AHS Mathematik Teil 2 Lösungen Matura September 2018, Abiturprüfungen von Mathematik

Nur auf Docsity: Lade AHS Mathematik Teil 2 Lösungen Matura September 2018 und mehr Abiturprüfungen als PDF für Mathematik herunter!

AHS

20. September 2018

Mathematik

Teil-2-Aufgaben

Korrekturheft

Standardisierte kompetenzorientierte

schriftliche Reifeprüfung

Aufgabe 1

Quadratische Funktion

a) Lösungserwartung:

c > 0 Mögliche Begründung: Der Punkt A = (0 | y (^) A) liegt auf der positiven senkrechten Achse, daher ist yA = f(0) > 0. Da c = f(0) ist, muss c > 0 sein. oder: Der Parameter c legt fest, in welchem Punkt der Graph von f die senkrechte Achse schneidet. Da dieser Schnittpunkt auf der positiven senkrechten Achse liegt, muss c > 0 gelten.

b < 0 Mögliche Begründung: Der Punkt B ist ein Extrempunkt von f. Da B auf der positiven x-Achse liegt, muss seine x-Ko- ordinate x (^) B positiv sein. Die Extremstelle xE = xB der Funktion f ergibt sich aus dem Ansatz: f ′(xE ) = 0 ⇔ xE = –2 ∙ b. Wegen xE = –2 ∙ b > 0 muss b < 0 gelten. oder: Da aus f′(x) = 12 ∙ x + b folgt, dass f ′(0) = b ist, und da f für (–∞; xE ) mit xE > 0 streng mo- noton fallend ist, folgt f ′(0) < 0 und somit gilt: f ′(0) = b < 0. oder: Angenommen, es würde b ≥ 0 gelten. Wegen c > 0 ergibt sich: 14 ∙ x^2 + c > 0 für alle x ∈ ℝ.

Somit würde für alle x > 0 auch 14 ∙ x^2 + b ∙ x + c > 0 gelten. Dies stellt aber einen Wider- spruch dazu dar, dass ein Berührpunkt mit der positiven x-Achse existiert. Folglich muss b < 0 gelten.

Lösungsschlüssel:

• Ein Ausgleichspunkt für die Angabe von c > 0 und eine korrekte Begründung.
• Ein Punkt für die Angabe von b < 0 und eine korrekte Begründung. Andere korrekte Begründungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

Aufgabe 2

Überlagerung von Schwingungen

a) Lösungserwartung:

T = 2 ∙ π c ∙ π ⇒ T = (^2) c

Mögliche Vorgehensweise: T = 2 ∙ π2 ∙ π = 1

peff = 11 ∫

1 0 sin

(^2) (2π ∙ t) dt

 = ^1 2

⇒ peff ≈ 0,71 Pa

Lösungsschlüssel:

• Ein Punkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.
• Ein Punkt für die Berechnung des richtigen Effektivwerts des Schalldrucks, wobei die Ein- heit „Pa“ nicht angeführt sein muss. Toleranzintervall: [0,7 Pa; 0,71 Pa]

b) Lösungserwartung:

T = 4 ms

Frequenz von h: (^) 0,004^1 = 250 Hz

Lösungsschlüssel:

• Ein Punkt für die Angabe der richtigen Periodenlänge von h, wobei die Einheit „ms“ nicht angeführt sein muss. Toleranzintervall: [3,9 ms; 4,1 ms]
• Ein Punkt für die richtige Lösung.

c) Lösungserwartung:

Amplitude von h: ca. 2,9 nach ca. 0,2 ms

Mögliche Begründung: Die Amplitude von h ist nicht gleich der Summe der Amplituden von h 1 , h 2 und h 3 , da die drei Funktionen ihre maximalen Funktionswerte zu unterschiedlichen Zeitpunkten erreichen.

Lösungsschlüssel:

• Ein Punkt für die Angabe der richtigen Amplitude und den richtigen Zeitpunkt, wobei die Einheit „ms“ nicht angeführt sein muss. Toleranzintervalle: [2,85; 2,95] bzw. [0,19 ms; 0,21 ms]
• Ein Punkt für eine korrekte Begründung.

d) Lösungserwartung:

R 1 = (1 |



Mögliche Vorgehensweise: x(R 1 ) = 2 · cos(60°) = 2 ∙ 12 = 1

y(R 1 ) = 2 · sin(60°) = 2 ∙ (^2)

 (^3) = ^3

Mögliche Vorgehensweise: Entfernung zwischen L 2 und R 2 = 2 · x(R 2 ) = 2 · 2 · cos(20°) ≈ 3,76 m

Lösungsschlüssel:

• Ein Ausgleichspunkt für die Angabe der richtigen Koordinaten von R 1. Toleranzintervall für die y-Koordinate: [1,7; 1,75]
• Ein Punkt für die Angabe der richtigen Lösung. Toleranzintervall: [3,7 m; 3,8 m]

c) Lösungserwartung:

01.01.1908 01.01.1912 01.01.1916 01.01.1920 01.01. Zeit in Jahren

150

100

50

0

200

300

250

Zeitraum berechneter Lachsbestand (in tausend Lachsen) 01.01.1912 – 31.12.1915 713 01.01.1916 – 31.12.1919 626 01.01.1920 – 31.12.1923 589

Lösungsschlüssel:

• Ein Punkt für ein korrektes Histogramm.
• Ein Punkt für die Angabe der richtigen Werte in der Tabelle.

Aufgabe 4

Roulette

a) Lösungserwartung:

P(X ≥ 4) ≈ 0,

Da die Spieldurchgänge voneinander unabhängig sind und somit die Ergebnisse der vor- herigen Spielrunden keine Auswirkungen auf die nachfolgenden Spielrunden haben, kann der Spieler seine Gewinnchancen mit dieser Strategie nicht beeinflussen.

Lösungsschlüssel:

• Ein Punkt für die richtige Lösung. Toleranzintervall für P(X ≥ 4): [0,1; 0,2] bzw. [10 %; 20 %]
• Ein Punkt für die Angabe, dass der Spieler seine Gewinnchancen mit dieser Strategie nicht erhöhen kann, und eine korrekte Begründung.

b) Lösungserwartung:

(

19 37 )

10 ≈ 0,

Mögliche Vorgehensweise: Bei zehn aufeinanderfolgenden verlorenen Spielrunden beträgt der Verlust € 10.230. Endet die Spielserie mit einem Gewinn, so beträgt dieser € 10. Erwartungswert für einen Gewinn: (1 – 0,00128) ∙ 10 – 0,00128 ∙ 10 230 ≈ – 3, Ein negativer Erwartungswert zeigt, dass dieses Spiel langfristig gesehen für die Spielerin ungünstig ist.

Lösungsschlüssel:

• Ein Ausgleichspunkt für die richtige Lösung. Toleranzintervall: [0,0012; 0,0013]
• Ein Punkt für einen korrekten rechnerischen Nachweis.