AHS Mathematik Zentralmatura Mai 2020: 28 Aufgaben zu lösen, Abiturprüfungen von Mathematik

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AHS

5. Mai 2020

Mathematik

Standardisierte kompetenzorientierte

schriftliche Reifeprüfung

Name:

Klasse:

S. 2 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik

Hinweise zur Aufgabenbearbeitung

Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat! Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben). Die Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt 270 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung. Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deck- blatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt Ar- beitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung auf dem Arbeitspapier an. In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe als nicht gelöst. Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen Formelsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähi- ger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfs mittel nicht möglich ist. Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum auf und kann auf Wunsch eingesehen werden. Das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter sind abzugeben.

Bewertung Die Aufgaben im Teil 1 werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bzw. 0 Punkten, ½ oder 1 Punkt bewertet. Die zu erreichenden Punkte pro Aufgabe sind bei jeder Teil-1-Aufgabe im Aufgabenheft angeführt. Jede Teilaufgabe im Teil 2 wird mit 0, 1 oder 2 Punkten bewertet. Die mit A markierten Aufgabenstellungen werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet. Zwei Beurteilungswege

1. Wenn Sie mindestens 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, gilt der folgende Beurteilungsschlüssel: Genügend 16 – 23,5 Punkte Befriedigend 24 – 32,5 Punkte Gut 33 – 40,5 Punkte Sehr gut 41 – 48 Punkte
2. Wenn Sie weniger als 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, aber insgesamt 24 Punkte oder mehr (aus Teil-1- und Teil-2-Aufgaben) erreicht haben, dann können Sie auf diesem Weg ein „Genügend“ oder „Befriedigend“ erreichen: Genügend 24 – 28,5 Punkte Befriedigend 29 – 35,5 Punkte Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn im Teil 1 unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Punkte und insgesamt weniger als 24 Punkte erreicht wurden. Viel Erfolg!

So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum An- kreuzen:

1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an. Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert. 1 + 1 = 3 (^)  2 + 2 = 4 (^) T 3 + 3 = 5 (^)  4 + 4 = 4 (^)  5 + 5 = 9 (^) 

So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:

1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein. Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt und dann wieder gewählt. 1 + 1 = 3 (^)  2 + 2 = 4 3 + 3 = 5 (^)  4 + 4 = 4 (^)  5 + 5 = 9 (^) 

S. 4 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik

Aufgabe 2

Gewinnaufteilung

Eine Spielgemeinschaft bestehend aus 3 Spielerinnen gewinnt € 10.000. Dieser Gewinn wird wie folgt aufgeteilt: Spielerin B erhält um 50 % mehr als Spielerin A, Spielerin C erhält um 20 % weniger als Spielerin B.

Mit x wird der Betrag bezeichnet, den Spielerin A erhält (x in €).

Aufgabenstellung:

Geben Sie eine Gleichung an, mit der x berechnet werden kann.

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 5 /

Aufgabe 3

Delegation

Aus einer großen Gruppe von Jugendlichen und Erwachsenen soll eine Delegation gebildet werden.

Dabei gelten die folgenden drei Vorschriften:

1. Die Delegation soll mindestens 8 Mitglieder umfassen.
2. Die Delegation soll höchstens 12 Mitglieder umfassen.
3. In der Delegation sollen mindestens doppelt so viele Jugendliche wie Erwachsene sein.

Zwei der drei Vorschriften sind unten stehend jeweils durch eine Ungleichung beschrieben. Da- bei wird die Anzahl der Jugendlichen in dieser Delegation mit J und die Anzahl der Erwachsenen in dieser Delegation mit E bezeichnet.

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Ungleichungen an.

J + E ≤ 12

J ≥ 2 ∙ E

J + E ≤ 8

J – 2 ∙ E < 0

E ≥ 2 ∙ J

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 7 /

Aufgabe 5

Skalierung der Koordinatenachsen

Im nachstehenden Koordinatensystem, dessen Achsen unterschiedlich skaliert sind, ist eine Gerade g dargestellt. Auf der x-Achse ist a und auf der y-Achse ist b markiert. Dabei sind a und b ganzzahlig. Die Gerade g wird durch y = –2 ∙ x + 4 beschrieben. y

x 0 a

b

g

0

Aufgabenstellung:

Geben Sie a und b an.

a =

b =

[0 / ½ / 1 Punkt]

S. 8 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik

Aufgabe 6

Bahntrasse

Die Steigung einer geradlinigen Bahntrasse wird in Promille (‰) angegeben. Beispielsweise ist bei einem Höhenunterschied von 1 m pro 1 000 m zurückgelegter Distanz in horizontaler Richtung die Steigung 1 ‰.

Aufgabenstellung:

Geben Sie eine Gleichung an, mit der für eine geradlinige Bahntrasse mit der Steigung 30 ‰ der Steigungswinkel α exakt berechnet werden kann ( α > 0).

S. 10 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik

Aufgabe 8

Zug

Ein Zug bewegt sich bis zum Zeitpunkt t = 0 mit konstanter Geschwindigkeit vorwärts. Ab dem Zeitpunkt t = 0 erhöht der Zug seine Geschwindigkeit.

Die Funktion v ordnet dem Zeitpunkt t mit 0 ≤ t ≤ 60 die Geschwindigkeit v(t) = a · t + b zu (t in s, v(t) in m/s, a, b ∈ ℝ).

Aufgabenstellung:

Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht.

Für den Parameter a gilt 1 und für den Parameter b gilt 2.

1

a < 0

a = 0

a > 0

2

b < 0

b = 0

b > 0

[0 / ½ / 1 Punkt]

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 11 /

Aufgabe 9

Lineare Funktion

Gegeben ist eine lineare Funktion f: ℝ → ℝ mit f(x) = k · x + d mit k, d ∈ ℝ und k ≠ 0.

Es gilt: f(5) – 2 f(a)= k für ein a ∈ ℝ.

Aufgabenstellung:

Geben Sie a an.

a =

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 13 /

Aufgabe 11

Anzahl von Tieren

Man nimmt an, dass sich die Anzahl der Tiere einer bestimmten Tierart auf der Erde um 1,8 % pro Jahr erhöht.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie diejenige Zeitdauer in Jahren, innerhalb der sich die Anzahl der Tiere dieser Tierart auf der Erde verdoppelt.

Zeitdauer: ca. Jahre

S. 14 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik

Aufgabe 12

Bewegung auf einem Kreis

Ein Punkt P bewegt sich auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt M = (0 | 0) mit konstanter Ge- schwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn. Zu Beginn der Bewegung (zum Zeitpunkt t = 0) liegt der Punkt P auf der positiven x-Achse wie in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

y

M P x

Die Funktion f ordnet der Zeit t die zweite Koordinate f(t) = a ∙ sin(b ∙ t) des Punktes P zur Zeit t zu (t in s, f(t) in dm, a, b ∈ ℝ+^ ). Der in der nachstehenden Abbildung dargestellte Graph von f verläuft durch den Punkt H, wobei gilt: f′(1,5) = 0.

f(t)

t

f

H = (1,5 | 4)

(^00)

Aufgabenstellung:

Ermitteln Sie den Radius des Kreises und die Umlaufzeit des Punktes P (für eine Umrundung).

Radius des Kreises: dm

Umlaufzeit: s

[0 / ½ / 1 Punkt]

S. 16 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik

Aufgabe 14

Ölpreis

Die nachstehende Grafik zeigt die Preisentwicklung für Rohöl im Zeitraum vom 8.6.2012 bis 8.9.2012.

70

80

90

100

8.6.2012 – 8.9.

8.6. 1.7. 1.9. 8.9.

Preis in Euro pro Barrel Rohöl

Datenquelle: http://www.heizoel24.at/charts/rohoel [14.12.2012] (adaptiert).

Aufgabenstellung:

Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate für den Preis pro Barrel Rohöl pro Monat im Zeitraum vom 1.7.2012 bis 1.9.2012.

mittlere Änderungsrate: Euro pro Barrel Rohöl pro Monat

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 17 /

Aufgabe 15

Population

Die Anzahl der Rehe in einem Wald am Ende eines Jahres i (i = 1, 2, 3) wird mit Ri bezeichnet. Am Ende des ersten Jahres gibt es 60 Rehe in diesem Wald.

Die nachstehende Gleichung beschreibt die Entwicklung der Population der Rehe.

R (^) i + 1 = 1,2 · Ri – 2 für i = 1, 2

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Anzahl der Rehe in diesem Wald am Ende des dritten Jahres.

Die Anzahl der Rehe am Ende des dritten Jahres beträgt.

5. Mai 2020 / AHS / Mathematik S. 19 /

Aufgabe 17

Kurvenverlauf

Die unten links stehenden Abbildungen zeigen jeweils die Tangente t in einem Punkt P = (x (^) P | f(xP)) des Graphen einer Polynomfunktion f. Dabei ist P der einzige gemeinsame Punkt des Graphen von f und der Tangente t. In der unten rechts stehenden Tabelle sind Aussagen über f′(x (^) P) und f″(xP) gegeben.

Aufgabenstellung:

Ordnen Sie den vier Abbildungen jeweils die zutreffende Aussage (aus A bis F) zu.

A f′(xP) > 0 und f″(xP) > 0

B (^) f′(x (^) P) > 0 und f″(xP) < 0

C f′(x (^) P) < 0 und f″(xP) > 0

D (^) f′(x (^) P) < 0 und f″(xP) < 0

E f′(x (^) P) > 0 und f″(xP) = 0

F (^) f′(x (^) P) < 0 und f″(xP) = 0

P

f t

f(x)

x 0

P f (^) t

f(x)

x 0

P f

t

f(x)

x 0

P

f

t

f(x)

x 0

[0 / ½ / 1 Punkt]

S. 20 /36 5. Mai 2020 / AHS / Mathematik

Aufgabe 18

Vergleich bestimmter Integrale

Gegeben sind fünf Abbildungen mit Graphen von Polynomfunktionen.

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, für die gilt: ∫

–5^ f(x)dx^ >^ ∫

–5^ f(x)dx.

f(x)

x

f

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

0

1

2

3

f(x)

x –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

0

1

2

3

f

f

f(x)

x –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

0

1

2

3

f

f(x)

x –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

0

1

2

3

f

f(x)

x –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

0

1

2

3