0) berührt. Für welche Werte von t ist A
Hochpunkt Tiefpunkt Wendepunkt von Kt?
d) Es sei t ≤ 0. Auf dem Schaubild Kt liegen die Punkte R(t∣0) und S(0∣t). Der Ursprung O(0∣0) und die Punkte
R und S bilden Sie Eckpunkte eines Dreieckes mit dem Flächeninhalt A 1 (t). Die Koordinatenachsen und Kt begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt A 2 (t). Für welchen Wert von t gilt A 1 (t) : A 2 (t) = 1 : 3?
