Arbeitsblatt Geometrie mit Lösungen: Prismen, Übungen von Geometrie

Nur auf Docsity: Lade Arbeitsblatt Geometrie mit Lösungen: Prismen und mehr Übungen als PDF für Geometrie herunter! Seite 1 Prismen Station 1 1. Bestimme die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen. Schreibe zu jedem Bild, welche Grundfläche das Prisma hat. Körper Grundfläche Name des Prismas Anzahl der Ecken | Kanten | Flächen A B C D 2. Hat die Grundfläche eines Prismas n Ecken, so besitzt das Prisma ______ Ecken. Die Anzahl der Kanten ist __________. Die Anzahl der Flächen beträgt ______, da zu den Mantelflächen noch eine Deckfläche und eine Grundfläche gezählt werden müssen. Ein Prisma wird begrenzt von der Grundfläche, der Deckfläche und dem Mantel. Grundfläche und Deckfläche sind deckungsgleiche (kongruente) Dreiecke, Vier- ecke oder Vielecke. Die Mantelfläche besteht aus Rechtecken. Oberfläche Die Oberfläche O ist die Summe aus dem Doppelten der Grundfläche G und der Mantelfläche M O = 2 · G + M Die Mantelfläche M ist das Produkt aus dem Umfang u der Grundfläche mit der Körperhöhe h M = u · h Volumen Das Volumen eines Prismas lässt sich als Produkt aus Grundfläche und Körperhöhe berechnen V = G · h Bemerkung: Prismen werden nach der Eckenzahl ihrer Grundfläche benannt, z.B. Dreiecks- prisma, Vierecksprisma usw. Vierecksprismen können genauer nach der Art des Vierecks benannt werden: Rautenprisma, Trapezprisma usw. Quader und Würfel sind besondere Prismen. Seite 2 Prismen Station 2 1. Welche der folgenden Körper sind Prismen? Kreuze an. 2. Die Bilder (1) und (2) stellen die Netze zweier Prismen im Maßstab 1:2 dar. a) Berechne die Oberflächeninhalte beider Prismen. Entnimm die benötigten Maße den Bildern und schreibe die Maße an die Figuren. Runde auf cm2. b) Berechne die Volumina der Prismen. Runde hier entsprechend sinnvoll. 3. Ergänze die Lückenwörter Ein Prisma ist ein _____________________ __________________________. Es hat eine _______________________ und eine _______________________. Dabei handelt es sich um _____________________ (z.B. _________________) Diese sind __________________________ und zueinander _____________________. Die _____________________ sind in jedem Fall _____________________, diese stehen _____________________ zu _____________________ und _____________________. Seite 5 Prismen Station 5 1. Ein Prisma hat als Grundfläche ein Parallelogramm mit a = 12,5 cm, b = 8,5 cm und der Höhe ha = 6 cm. Die Höhe des Prismas ist h = 12 cm. Berechne das Volumen und die Oberfläche 2. Ein Trapez hat eine Grundlinie von 9,4 cm, die Seite c misst 3,4 cm, die Höhe ist 5,6 cm lang und die Körperhöhe beträgt 6,74 cm. Wie groß ist sein Volumen? 3. Zeichne das Netz eines Prismas mit einem regelmäßigen Sechseck als Grundfläche! Kantenlänge: a = 2,5 cm Körperhöhe: h = 3 cm 4. Bestimme die fehlende Größe a = 3 b) a = ? b = 4 b = 5 c = 2 c = 3 d = 1 d = 2 V = ? V = 45 cm3 5. Berechne die Oberfläche eines Prismas mit einem gleichschenkeligen Dreieck als Grundfläche und der Körperhöhe h! a = 13 cm; c = 10 cm; hc = 12 cm; h = 8,2 cm 6. Die Schaufel eines Radladers hat die rechts dargestellte Form. Sie ist innen 1,5 m breit. Mit dem Radlader sollen 45 m3 Sand abtransportiert werden. Wie oft muss der Radlader mindestens fahren? Seite 6 Prismen Station 1 Lösungen 1. Bestimme die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen. Schreibe zu jedem Bild, welche Grundfläche das Prisma hat. Körper Grundfläche Name des Prismas Anzahl der Ecken | Kanten | Flächen A Dreieck Dreiecksprisma 6 9 5 B Fünfeck Fünfeckprisma 10 15 7 C Viereck Viereckprisma 8 12 6 D Sechseck Sechseckprisma 12 18 8 2. Hat die Grundfläche eines Prismas n Ecken, so besitzt das Prisma 2n Ecken. Die Anzahl der Kanten ist 3n. Die Anzahl der Flächen beträgt n + 2, da zu den Mantelflächen noch eine Deckfläche und eine Grundfläche gezählt werden müssen. Prismen Station 2 Lösungen 1. Welche der folgenden Körper sind Prismen? Kreuze an. 2. Die Bilder (1) und (2) stellen die Netze zweier Prismen im Maßstab 1:2 dar. Seite 7 a) Berechne die Oberflächeninhalte beider Prismen. Entnimm die benötigten Maße den Bildern und schreibe die Maße an die Figuren. Runde auf cm2. (1) A1 = (5 cm + 3 cm + 4 cm) · 4 cm + 2 · 3 cm ∙ 2 cm = 12 cm ∙ 4 cm + 12 cm2 = 48 cm2 + 12 cm2 = 60 cm2; A1 ≈ 60 cm2; (2) A2 = 2,5 cm ∙ 4 cm + 6 cm ∙ 2,5 cm + 6,3 cm ∙ 2,5 cm + 2 ∙ ( 4+2 2 cm ∙ 6 cm ) + 2,5 cm ∙ 2 cm = 10 cm2 + 15 cm2 + 15,75 cm2 + 36 cm2 + 5 cm2 = 81,75 cm2 A2 ≈ 82 cm2 b) Berechne die Volumina der Prismen. Runde hier entsprechend sinnvoll. (1) Grundfläche ist das Dreieck mit der Fläche: (4 cm ∙ 3 cm): 2 = 6 cm2 Die Höhe beträgt hier 4 cm: V = 6 cm2 · 4 cm = 24 cm3. (2) die Grundfläche ist hier das Trapez mit der Fläche: ( 4+2 2 cm ∙ 6 cm)= 18 cm2 Die Höhe beträgt hier 2,5 cm. V = 18 cm2 · 2,5 cm = 45 cm3. 3. Ergänze die Lückenwörter Ein Prisma ist ein geometrischer Körper. Es hat eine Grundfläche und eine Deckfläche. Dabei handelt es sich um Vielecke (z.B. Vierecke) Diese sind deckungsgleich und zueinander parallel. Die Seitenflächen sind in jedem Fall Rechtecke, diese stehen senkrecht zu Grundfläche und Deckfläche. Prismen Station 3 Lösungen 1. Berechne die Oberfläche eines Prismas mit einem rechtwinkeligen Dreieck als Grund- fläche und der Körperhöhe h! a = 9 cm b = 12 cm c = 15 cm h = 4 cm (Da der rechte Winkel des Dreiecks an C liegt, kann man a als Grundlinie betrachten und b als Höhe.) O = 2 ∙ G + M O = 2 ∙ ( a ∙ b 2 ) + (a + b + c) ∙ h O = a ∙ b + (a + b + c) ∙ h O = 9 ∙ 12 + (9 + 12 + 15) ∙ 4 O = 108 cm2 + 36 cm ∙ 4 cm = 108 cm2 + 144 cm2 = 252 cm2 2. Berechne die Oberfläche eines Prismas mit einem Trapez als Grundfläche und der Körperhöhe h! a = 17 cm; b = 15 cm; c = 3 cm; d = 13 cm; ha = 12 cm; h = 8 cm O = 2  G + M = 2 · (a + c)∙ ha 2 + (a + b + c + d) ∙ h = (a + c) ∙ ha + (a + b + c + d) ∙ h = (17 + 3) ∙ 12 + (17 + 15 + 3 + 13) ∙ 8 = 240 cm2 + 48 cm ∙ 8 cm = 240 cm2 + 384 cm2 = 624 cm2 Seite 10 U = 2 ∙ a + 2 ∙ b = 2 ·12,5 cm + 2 · 8,5 cm = 42 cm M = U · h = 42 cm · 12 cm = 504 cm² O = 2 · G + M = 2 · 75 cm² + 504 cm² = 654 cm² 2. Ein Trapez hat eine Grundlinie von 9,4 cm, die Seite c misst 3,4 cm, die Höhe ist 5,6 cm lang und die Körperhöhe beträgt 6,74 cm. Wie groß ist sein Volumen? V = G ·hk V = (a + c) 2 ∙ h ∙ hk V = (9,4 + 3,4) 2 𝑐𝑚 ∙ 5,6 𝑐𝑚 ∙ 6,74 cm = 6,4 cm ∙ 37,744cm2 = 241,5616 cm3 3. Zeichne das Netz eines Prismas mit einem regelmäßigen Sechseck als Grundfläche! Kantenlänge: a = 2,5 cm Körperhöhe: h = 3 cm 4. Bestimme die fehlende Größe a = 3 b) a = 4 cm b = 4 b = 5 Seite 11 c = 2 c = 3 d = 1 d = 2 V = 16 cm3 V = 45 cm3 a) Rechnung: Die Grundfläche besteht aus einem Rechteck (mit den Kantenlängen b = 4 cm und d = 1 cm) und einem Dreieck (mit der Grundlinie b = 4 cm und der Höhe hb = a – d = 2 cm). Grundfläche des Prismas: G = 4 cm ∙ 1 cm + (4 cm ∙ 2 cm) 2 = 4 cm2 + 4 cm2 = 8 cm2 V = G ∙ h = (G ∙ c ) = 8 cm2 ∙ 2 cm = 16 cm3 b) Rechnung: V = (b ∙ d + b ∙ (a−d) 2 ) ∙ c 45 cm2 = (5 cm ∙ 2 cm + 5 cm ∙ (a−2 cm) 2 ) ∙ 3 nach a auflösen: 45 cm2 = (10 cm2 + 5acm−10cm2 2 ) ∙ 3 45 cm2 = 30 cm2 + 7,5 ∙ a cm – 15 cm2 45 – 30 + 15 = 7,5 a 30 = 7,5 a | : 7,5 4 = a ➔ a = 4 cm 5. Berechne die Oberfläche eines Prismas mit einem gleichschenkeligen Dreieck als Grundfläche und der Körperhöhe h! a = 13 cm; c = 10 cm; hc = 12 cm; h = 8,2 cm O = 2  G + M O = c  hc + (2  a + c)  h O = 10  12 + (2  13 + 10)  8,2 = 120 + 36 ∙ 8,2 = 120 + 295,2 = 415,2 cm2 6. Die Schaufel eines Radladers hat die rechts dargestellte Form. Sie ist innen 1,5 m breit. Mit dem Radlader sollen 45 m3 Sand abtransportiert werden. Wie oft muss der Radlader mindestens fahren? Die Grundfläche des Prismas besteht aus einem Trapez und einem Dreieck. ATrapez = (1,2 m + 1 m) : 2 · 0,6 m = 0,66 m2 ADreieck = 1 m · 0,2 m : 2 = 0,1 m2 AG = 0,76 m2 V = 0,76 m2 · 1,5 m = 1,14 m3 45 m3 : 1,14 m3 = 39,473… Antwort: Er muss mindestens 40-mal fahren.