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Unterlagen für die Lehrkraft
Abiturprüfung 2009
Mathematik, Leistungskurs
1. Aufgabenart
Lineare Algebra/Geometrie ohne Alternative
2. Aufgabenstellung
siehe Prüfungsaufgabe
3. Materialgrundlage
4. Bezüge zu den Vorgaben 2009
- Inhaltliche Schwerpunkte
- Lineare Gleichungssysteme für n > 2, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
- Lineare Abhängigkeit von Vektoren, Parameterformen von Geraden und Ebenen- gleichungen
- Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalität, Winkel und Länge von Vektoren
- Normalenformen von Ebenengleichungen, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
- Abstandsprobleme (Abstand Punkt – Ebene) 2. Medien/Materialien
- entfällt
5. Zugelassene Hilfsmittel
- Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)
- Mathematische Formelsammlung
- Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung
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6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen
6.1 Modelllösungen
Modelllösung a)
(1) Als Parametergleichung von E 1 ergibt sich: (^1)
E x s t
⎛ ⎞ ⎛ −^ ⎞ ⎛ − ⎞
= ⎜^ ⎟^ + ⎜^ ⎟^ + ⎜^ − ⎟
G
Der Ansatz 0 n
n
n
0
3
2
1
⎟
und 0 n
n
n
6
3
2
1
⎟
führt auf den Normalenvektor
n
= ⎜^ ⎟
G (^) und damit entsteht die Normalenform der Ebenengleichung zu
1
E x x
⎛ ⎞ ⎡^ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎢^ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟
G G (^) bzw. E 1 : 2 x 2 +^ x 3 = 13.
(2) Zur Bestimmung der Koordinaten des Punk-
tes M * wird die Gleichung der Geraden 0 0 : 7 2, 15 5
g x s
= ⎜^ ⎟^ + ⎜^ − ⎟
G (^) in die Normalen-
form von E 1 eingesetzt:
1
in : 2 7 2,5 13 1 15 5
g E s
⎛ ⎞ ⎛^ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎟ ⎜^ ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟⎟=
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜^ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝ ⎠ ⎜⎝^ ⎝ ⎠ ⎝ − ⎠⎟⎠
⇔ s = 1, Es ergibt sich M ***** (0|3|7). Zur Zeichnung von M , M * und der Verbindungslinie von M nach M * vergleichen Sie die nebenstehende Skizze.
B
M*
M
x 3
x 2
x 1
D
S
C
A
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Für den Innenwinkel ϕ zwischen den Dreiecksseiten F 1 (^) F 2 und F 1 (^) F 3 gilt:
1 2 1 3 1 2 1 3
cos( ) 2 2 1 1 4 2 48, 6 6 6 3
F F F F
F F F F
ϕ = ⋅^ = ⎝^ −^ ⎠^ ⎝^ − ⎠= −^ +^ + = ⇒ ϕ ≈ ° ⋅ ⋅
JJJJG JJJJG
JJJJG JJJJG.
(2) Die Gleichung einer Geraden durch die Dreiecksseite F 2 (^) F 3 lautet:
F F2 3 2 3
g x t F F t
⎛ −^ ⎞ ⎛ −^ ⎞ ⎛ − ⎞
= ⎜^ ⎟^ + ⋅ = ⎜^ ⎟^ + ⋅⎜^ ⎟
G JJJJG
Dazu ist die Ebene (^3 3 )
E x E x
G (^) durch den Punkt G (0|1,5|10) der
Dachfläche BCS orthogonal. Die Koordinaten des Durchstoßpunktes H der Geraden g F F (^) 2 3 durch die Ebene E 3 lassen sich durch Einsetzen der Geradengleichung von g F F (^) 2 3in die Ebenengleichung von E 3 ermitteln: 1 1 2 0 2 0 0 1 (0|2|9) 2 0 9 0
t t H
⎛ ⎞ ⎡^ ⎛ −^ ⎞ ⎛ − ⎞⎤
⎜ ⎟ ⋅ ⎢^ ⎜ ⎟ + ⋅ ⎜ ⎟⎥= ⇔ = − ⇒
⎜⎜ ⎟⎟ ⎢^ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎥
⎝ ⎠ ⎢⎣^ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦
Der gesuchte Abstand d der Seite F 2 (^) F 3 vom Punkt G ergibt sich als Entfernung der
Punkte H und G zu: 2 ( )^2
2 1,5 0,5 1 5 1,118 (LE)
d
= ⎜^ ⎟^ − ⎜^ ⎟ = + − = ≈
Modelllösung d)
Die Gerade k ist parallel zur x 1 - x 2 -Ebene, da der Richtungsvektor von k offensichtlich komplanar zur x 1 - x 2 -Ebene ist. Der Punkt S * bewegt sich also auf einer Geraden k parallel zur x 1 - x 2 -Ebene. Damit ändert sich der Abstand des Punktes S * von der x 1 - x 2 -Ebene nicht, wenn S * sich irgendwo auf der Geraden k befindet. Da die Grundfläche der Pyramide in der x 1 - x 2 -Ebene liegt, ändert sich der Abstand des Punktes S * von der Grundfläche der Pyramide nicht. Somit bleibt die Höhe h der Pyramide ABCDS * unverändert für alle Punkte S * auf der Geraden k. Also verändert sich auch das
Volumen 1 3 V = ⋅ G h ⋅ der Pyramide nicht (bei immer gleicher Grundfläche G ).
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6.2 Teilleistungen – Kriterien
Teilaufgabe a)
Anforderungen Der Prüfling
erreichbaremaximal Punktzahl(AFB) 1
1 berechnet eine Gleichung der Ebene E 1 in Normalenform. 8 (I) 2 ermittelt die Koordinaten des Punktes M *. 5 (II) 3 zeichnet die Punkte M und M * und deren Verbindungslinie ein. 2 (I) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet.
Teilaufgabe b)
Anforderungen Der Prüfling
erreichbaremaximal Punktzahl(AFB)
1 ermittelt eine Ebenengleichung für die Ebene E 2 (mit bekanntem Normalenvektor). 5 (II) 2 berechnet den Abstand des Punktes B von der Ebene E 2. 4 (I) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet.
Teilaufgabe c)
Anforderungen Der Prüfling
erreichbaremaximal Punktzahl(AFB)
1 bestimmt die Koordinaten des Punktes F 2. 7 (II) 2 berechnet den eingeschlossenen Innenwinkel. 4 (I) 3 ermittelt den Abstand des Punktes G von der Dreiecksseite F 2 (^) F 3. 8 (III) Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet.
(^1) AFB = Anforderungsbereich
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7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit
Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________
Schule: _____________________________________________
Teilaufgabe a)
Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling (^) erreichbaremaximal Punktzahl(AFB)
EK 2 ZK DK
1 berechnet eine Gleichung … 8 (I) 2 ermittelt die Koordinaten … 5 (II) 3 zeichnet die Punkte … 2 (I) sachlich richtige Alternativen: (15) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 15
Teilaufgabe b)
Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling (^) erreichbaremaximal Punktzahl(AFB)
EK ZK DK
1 ermittelt eine Ebenengleichung … 5 (II) 2 berechnet den Abstand … 4 (I) sachlich richtige Alternativen: (9) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 9
(^2) EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur
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Teilaufgabe c)
Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling (^) erreichbaremaximal Punktzahl(AFB)
EK ZK DK
1 bestimmt die Koordinaten … 7 (II) 2 berechnet den eingeschlossenen … 4 (I) 3 ermittelt den Abstand … 8 (III) sachlich richtige Alternativen: (19) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 19
Teilaufgabe d)
Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling (^) erreichbaremaximal Punktzahl(AFB)
EK ZK DK
1 zeigt, dass die … 2 (II) 2 begründet, dass sich … 5 (II) sachlich richtige Alternativen: (7) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe d) 7
Summe insgesamt 50
Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.)
Lösungsqualität erreichbare^ maximal Punktzahl
EK ZK DK Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der dritten bearbeiteten Aufgabe 50 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 150 aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt
Paraphe
