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Formelsammlung
für die standardisierte kompetenzorientierte
schriftliche Reife- und Diplomprüfung (SRDP)
Angewandte Mathematik (BHS)
Berufsreifeprüfung Mathematik
Stand: 1. September 2018
Ab dem Haupttermin 2020 (Mai 2020) ist diese Formelsammlung die einzig zugelassene Formel- sammlung für die SRDP in Angewandter Mathematik und die Berufsreifeprüfung Mathematik.
Diese Formelsammlung ist ab dem Haupttermin 2017 (Mai 2017) als Hilfsmittel für die SRDP in Angewandter Mathematik und die Berufsreifeprüfung Mathematik zugelassen.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Mengen Kapitel Seite
- 2 Vorsilben
- 3 Potenzen
- 4 Logarithmen
- 5 Quadratische Gleichungen
- 6 Ebene Figuren
- 7 Körper
- 8 Trigonometrie
- 9 Komplexe Zahlen
- 10 Vektoren
- 11 Geraden
- 12 Matrizen
- 13 Folgen und Reihen
- 14 Änderungsmaße
- 15 Wachstums- und Abnahmeprozesse
- 16 Ableitung und Integral
- 17 Differenzialgleichungen 1. Ordnung
- 18 Statistik
- 19 Wahrscheinlichkeit
- 20 Lineare Regression
- 21 Finanzmathematik
- 22 Investitionsrechnung
- 23 Kosten- und Preistheorie
- 24 Bewegungsvorgänge - Index
Rechenregeln
a, b ∈ ℝ{0}; r, s ∈ ℤ a, b ∈ ℝ 0 +; m, n, k ∈ ℕ{0} mit m, n ≥ 2 bzw. a, b ∈ ℝ+; r, s ∈ ℚ
a r^ ∙ a s^ = a r^ +^ s^
n a · b =
n a ∙
n b a r a s^ =^ a^
r – s n ak = ( n a)k
(a r)s^ = a r^ ∙^ s^ ab
n (^) =
n a n (^) b (b^ ≠ 0)
(a ∙ b)r^ = a r^ ∙ b r^ m (^) a
n (^) = n · m (^) a
(
a b)
r = a^
r br
Binomische Formeln
a, b ∈ ℝ
(a + b)^2 = a^2 + 2 ∙ a ∙ b + b^2 (a + b) 3 = a^3 + 3 ∙ a^2 ∙ b + 3 ∙ a ∙ b^2 + b^3 (a – b)^2 = a^2 – 2 ∙ a ∙ b + b^2 (a – b) 3 = a^3 – 3 ∙ a^2 ∙ b + 3 ∙ a ∙ b^2 – b^3 (a + b) ∙ (a – b) = a^2 – b^2 (a – b) ∙ (a^2 + a ∙ b + b^2 ) = a^3 – b^3
4 Logarithmen
a, b, c ∈ ℝ+^ mit a ≠ 1; x, r ∈ ℝ
x = loga(b) ⇔ a x^ = b
natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis ℯ): ln(b) = logℯ(b) dekadischer Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10): lg(b) = log 10 (b)
loga(b · c) = loga(b) + loga(c) loga(bc) = loga(b) – loga(c) loga(b r^ ) = r · loga(b)
loga(a x) = x loga(a) = 1 loga(1) = 0 loga(^1 a) = –1 aloga(b)^ = b
5 Quadratische Gleichungen
p, q ∈ ℝ a, b, c ∈ ℝ mit a ≠ 0
x^2 + p ∙ x + q = 0 a ∙ x² + b ∙ x + c = 0
x1, 2 = – p 2 ± (^) (p 2 )
2
x1, 2 = – b^ ±^
b^2 – 4 · a · c 2 · a
Satz von Vieta
x 1 und x 2 sind genau dann die Lösungen der Gleichung x^2 + p ∙ x + q = 0, wenn gilt: x 1 + x 2 = –p x 1 ∙ x 2 = q
Zerlegung in Linearfaktoren: x^2 + p ∙ x + q = (x – x 1 ) ∙ (x – x 2 )
6 Ebene Figuren
A ... Flächeninhalt u ... Umfang
Dreieck
u = a + b + c
Allgemeines Dreieck
Rechtwinkeliges Dreieck mit Hypotenuse c und Katheten a, b
A =
a · ha 2 =^
b · hb 2 =^
c · hc 2 b
c
hb a
ha hc
A = a^2 ·^ b= c^ · 2 hc hc^2 = p · q a^2 = c · p b^2 = c · q
b
c
a h (^) c q p
Heron’sche Flächenformel Satz des Pythagoras
A =
s · (s – a) · (s – b) · (s – c) mit s = a^ +^ b 2 +^ c a^2 + b^2 = c^2
Ähnlichkeit und Strahlensatz Gleichseitiges Dreieck a a 1 =^
b b 1 =^
c c 1 b
c 1
a 1 a
b 1
c
A = a
2 4 ·^
3 = a^2 ·^ h
h = a 2 ·
3 a^ h a
a
60°
60° 60°
Viereck
Quadrat
a a
a
a
Rechteck b b
a
a
A = a^2 A = a · b
u = 4 · a u = 2 ∙ a + 2 ∙ b
Raute (Rhombus)
a
a a
e
a f ha
Parallelogramm
a
b b
a
A = a ∙ ha = (^) ha hb e · f 2 A^ =^ a^ ∙^ ha^ =^ b^ ∙^ hb u = 4 · a u = 2 ∙ a + 2 ∙ b
8 Trigonometrie
Umrechnung zwischen
Gradmaß und Bogenmaß
Winkel im Bogenmaß (rad)
Winkel im Gradmaß (°)
180° · π
π ·180°
Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck
Sinus: sin( α) = Gegenkathete von Hypotenuse^ α
Cosinus: cos( α) = Ankathete von Hypotenuse^ α
Tangens: tan( α) = Gegenkathete von Ankathete von α^ α
1
1
1
tan( ) α sin( )
α cos( ) α
α α
Gegenkathete von
Ankathete von^ α
α
Hypotenuse
Trigonometrie im Einheitskreis
sin^2 (α) + cos^2 ( α) = 1
tan( α) = (^) cos(sin(^ α α)) für cos( α) ≠ 0
1
0
1
–1 0 1
tan( )
α sin( )
α
cos( ) α
α
y
x
Trigonometrie im allgemeinen Dreieck
Sinussatz: a sin( α)
= b sin( β)
= c sin( γ) b
c
a
γ
α β
Cosinussatz: a^2 = b^2 + c^2 – 2 ∙ b ∙ c ∙ cos( α) b^2 = a^2 + c^2 – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos( β) c^2 = a^2 + b^2 – 2 ∙ a ∙ b ∙ cos( γ)
Trigonometrische Flächenformel:
A = 12 ∙ b ∙ c ∙ sin( α) = 12 ∙ a ∙ c ∙ sin( β) = 12 ∙ a ∙ b ∙ sin( γ)
Allgemeine Sinusfunktion
A ... Amplitude T ... Schwingungsdauer (Periodendauer) ω ... Kreisfrequenz f ... Frequenz φ ... Nullphasenwinkel
y(t) = A ∙ sin( ω ∙ t + φ)
T = 2πω = (^1) f
t 0 = –ω^ φ
y(t)
t t 0 T
A
9 Komplexe Zahlen
j bzw. i ... imaginäre Einheit mit j 2 = –1 bzw. i 2 = – a ... Realteil, a ∈ ℝ r ... Betrag, r ∈ ℝ 0 + b ... Imaginärteil, b ∈ ℝ φ ... Argument, φ ∈ ℝ
Komponentenform Polarformen
z = a + b ∙ j z = r ∙ [cos( φ) + j ∙ sin( φ)] = r ∙ ℯ j^ ∙^ φ^ = (r; φ) = r φ
imaginäre Achse
reelle Achse
b · j^ z^ =^ a^ +^ b^ ·^ j
(^00) a
r
φ
Umrechnungen
a = r ∙ cos( φ) r =
a^2 + b^2 b = r ∙ sin( φ) tan( φ) = ba
10 Vektoren
P, Q ... Punkte
Vektoren in ℝ^2 Vektoren in ℝn
Pfeil von P nach Q: Pfeil von P nach Q:
P = ( p 1 | p 2 ), Q = (q 1 | q 2 ) P = ( p 1 | p 2 | ... | pn), Q = ( q 1 | q 2 | ... | qn)
PQ = (^) ( q q^1 –^ p^1 ) 2 –^ p 2
PQ = ( )
q 1 – p 1 q 2 – p 2 ... qn – pn
Rechenregeln in ℝ^2 Rechenregeln in ℝn
a = (^) ( )a a^1 2
, b = (^) ( )b b^1 2
, a ± b = (^) ( )
a 1 ± b 1 a 2 ± b 2 a^ = ( )
a 1 a 2 ... an
, b = ( )
b 1 b 2 ... b (^) n
, a ± b = ( )
a 1 ± b 1 a 2 ± b 2 ... a (^) n ± bn
k · a = k · (^) ( )a a^1 2
= (^) ( k k^ ··^ aa^1 ) 2
mit k ∈ ℝ (^) k · a = k · ( )
a 1 a 2 ... an
= ( )
k · a 1 k · a 2 ... k · a (^) n
mit k ∈ ℝ
Skalarprodukt in ℝ^2 Skalarprodukt in ℝn
a · b = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 a · b = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + ... + an · bn
Betrag (Länge) eines Vektors in ℝ^2 Betrag (Länge) eines Vektors in ℝn
| a | =
a 12 + a 22 | a | =
a 12 + a 22 + ... + an^2
Normalvektoren zu a = (^) ( )
a 1
a 2 in^ ℝ
2
n = k · (^) ( – aa^2 ) 1
mit k ∈ ℝ{0} und | a | ≠ 0
12 Matrizen
aij, bij ∈ ℝ; i, j, m, n, p ∈ ℕ{0}; k ∈ ℝ
Addition/Subtraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix
mit einer Zahl k
a. 11 .... a. 1 n ... (^). .. am 1 ...^ a (^) mn
b. 11 .... b. 1 n ... (^). .. bm 1 ...^ bmn
a 11 ±. b 11 .... a 1 n ±. b 1 n ... (^). .. a (^) m 1 ± bm 1 ...^ a (^) mn ± bmn
k · ( )
a. 11 .... a. 1 n ... (^). .. am 1 ...^ a (^) mn
k ·. a (^11) .... k ·. a 1 n ... (^). .. k · am 1 ...^ k · a (^) mn
Multiplikation von Matrizen
A ... m × p-Matrix B ... p × n-Matrix C = A ∙ B ... m × n-Matrix
a. 11 .... a. 1 p ... (^). .. a. i 1 .... a.ip ... (^). .. am 1 ...^ amp
b. 11 ...^ b. 1 j ...^ b. 1 n .. .. .. bp 1 ...^ b (^) pj ...^ b (^) pn
=
c. 11 ...^ c. 1 j ...^ c. 1 n .. .. .. ci. 1 ...^ c.ij ...^ c. (^) in .. .. .. cm 1 ...^ c (^) mj ...^ c (^) mn
mit cij = ai 1 ∙ b 1 j + ai 2 ∙ b 2 j + … + aip ∙ bpj
Einheitsmatrix E Transponierte Matrix AT^ Inverse Matrix A−1^ einer
quadratischen Matrix A
E =
1 0 ...^0 (^0). 1 ... ... .. ... ... 0 0 ...^0
A =
a 11 a 12 ...^ a 1 n a 21 a 22 ...^ a 2 n ... ... ... ... am 1 am 2 ...^ a (^) mn
AT^ =
a 11 a 21 ...^ am 1 a 12 a 22 ...^ am 2 ... ... ... ... a 1 n a 2 n ...^ a (^) mn
A ∙ A−1^ = A−1^ ∙ A = E
Lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise (n Gleichungen in n Variablen)
a 11 ∙ x 1 + a 12 ∙ x 2 + … + a 1 n ∙ xn = b 1 a 21 ∙ x 1 + a 22 ∙ x 2 + … + a 2 n ∙ xn = b 2 … an 1 ∙ x 1 + an 2 ∙ x 2 + … + ann ∙ xn = bn
a 11 a 12 ...^ a 1 n a 21 a 22 ...^ a 2 n ... ... ... ... a (^) n 1 an 2 ...^ ann
·
x 1 x 2 ... xn
=
b 1 b 2 ... b (^) n
A · x = b
Wenn die inverse Matrix A−1^ existiert, dann gilt: x = A−1^ ∙ b
Produktionsprozesse
A ... quadratische Verflechtungsmatrix E ... Einheitsmatrix x ... Produktionsvektor n ... Nachfragevektor
x =^ A^ ∙^ x^ +^ n^ x^ = (E^ –^ A)−1^ ·^ n^ n^ = (E^ –^ A) ·^ x
13 Folgen und Reihen
Arithmetische Folge Geometrische Folge
(an) = (a 1 , a 2 , a 3 , ...) (bn) = (b 1 , b 2 , b 3 , ...)
d = an + 1 – an q =
bn + 1 bn
Rekursives Bildungsgesetz Rekursives Bildungsgesetz
an + 1 = an + d b (^) n + 1 = bn · q
Explizites Bildungsgesetz Explizites Bildungsgesetz
a (^) n = a 1 + (n – 1) · d bn = b 1 · q n^ –^1
Endliche arithmetische Reihe Endliche geometrische Reihe
Summe der ersten n Glieder Summe der ersten n Glieder
sn = (^) k^ ∑ = 1
n ak = a 1 + a 2 + ... + an – 1 + an sn = (^) k^ ∑ = 1
n bk = b 1 + b 2 + ... + bn – 1 + bn
sn = n 2 ∙ (a 1 + an) = n 2 ∙ [2 ∙ a 1 + (n – 1) ∙ d] sn = b 1 ∙ q^
n (^) – 1 q – 1 mit^ q^ ≠ 1
Unendliche geometrische Reihe
n = 1
∑
∞ bn ist genau dann konvergent, wenn | q | < 1 s = (^) nlim → ∞ sn = (^) 1 –b^1 q für | q | < 1
14 Änderungsmaße
Für eine auf einem Intervall [a; b] definierte reelle Funktion f gilt:
Absolute Änderung von f in [a; b]
f(b) – f(a)
Relative (prozentuelle) Änderung von f in [a; b]
f(b) – f(a) f(a) mit^ f(a) ≠ 0
Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) von f in [a; b] bzw. in [x; x + ∆x]
f(b) – f(a) b – a bzw.^
f(x + ∆x) – f(x) ∆x mit^ b^ ≠^ a^ bzw. ∆x^ ≠ 0
Differenzialquotient (lokale bzw. „momentane“ Änderungsrate) von f an der Stelle x
f′(x) = (^) x lim 1 → x
f(x 1 ) – f(x) x 1 – x bzw.^ f′(x) =^ ∆limx → 0
f(x + ∆x) – f(x) ∆x
16 Ableitung und Integral
f, g, h ... auf ganz ℝ oder in einem Intervall definierte differenzierbare Funktionen f′, g′, h′ ... Ableitungsfunktionen F ... Stammfunktion von f C, k, q ∈ ℝ; a ∈ ℝ+^ {1}
Unbestimmtes Integral
∫ f(x)^ dx^ =^ F(x) +^ C^ mit^ F′^ =^ f
Bestimmtes Integral
b a f(x)^ dx^ =^ F(x) |^
b a^ =^ F(b) –^ F(a)
Funktion f Ableitungsfunktion f′ Stammfunktion F
f(x) = k (^) f′(x) = 0 F(x) = k ∙ x
f(x) = x q^ f′(x) = q ∙ x q^ –^1
F(x) = x^
q + 1 q + 1 für^ q^ ≠ – F(x) = ln(| x |) für q = –
f(x) = ℯx^ f′(x) = ℯx^ F(x) = ℯx
f(x) = a x^ f′(x) = ln(a) ∙ a x^ F(x) =^ a^
x ln(a)
f(x) = ln(x) f′(x) =^1 x F(x) = x ∙ ln(x) – x
f(x) = loga(x) f′(x) =^ x · ln(^1 a) F(x) =^ ln(^1 a) ∙ (x^ · ln(x) –^ x)
f(x) = sin(x) f′(x) = cos(x) F(x) = –cos(x)
f(x) = cos(x) (^) f′(x) = –sin(x) F(x) = sin(x)
f(x) = tan(x) f′(x) = 1 + tan^2 (x) = (^) cos^1 2 (x) F(x) = –ln(| cos(x) |)
Ableitungsregeln
Faktorregel (k ∙ f )′ = k ∙ f′
Summenregel (f ± g)′ = f′ ± g′
Produktregel (^) (f ∙ g)′ = f′ ∙ g + f ∙ g′
Quotientenregel (^) ( (^) gf)′^ = f′^ ∙^ g^ g–²^ f ∙^ g′ mit g(x) ≠ 0
Kettenregel h(x) = f(g(x)) ⇒ h′(x) = f′(g(x)) ∙ g′(x)
Integrationsmethode – lineare Substitution
∫ f(a^ ∙^ x^ +^ b)^ dx^ =^
F(a ∙ x + b) a +^ C
Volumen von Rotationskörpern
Rotation des Graphen einer Funktion f mit y = f(x) um eine Koordinatenachse
Rotation um die x-Achse (a ≤ x ≤ b) Rotation um die y-Achse (c ≤ y ≤ d)
Vx = π ∙ ∫
b a^ y
(^2) dx Vy = π ∙
d c^ x
(^2) dy
Bogenlänge s des Graphen einer Funktion f im Intervall [a; b]
s = ∫
b a
1 + (f′(x)) 2 dx
Linearer Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b]
m = b 1 – a · ∫
b a f(x)^ dx
17 Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen
y′ = f(x) ∙ g( y) bzw. d dyx = f(x) ∙ g( y) mit y = y(x)
Lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y ... allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung yh ... allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung y′ + a ∙ y = 0 yp ... partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung s ... Störfunktion
y′ + a ∙ y = s(x) mit a ∈ ℝ, y = y(x)
y = yh + yp
19 Wahrscheinlichkeit
n ∈ ℕ{0}; k ∈ ℕ mit k ≤ n A, B ... Ereignisse A bzw. ¬A ... Gegenereignis von A A ∩ B bzw. A ∧ B ... A und B (sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B treten ein) A ∪ B bzw. A ∨ B ... A oder B (mindestens eines der beiden Ereignisse A und B tritt ein) P(A) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A P(A | B) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist (bedingte Wahrscheinlichkeit)
Fakultät (Faktorielle) Binomialkoeffizient
n! = n ∙ (n – 1) · ... ∙ 1 0! = 1 1! = 1 (^) ( )n k =^
n! k! ∙ (n – k)!
Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Versuch
P(A) = Anzahl der fürAnzahl der möglichen Ausgänge^ A^ günstigen Ausgänge
Elementare Regeln
P(A) = 1 – P(A) P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B | A) = P(B) ∙ P(A | B) P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B) ... wenn A und B (stochastisch) unabhängig voneinander sind P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ... wenn A und B unvereinbar sind
Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B
P(A | B) = P( PA^ (∩B)^ B)
Satz von Bayes
P(A | B) = P(A) ∙ P^ (PB(B) |^ A)= P(A) ∙^ P(B^ |^ A) P(A) ∙ P(B | A) + P(A) ∙ P(B | A)
Erwartungswert μ einer diskreten Zufallsvariablen X
mit den Werten x 1 , x 2 , ... , xn
μ = E(X) = x 1 ∙ P(X = x 1 ) + x 2 ∙ P(X = x 2 ) + ... + xn ∙ P(X = xn) = (^) i ∑= 1
n xi ∙ P(X = x (^) i )
Varianz σ^2 einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x 1 , x 2 , ... , xn
σ 2 = V(X ) = (^) i ∑= 1
n (xi – μ)^2 ∙ P(X = x (^) i )
Standardabweichung σ
σ =
V(X)
Binomialverteilung
n ∈ ℕ{0}; k ∈ ℕ; p ∈ ℝ mit k ≤ n und 0 ≤ p ≤ 1
Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p
P(X = k) = (^) ( )
n k ∙^ p^
k (^) ∙ (1 – p)n – k E(X^ ) =^ μ^ =^ n^ ∙^ p V(X ) = σ² = n ∙ p ∙ (1 – p)
Normalverteilung
μ, σ ∈ ℝ mit σ > 0 f ... Dichtefunktion F ... Verteilungsfunktion φ ... Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ϕ ... Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
Normalverteilung N( μ; σ ²): Zufallsvariable X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ bzw. der Varianz σ ²
P(X ≤ x 1 ) = F(x 1 ) = ∫
x 1
–∞^ f(x)^ dx^ =^ ∫
x 1 –∞
1 σ ∙
2 ∙ π
∙ ℯ–^
(^12) · ( x^ – σ^ μ )^2 dx
Wahrscheinlichkeiten für σ-Umgebungen P( μ – σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0, P( μ – 2 ∙ σ ≤ X ≤ μ + 2 ∙ σ) ≈ 0, P( μ – 3 ∙ σ ≤ X ≤ μ + 3 ∙ σ) ≈ 0,
Standardnormalverteilung N(0; 1)
z = x^ – σ^ μ
ϕ(z) = P(Z ≤ z) = ∫
z –∞^ φ(x)^ dx^ =^
1 2 ∙ π
z –∞^ ℯ
ϕ(–z) = 1 – ϕ(z)
P(–z ≤ Z ≤ z) = 2 ∙ ϕ(z) – 1
P(–z ≤ Z ≤ z) = 90 % = 95 % = 99 %
z ≈ 1,645 ≈ 1,960 ≈ 2,
Zufallsstreubereich und Konfidenzintervall
μ, σ, α ∈ ℝ mit σ > 0 und 0 < α < 1 x ... Stichprobenmittelwert sn – 1 ... Standardabweichung einer Stichprobe n ... Stichprobenumfang z 1 – α 2 ... (^) ( 1 –^ α 2 )-Quantil der Standardnormalverteilung t (^) f; 1 – α 2 ... (^) ( 1 –^ α 2 )-Quantil der t-Verteilung mit f Freiheitsgraden
Zweiseitiger (1 – α)-Zufallsstreubereich für einen Einzelwert einer normalverteilten Zufallsvariablen
[μ^ –^ z^1 –^ α^2 ∙^ σ;^ μ^ +^ z^1 –^ α^2 ∙^ σ]
Zweiseitiger (1 – α)-Zufallsstreubereich für den Stichprobenmittelwert normalverteilter Werte
[μ^ –^ z^1 –^ α^2 ∙
^ σ n
; μ + z 1 – α 2 ∙^ σ^ n]
Zweiseitiges (1 – α)-Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen
σ bekannt: (^) [x – z 1 – α 2 ∙^ σ^ n
; x + z 1 – α 2 ∙^ σ^ n]
σ unbekannt: (^) [x – t (^) f; 1 – α 2 ∙
s n – 1 n
; x + t (^) f; 1 – α 2 ∙
s n – 1 n ]^
mit f = n – 1
Rentenrechnung
R ... Ratenhöhe n ... Anzahl der Raten i ... Zinssatz q = 1 + i ... Aufzinsungsfaktor
Voraussetzung: Rentenperiode = Zinsperiode
nachschüssig vorschüssig
Endwert E Enach =^ R^ ∙^ q^
n (^) – 1 q – 1 Evor^ =^ R^ ∙^
q n^ – 1 q – 1 ∙^ q Barwert B Bnach =^ R^ ∙^ q^
n (^) – 1 q – 1 ∙^
1 q n^ Bvor^ =^ R^ ∙^
q n^ – 1 q – 1 ∙^
1 q n^ –^1
Tilgungsplan
Zeit Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld 0 K 0 1 K 0 ∙ i T 1 A 1 = K 0 ∙ i + T 1 K 1 = K 0 – T 1 ... ... ... ... ...
22 Investitionsrechnung
Et ... Einnahmen im Jahr t A (^) t ... Ausgaben im Jahr t A 0 ... Anschaffungskosten Rt ... Rückflüsse im Jahr t i ... kalkulatorischer Zinssatz (Jahreszinssatz) n ... Nutzungsdauer in Jahren iw ... Wiederveranlagungszinssatz (Jahreszinssatz) E ... Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse
R (^) t = Et – At
Kapitalwert C 0 Interner Zinssatz iintern
C 0 = (^) [
R 1 (1 + i) +^
R 2 (1 + i)^2 + ... +^
Rn (1 + i)n]^ –^ A^0 [^
R 1 (1 + iintern ) +^
R 2 (1 + iintern )^2 + ... +^
Rn (1 + iintern )n]^ –^ A^0 = 0
Modifizierter interner Zinssatz imod
A 0 ∙ (1 + imod )n^ = E mit E = R 1 ∙ (1 + iw )n^ –^1 + R 2 ∙ (1 + iw )n^ –^2 + … + Rn – 1 ∙ (1 + iw ) + Rn
23 Kosten- und Preistheorie
x ... produzierte, angebotene, nachgefragte bzw. verkaufte Menge (x ≥ 0)
Kostenfunktion K K(x)
Fixkosten F K(0)
variable Kostenfunktion Kv Kv (x) = K(x) – F
Grenzkostenfunktion K′ K′(x)
Stückkostenfunktion (Durchschnittskostenfunktion) K K(x) = K x(x)
variable Stückkostenfunktion (variable Durchschnittskostenfunktion) Kv
Kv (x) = Kv x^ (x)
Betriebsoptimum xopt K′(xopt ) = 0 (Minimumstelle von K)
langfristige Preisuntergrenze (kostendeckender Preis) K(xopt )
Betriebsminimum xmin Kv′(xmin ) = 0 (Minimumstelle von Kv )
kurzfristige Preisuntergrenze (^) Kv (xmin )
Kostenkehre K″(x) = 0
progressiver Kostenverlauf (^) K″(x) > 0
degressiver Kostenverlauf K″(x) < 0
Preis p
Preisfunktion der Nachfrage (Preis-Absatz-Funktion) pN pN (x)
Preisfunktion des Angebots pA pA (x)
Marktgleichgewicht pA (x) = pN (x)
Höchstpreis pN (0)
Sättigungsmenge pN (x) = 0
Erlösfunktion (Umsatzfunktion) E E(x) = p ∙ x bzw. E(x) = pN (x) ∙ x
Grenzerlösfunktion E′ E′(x)
Gewinnfunktion G G(x) = E(x) – K(x)
Grenzgewinnfunktion G′ G′(x) untere Gewinngrenze (Break-even-Point, Gewinnschwelle) xu obere Gewinngrenze xo^ G(xu^ ) =^ G(xo^ ) = 0 mit^ xu^ ≤^ xo
Gewinnbereich (Gewinnzone) [xu ; xo ]
Cournot’scher Punkt C C = (x (^) C | pN (x (^) C)) mit G′(x (^) C) = 0
24 Bewegungsvorgänge
t ... Zeit
Weg-Zeit-Funktion s s(t) Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v v(t) = s′(t) Beschleunigung-Zeit-Funktion a a(t) = v′(t) = s″(t)
