Prof. Dr. Dirk Hundertmark
Marvin Raimund Schulz, M.Sc. B.Sc.
Wintersemester 2019\20
25.10.2019
Analysis III 2. ¨
Ubungsblatt
Aufgabe 7
Sei (X, A) ein Messraum. Zeigen Sie, dass durch die folgenden Abbildungen
µ, µb:A→[0,∞],
a) µ:A7→ (|A|,falls |A|<∞
∞,falls |A|=∞wobei |A|:= # der Elemente in A
b) Sei b∈Xfest, dann gelte µb:A7→ (1,falls b∈A
0,falls b /∈A
Maße auf Xdefiniert werden.
Aufgabe 8 Maße, Teil 2 (Fortsetzung von Blatt 1) [K]
Sei Xeine beliebige Menge.
a) Geben Sie alle Maße auf (X, A) mit A={∅, X }an.
b) Sei A⊂X,A6=∅, X. Geben Sie alle Wahrscheinlichkeitsmaße auf σ({A}) an.
c) Geben Sie s¨
amtliche Wahrscheinlichkeitsmaße auf (N,P(N)) an.
d) Sei (Ai)i∈Neine abz¨
ahlbare Zerlegung von X, d.h. die Mengen Aisind paarweise dis-
junkt und Si∈NAi=X. Geben Sie alle Wahrscheinlichkeitsmaße auf σ({Ai:i∈N})
an.
Aufgabe 9 [K]
Sei (Ω,A, µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (An)n∈Neine Folge in A, mit den Eigenschaften
a) lim
n→∞ µ(An)=0
b) P∞
n=1 µ(Ac
n∩An+1)<∞
Zeigen Sie, dass µlim sup
n→∞
An= 0.
Aufgabe 10
Erzeuger der Borel-σ-Algebra auf R.
Zeigen Sie, dass folgende Mengen Erzeuger der Borel-σ-Algebra B(R) sind:
E1={(−∞, a) : a∈Q}E2={(−∞, a) : a∈R}
E3={(−∞, b] : b∈Q}E4={(−∞, b] : b∈R}
E5={(c, ∞) : c∈Q}E6={(c, ∞) : c∈R}
E7={[d, ∞) : d∈Q}E8={[d, ∞) : d∈R}