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Abiturprüfung 2017
Mathematik, Grundkurs
Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel
Aufgabenstellung:
a) Gegeben ist die in IR^ definierte Funktion f mit der Gleichung f x ( ) x^3 2 x^2.
(1) Weisen Sie nach, dass x 1 (^) 2 und x 2 (^) 0 die einzigen Nullstellen von f sind. (2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt. (2 + 4 Punkte)
b) Untersucht werden die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen.
(1) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: 1 2 2 3 2 3
x x x x x x
(2) Betrachtet wird das folgende Gleichungssystem mit dem Parameter p IR : 1 2 3 1 2 1 2 3
x x x x x x x p x
Begründen Sie, dass dieses Gleichungssystem für p = 1 unendlich viele Lösungen und für p = 0 keine Lösung besitzt. (4 + 2 Punkte)
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c) Gegeben sind die Punkte A (–2|1|–2), B (1|2|–1) und C (1|1|4) sowie für eine reelle Zahl d der Punkt D ( d |1|4). (1) Begründen Sie mithilfe der Vektoren AB
und AC
, dass A, B und C nicht auf einer Geraden liegen, und geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in der das Dreieck ABC liegt. (2) Ermitteln Sie den Wert von d, so dass das Dreieck ABD im Punkt B rechtwinklig ist. (4 + 2 Punkte)
d) Jedes Überraschungsei eines Herstellers enthält entweder eine Figur oder keine Figur. Die Anzahl der Überraschungseier mit einer Figur innerhalb einer Stichprobe ist binomial- verteilt mit p = 0,25. (1) Zehn Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt. Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass in genau zwei Überraschungseiern jeweils eine Figur enthalten ist. (2) Sechs Überraschungseier werden zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße X gibt an, wie viele dieser Überraschungseier eine Figur enthalten. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße X dar: I. II. III.
Geben Sie an, welche Abbildung dies ist. Begründen Sie, dass die beiden anderen Abbildungen dies nicht sind. (2 + 4 Punkte)
Hinweis: Ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ist zugelassen.
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5. Hinweis
Ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ist zugelassen.
6. Modelllösungen
Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Prüflinge muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“).
Teilaufgabe a)
(1) f x ( )^^ ^0 ^ x^^2 ^ (^ x^ ^ 2)^ ^0 ^ x^ ^2 x ^0.
(2) (^)
0 3 2 4 3 0 2 2
2 d 1 2 0 4 2 8^4 ^ x^ x^ x^^4 x^^3 x ^3
^ ^ ^
^ .
Der Flächeninhalt beträgt also 43 (FE).
Teilaufgabe b) (1) Mithilfe des Additionsverfahrens erhält man aus II – III: x 3^ ^2.
Durch Einsetzen in II oder III ergibt sich x 2 (^) 1 und durch Einsetzen in I erhält man x 1 (^) 5. Damit lautet die Lösungsmenge (^) IL (^) 5 ; 1; 2.
(2) Für p = 1 sind die Gleichungen I und III übereinstimmend. Das verbleibende LGS hat Dreiecksform und ist unterbestimmt. Damit existieren unendlich viele Lösungen. Für p = 0 widersprechen sich die Gleichungen II und III, weshalb das LGS keine Lösung besitzt.
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Teilaufgabe c)
(1) Da
AB
^
und
AC
^
offensichtlich nicht kollinear sind, liegen A , B , C nicht
auf einer Geraden. 2 3 3 : 1 1 0 , , 2 1 6
E x s t s t IR
^ ^ ^ ^ ^
d AB BD d d
^
Teilaufgabe d)
(1) P E ( ) ^102 0,75^8 0,25^2
(2) Abbildung I zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. X ist binomialverteilt, der Erwartungswert von X ist 6 0,25 1,5. Abbildung II zeigt eine Gleichverteilung und gehört damit nicht zu X. Abbildung III zeigt eine Verteilung mit einem Erwartungswert, der größer als 1,5 ist.
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Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling (^) erreichbaremaximal Punktzahl
EK ZK DK 1 (1) begründet, dass A , B , C nicht auf einer Geraden liegen. 2 2 (1) gibt eine Gleichung der Ebene an. 2 3 (2) ermittelt den Wert von d , so dass das Dreieck ABD im Punkt B rechtwinklig ist.
2
Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (6) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 6
Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling (^) erreichbaremaximal Punktzahl
EK ZK DK 1 (1) gibt einen Term zur Berechnung der gesuchten Wahr- scheinlichkeit an.
2
2 (2) gibt an, welche Abbildung die angegebene Wahrschein- lichkeitsverteilung darstellt, und begründet, dass die anderen Abbildungen diese nicht darstellen.
4
Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (6) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe d) 6
Summe insgesamt 24
Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus dem Prüfungsteil B.
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Mathematik, Grundkurs
Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln
Aufgabenstellung: In einem Produktionsprozess werden Flüssigkeiten erhitzt, eine Zeit lang bei konstanter Temperatur gehalten und anschließend wieder abgekühlt.
a) Betrachtet wird zunächst ein Vorgang, bei dem der Temperaturverlauf durchgehend gesteuert wird. In der Tabelle sind Ergebnisse einer Temperaturmessung angegeben.
Zeit in Minuten 0 2 4 10 15 20 40 60 80 Temperatur in °C 23,0 54,0 76,9 76,8 77,3 76,8 37,9 26,0 23,
Der Temperaturverlauf kann während des Erhitzens und während des Abkühlens mithilfe der in IR definierten Funktion f mit 101 f t ( ) 23 20 t e ^ t modellhaft beschrieben werden. Dabei ist ݐ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und f t ( ) die Temperatur in °C. (1) Geben Sie an, welche Temperaturen die Funktion f für den Beginn des Vorgangs und für den Zeitpunkt zwei Minuten nach diesem Beginn liefert. Bestimmen Sie jeweils die prozentuale Abweichung von den angegebenen Messwerten. (2) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von f genau einen Extrempunkt hat. Vergleichen Sie die zu diesem Punkt gehörende Temperatur mit den angegebenen Messwerten.
[Zur Kontrolle:
101 f ( )^ t e^ ^ ^ t 20 2 t ]
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Die Steuerung des Prozesses kann so variiert werden, dass sich der Temperaturverlauf
während des gesamten Vorgangs für t 0 durch eine der in IR definierten Funktionen fk
mit 101 fk ( ) t 23 20 t e ^ k t mit k 0 beschreiben lässt. Dabei ist t die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und fk ( ) t die Temperatur in °C. (5) Die in der Abbildung 2 dargestellten Graphen A , B und C gehören jeweils zu einem der Werte k 0,5, k 2 und k 5. Entscheiden Sie, welcher dieser Werte welchem Graphen zugeordnet werden kann.
(6) Begründen Sie, dass der in der Abbildung dargestellte Graph D nicht zu einer der Funktionen fk gehören kann. (4 + 12 + 3 + 5 + 3 + 2 Punkte)
Abbildung 2
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b) Betrachtet wird nun ein Vorgang, bei dem die Steuerung des Temperaturverlaufs zwanzig Minuten nach Beginn des Vorgangs abgeschaltet wird. Das anschließende Abkühlen der Flüssigkeit lässt sich für ݐ≥ 20 durch die in IR definierte Funktion h mit
h t ( ) c d e ^ 0,065 t
und c d , IR beschreiben. Zu Beginn des Abkühlens soll die Temperatur 77 °C und die momentane Änderungsrate der Temperatur –3,5 °C pro Minute betragen. (1) Bestimmen Sie passende Werte von c und d. (2) Ermitteln Sie für diese Phase des Abkühlens im Intervall (^) 20; 80 (^) denjenigen Zeitpunkt, für den die Werte der Funktion f und der Funktion h mit c 23,15 und d 197, am stärksten voneinander abweichen. Geben Sie die zugehörige Abweichung an. (6 + 5 Punkte)
Zugelassene Hilfsmittel: GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung
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5. Zugelassene Hilfsmittel
GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung
6. Modelllösungen
Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Prüflinge muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“).
Teilaufgabe a) (1) Es gilt f (0) 23 , womit es für t 0 keine Abweichung gibt.
Weiterhin gilt f (2) 55,7mit 55,754,0^ ^ 54,0^ ^ 0,031, womit der Funktionswert für t 2 den Messwert um 3,1 % überschreitet. [Hinweis: Wenn f (2) nicht gerundet wird, ergibt sich eine Abweichung von 3,2 %.] (2) Es gilt
101 101 1 f ( ) t 20 e^ ^ ^ t^^ 20 t e ^ t^ ^10 . 101 1 f^ ( )^ t 20 e^ ^ ^ t^ 1 10 t
Notwendige Bedingung: Ist t (^) E eine Extremstelle, dann gilt f (^ tE ) 0. Da 101 20 e ^ ^ t 0 gilt, genügt die Betrachtung von 1 1 0 10 tE
tE (^10). Daraus folgt, dass nur diese eine Stelle als Extremstelle in Frage kommt. Hinreichende Bedingung: Da f (10)^ 0 , f ( )^ t 0 für t < 10 und f ( )^ t 0 für t > 10, handelt es sich um eine Extrem- stelle [Maximalstelle] mit dem Funktionswert f (10) 96,6. Die Temperatur von 96,6 °C ist deutlich größer als die Messwerte.
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(3) Für große Werte von t nähert sich der Graph von f der Geraden mit der Gleichung y = 23 an. Die Temperatur der Flüssigkeit nähert sich mit der Zeit 23 °C an.
(4) Zu lösen ist die Gleichung f t ( ) 77. Mithilfe des grafischen Taschenrechners lassen sich
die Zeitpunkte numerisch bestimmen. Es folgt t 1^ ^ 4,047[Min.] und t 2^ ^ 20,050[Min.].
(5) k 0,5 C ; k 2 B und k 5 A.
(6) Es gilt fk ( ) t 23 für alle t 0 und alle k.
Der Graph D liegt für größere Werte von t unterhalb der Geraden mit der Gleichung y = 23. Damit kann D nicht zu einer der Funktionen fk gehören.
f(t)
t
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7. Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit
Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________
Schule: _____________________________________________
Teilaufgabe a)
Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling (^) erreichbaremaximal Punktzahl
EK 2 ZK DK 1 (1) gibt die beiden Temperaturen an. 2 2 (1) bestimmt jeweils die prozentuale Abweichung von den angegebenen Messwerten.
2 3 (2) bestimmt die erste Ableitung. 4 4 (2) zeigt rechnerisch (mit einer notwendigen und hinreichen- den Bedingung), dass der Graph von f genau einen Extrem- punkt hat.
6
5 (2) vergleicht den Funktionswert mit den angegebenen Messwerten.
2
6 (3) beschreibt den Verlauf des Graphen für große Werte von t und interpretiert den Verlauf im Sachzusammenhang.
3 7 (4) bestimmt die beiden gesuchten Zeitpunkte. 3 8 (4) stellt den Temperaturverlauf grafisch dar. 2 9 (5) entscheidet, welcher Wert welchem Graphen zugeordnet werden kann.
3
10 (6) begründet, dass D nicht zu einer der Funktionen gehören kann.
2
Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (29) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 29
(^2) EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur
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Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling (^) erreichbaremaximal Punktzahl
EK ZK DK 1 (1) bestimmt die erste Ableitung. 2 2 (1) stellt das Gleichungssystem auf und bestimmt die Werte von c und d.
4
3 (2) gibt die Differenzfunktion an, ermittelt den Zeitpunkt der stärksten Abweichung und gibt diese an.
5 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (11) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 11
Summe insgesamt 40
Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer weiteren Aufgabe aus dem Prüfungsteil B.
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Zur Modellierung der Tageslängen in Rahden im Zeitraum vom 1. Januar 2017 bis zum
- Juni 2017 wird von einem Schüler für 0 t 5,67die Funktion f mit der Gleichung
f (^) t (^) 0,08 t^3 0,6324 t^2 0,54432 t 8 , t IR ,
verwendet.
Dabei wird f (^) t als Tageslänge in Stunden aufgefasst.
a) (1) Ermitteln Sie mit der Funktion f die Tageslänge in Rahden für den heutigen Tag (3. Mai, also t 4,07 ) und vergleichen Sie den von Ihnen berechneten Wert mit der tatsächlichen heutigen Tageslänge in Rahden von 15 Stunden und 10 Minuten.
(2) Zeigen Sie, dass der Wert des Terms f^ ^22 ^ 0 f ^0 kleiner ist als der Wert des Terms
4 2 4 2
f f , und interpretieren Sie diese Tatsache im Sachzusammenhang. (3) Vom 1. Januar 2017 bis zum 21. Juni 2017 ( t 5,67) werden nördlich des Äquators (und damit auch in Rahden) die Tage immer länger. Zeigen Sie rechnerisch, dass diese Tatsache durch die Funktion f zutreffend modelliert wird.
Tageslänge in Stunden
Januar Februar März April Mai Juni Juli August September OktoberNovember Dezember t Abbildung 1
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(4) Für die zweite Ableitung f ''der Funktion f gilt die folgende Aussage: f '' (^) t 0 für alle t IR mit t 2,635. Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Aussage für 2,635 t 5,67 unter Berück- sichtigung von a) (3) im Sachzusammenhang. [Hinweis: Ein Nachweis der Aussage ist nicht erforderlich.]
(5) Begründen Sie, dass die Funktion f nicht zur Modellierung der Tageslängen für das gesamte Jahr 2017 geeignet ist. (4 + 5 + 7 + 3 + 3 Punkte)
b) Der 21. Juni 2017 ( t 5,67) ist der längste Tag des Jahres 2017, der 21. Dezember 2017 ( t 11,67) ist der kürzeste Tag des Jahres 2017 in Rahden. Eine Freundin des Schülers schlägt vor, zur Modellierung der Tageslängen vom
- Juni 2017 bis zum 1. Januar 2018 für 5,67 t 12 eine ganzrationale Funktion g dritten Grades zu verwenden, deren Ableitung g 'eine quadratische Funktion von folgender Form ist: g ' (^) t (^) a ( t 5,67) (^) t 11,67 (^) , t IR , wobei a eine noch zu bestimmende reelle Zahl ist.
