Arbeitsblatt zu Mathematik: Wurzeln (mit Lösungen), Übungen von Mathematik

Nur auf Docsity: Lade Arbeitsblatt zu Mathematik: Wurzeln (mit Lösungen) und mehr Übungen als PDF für Mathematik herunter! Seite 1 Wurzeln Station 1 1. Bestimme die folgenden Wurzeln. Begründe dein Ergebnis. Gib diejenigen ganzen Zahlen an, zwischen denen die Wurzel liegt, falls sie irrational ist. a) 49 = _____ b) 9,4 = _____ c) 490000 = _____ d) 49,0 = _____ e) 49 121 = ______ f) 3 1000 = ______ 2. Berechne die folgenden Ausdrücke. Mache gegebenenfalls irrationale Nenner rational. Ziehe gegebenenfalls teilweise die Wurzeln. Benutze gegebenenfalls die unten stehende Tabelle. a) _______ 18 72 = b) 3 • 27 = _______ c) ______ 5 2 = d) 3 + 27 + 75 = _________ e) _________ 287 14 = + f) 3 • (1 - 3 ) + 2 • ( 6 + 10 ) = ___________ 3. a) Berechne die Zahl 18 mit Hilfe der untenstehenden Tabelle. b) Konstruiere die Zahl 18 auf einem Zahlenstrahl. Wähle 1 cm als Einheit. Hinweis: Konstruiere ein Quadrat mit der Seitenlänge 18 aus zwei geeigneten gleich großen Quadraten. Gib an, welchen Flächeninhalt und welche Seitenlänge die beiden Quadrate haben müssen. Begründe das Verfahren. x 2 3 5 x 1,41 1,73 2,24 4. Ziehe teilweise die Wurzel, so dass der verbleibende Radikand eine möglichst kleine natürliche Zahl wird. a) √48 = _____ b) √125 = ______ c) √4050 = ______ 5. Bestimme die Wurzeln. Falls die Wurzel irrational ist, schreibe in i. a) √144 = _______ b) √4,41 = _______ c) √265 = _______ d) √256 = _______ e) √0,1 = _______ f) √3600 = _______ g) √2,89 = _______ h) √0,04 = _______ i) √ 1 25 = _______ j) √ 169 196 = _______ k) √ 1024 4096 = _______ l) √ 9 18 = _______ Seite 2 Wurzeln Station 2 1. Vereinfache soweit wie möglich. a) √5 ∙ √20 = _________ b) √27 √3 = ________ c) (5 − √3) ∙ (5 − √3) = _______ d) √2 ∙ (√8 + √18) = _________ e) √9 + 16 =_______ f) 9 ∙ √7 ∙ √112 = ____________ 2. Berechne a) √3,24 = ______ b) √0,49 = _____ c) √0,81 = _______ d) √0,0144 = ______ e) √1,69 = _____ f) √0,0169 = _______ g) √900 = ______ h) √10000 = _____ i) √28900 = _______ j) √ 16 81 = ______ k) √ 64 9 = _____ l) √ 400 361 = _______ 3. Ziehe teilweise die Wurzel! Der Radikand soll möglichst klein sein! a) √9𝑎 = _______ b) √3𝑎² = _______ c) √32𝑥² = _______ d) √4𝑎4𝑏2 = _______ e) √27𝑎3𝑏 = _______ f) √80𝑥2𝑦3 = _______ 4. Fasse zusammen und vereinfache so weit wie möglich. Unter den Wurzeln sollen die ganzen Zahlen so klein wie möglich sein. a) √ 5 6𝑥 ∙ √30𝑥3 = ____________ b) √𝑎𝑏²: √𝑎2𝑏4 = _____________ c) 7𝑘 ∙ √3 − 2𝑘 ∙ √2 − 5𝑘 ∙ √3 + 𝑘 ∙ √8 = _______________ d) √50 − √2 = ___________ e) −√𝑐 + 6 ∙ √𝑐 = _________________ 5. Löse die Klammern auf und vereinfache so weit wie möglich. a) (3√7 + √11) (3√7 − √11) = b) (√2 − √3) (√8 + √3) = c) (5√𝑎 − 8√𝑏) (3√𝑏 + 5√𝑎) = d) √𝑐𝑑² ∙ (√𝑐 + √𝑑) + (√𝑐 − √𝑑) ∙ √𝑐²𝑑 = 6. Zeige durch Rechnung, dass √14 − 8√3 = √8 − √6 Seite 5 Wurzeln Station 5 1. Berechne a) √5 ∙ (5√5 − √45) = _____________________ b) (√14 ∙ √35) ∶ 2 √5 = ______________________ c) (√0,0144 + 3) ∶ √0,09 = ___________________ 2. Ziehe teilweise die Wurzel a) √48 = ________ b) √432 = ________ c) √405 = ________ d) √588 = ________ 3. Vereinfache zunächst den Term und gib das Ergebnis eventuell als Näherungswert an. a) 9 ∙ √7 − √112 = 9 ∙ √7 − ______ ∙ √7 = (9 − ______) ∙ √7 = ______ ∙ √7 =_______ b) 9 ∙ √7 ∙ √112 = __________ = __________ = ____________ c) 9 ∙ √7 + √112 = __________ = __________ = __________ = __________ d) 9∙√7 √112 = = = ________ 4. Berechne für folgende Zahlen die Wurzel. Unterstreiche die Ergebnisse, für die nur ein gerundeter Näherungswert angegeben ist. a) x = 90 √x = _________ b) x = 900 √x = _________ c) x = 9000 √x = _________ d) x = 0,64 √x = _________ e) x = 0,064 √x = _________ f) x = 0,0064 √x = _________ g) x = 210,25 √x = _________ h) x = 2102,2 √x = _________ i) x = 21025 √x = _________ j) x = 0,16 √x = _________ k) x = 0,09 √x = _________ l) x = 0,04 √x = _________ 5. Berechne für folgende Zahlen die Wurzel. Kontrolliere dein Ergebnis durch Quadrieren a) x = 12² √x = _____ b) x = 2 · 12² √x = _____ c) x = 4 · 12² √x = _____ d) x = 8 · 12² √x = _____ e) x = (16 · 121) √x = _____ f) x = (16 + 121) √x = ___ g) x = ( 1 4 ∙ 100) √x = _____ h) x = 1 4 + 100 √x = _____ 6. Berechne den Term möglichst im Kopf. Entscheide, ob du ein Gleichheitszeichen oder ein Ungefährzeichen einsetzen musst. a) √2 ∙ √8 _ ____ b) √2 + √8 _ ____ c) 2 ∙ √2 _ ____ d) √75 √3 _ ____ e) 5 − √25 _ ____ f) 3 + √8 _ ____ Seite 6 Wurzeln Lösungen Station 1 1. Bestimme die folgenden Wurzeln. Begründe dein Ergebnis. Gib diejenigen ganzen Zahlen an, zwischen denen die Wurzel liegt, falls sie irrational ist. a) √49 = (±)7, da 72 = 49, bzw. (−7)2 = 49 b) 2 < √4,9 < 3, da 22 = 4 und 32 = 9 c) √490000 = √49 ∙ 10000 = (±)7 ∙ 100 = (±)700 d) √0,49 = √0,7 ∙ 0,7 = (±)0,7 e) √ 121 49 = √121 √49 = (±) 11 7 f) √1000 3 = 10, da 103 = 1000 2. Berechne die folgenden Ausdrücke. Mache gegebenenfalls irrationale Nenner rational. Ziehe gegebenenfalls teilweise die Wurzeln. Benutze gegebenenfalls die unten stehende Tabelle. a) √72 √18 = √ 72 18 = √4 = ±2 b) √3 ∙ √27 = √3 ∙ 27 = √81 = ±9 c) 2 √5 = 2∙√5 √5 ∙ √5 = 2 5 √5 = 0,4 ∙ 2,24 = 0,896 d) √3 + √27 + √75 = √3 + √3 ∙ 9 + √3 ∙ 25 = √3 + 3 ∙ √3 + 5 ∙ √3 = 9 ∙ √3 = 9 ∙ 1,73 = 15,57 e) √14 √7+√28 = √2 ∙ √7 √7+√4 ∙ 7 = √2 ∙ √7 √7+2√7 = √2 ∙ √7 3√7 = √2 3 = 1,41 : 3 = 0,47 f) √3 • (1 - √3) + √2 • (√6 + √10) = √3 • 1 - √3 • √3 + √2 • √6 + √2 • √10 = √3 - 3 + √12 + √20 = √3 - 3 + √3 ∙ 4 + √4 ∙ 5 = √3 - 3 + 2√3 + 2√5 = 3√3 - 3 + √5 2 = 3 • 1,73 – 3 + 2 • 2,24 = 5,19 – 3 + 4,48 = 6,67 3. a) Berechne die Zahl 18 mit Hilfe der untenstehenden Tabelle. 18 = √2 ∙ 9 = 3√2 = 3 • 1,41 = 4,23 b) Konstruiere die Zahl 18 auf einem Zahlenstrahl. Wähle 1 cm als Einheit. Hinweis: Konstruiere ein Quadrat mit der Seitenlänge 18 aus zwei geeigneten gleich großen Quadraten. Gib an, welchen Flächeninhalt und welche Seitenlänge die beiden Quadrate haben müssen. Begründe das Verfahren. x 2 3 5 x 1,41 1,73 2,24 b) x = 18 A = x2 = 18 Begründung: Muss zwischen 4 und 5 liegen, weil 42 = 16 und 52 = 25 ist. Seite 7 4. Ziehe teilweise die Wurzel, so dass der verbleibende Radikand eine möglichst kleine natürliche Zahl wird. a) √48 = √4 ∙ 4 ∙ 3 = 2 ∙ 2√3 = 4√3 b) √125 = √25 ∙ 3 = 5√3 c) √4050 = √81 ∙ 25 ∙ 2 = 9 ∙ 5√2 = 45√2 5. Bestimme die Wurzeln. Falls die Wurzel irrational ist, schreibe in i. a) √144 = 12 b) √4,41 = 2,1 c) √265 = 𝑖 d) √256 = 16 e) √0,1 = 𝑖 f) √3600 = 60 g) √2,89 = 1,7 h) √0,04 = 0,2 i) √ 1 25 = 1 5 j) √ 169 196 = 13 14 k) √ 1024 4096 = √ 1 4 = 1 2 l) √ 9 18 = 𝑖 Seite 10 Wurzeln Lösungen Station 4 1. Fasse zusammen und vereinfache soweit wie möglich! a) √6xy ∙ √24xy = √144x²y² = 12xy b) (√a + 5) 2 = √a + 5 ∙ √a + 5 = a + 5 2. Vereinfache folgende Produkte: a) √3 ∙ √12 = √3 ∙ 12 = √36 = 6 b) √2x ∙ √8y = √2x ∙ 8y = √16xy = 4√xy c) √a ∙ √a3 = √a4 = a² d) (3 − √6) ∙ (2 + √6) = 6 − 2√6 + 3 √6 − 6 = √6 e) √c3 ∙ √3c = c² ∙ √3 f) (3 + √6) ∙ (3 − √6) = 9 − 6 = 3 3. Vereinfache durch Ausklammern oder Ausmultiplizieren a) 2 ∙ √7 + 5 ∙ √7 = (2 + 5) ∙ √7 = 7 ∙ √7 b) √3 ∙ √75 − √5 ∙ √125 = √3 ∙ 75 − √5 ∙ 125 = √225 − √625 = 15 − 25 = −10 c) √9 ∙ √15 − 2 ∙ √15 = 3√15 − 2√15 = √15 d) √2 ∙ (√18 − √50) = √2 ∙ 18 − √2 ∙ 50 = 6 − 10 = −4 4. Faktorisiere die Wurzel a) √54 = √9 ∙ 6 = 3 ∙ √6 b) √96 = √16 ∙ 6 = 4 ∙ √6 c) √80 = √9 ∙ 5 = 3 ∙ √5 d) √75 + √27 = √3 ∙ 25 + √9 ∙ 3 = 5√3 + 3√3 = 8√3 e) √54 + √24 = √9 · 6 + √4 · 6 = 3√6 + 2√6 = 5√6 f) √150 + √96 = √25 · 6 + √16 · 6 = 5√6 + 4√6 = 9√6 g) √175 + √28 − √112 = √25 · 7 + √4 · 7 − √16 · 7 = 5√7 + 2√7 − 4√7 = 3√7 5. Berechne a) √0,0049 = 0,07 b) √8a ∙ √32a = √8a ∙ 32a = √256a² = 16a c) √2 ∙ √6 ∙ √12 = √2 ∙ 6 ∙ 12 = √144 = 12 d) √x ∙ √x ∙ √x ∙ √x = √x4 = x2 e) √2x ∙ 2x = √4x² = 2x f) √ 625 900 = √625 √900 = 25 30 = 5 6 6. Kreise diejenigen Wurzeln ein, die irrational sind √7 √8 √49 √65 √121 √100 √101 7. Schreibe unter einer Wurzel a) 2 ∙ √5 = √4 · 5 = √20 b) 7 ∙ √10 = √49 · 10 = √490 c) 5 ∙ √7 = √25 · 7 = √175 d) 10 ∙ √15 = √100 · 15 = √1500 8. Vereinfache durch Ausmultiplizieren a) √5 ∙ (√20 + √45) = √100 + √225 = 10 + 15 = 25 b) √2 ∙ (√32 − √72) = √64 − √144 = 8 − 12 = −4 c) √7 ∙ (√7 + √28) = √49 + √196 = 7 + 14 = 21 d) √3 ∙ (√12 + √48 − √108) = √36 + √144 − √324 = 6 + 12 − 18 = 0 e) (√44 − √11) ∙ √11 = √484 − √121 = 22 − 11 = 11 f) √10 ∙ (√5 − √2) = √50 + √20 = √2 · 25 + √4 · 5 = 5 ∙ √2 + 2 ∙ √5 Seite 11 Wurzeln Lösungen Station 5 1. Berechne a) √5 ∙ (5√5 − √45) = √5 ∙ (5√5 − √9 ∙ 5) = √5 ∙ (5√5 − 3√5) = √5 ∙ 2√5 = 2 · 5 = 10 b) (√14 ∙ √35) ∶ 2 √5 = √14 ∙ 35 ∙ √5 2 = √2 ∙ 7 ∙ 5 ∙ 7 ∙ √5 2 = 7√2 ∙ 5 ∙ √5 2 = 7 2 ∙ 5 ∙ √2 = 35 2 √2 c) (√0,0144 + 3) ∶ √0,09 = (0,12 + 3) ∶ 0,3 = 3,12 ∶ 0,3 = 31,2 ∶ 3 = 10,4 2. Ziehe teilweise die Wurzel a) √48 = √16 · 3 = 4 ∙ √3 b) √432 = √144 · 3 = 12 ∙ √3 c) √405 = √81 · 5 = 9 ∙ √5 d) √588 = √196 · 3 = 14 ∙ √3 3. Vereinfache zunächst den Term und gib das Ergebnis eventuell als Näherungswert an. a) 9 ∙ √7 − √112 = 9 ∙ √7 − √16 ∙ √7 = (9 − 4) ∙ √7 = 5 ∙ √7 = 13,23 b) 9 ∙ √7 ∙ √112 = 9 ∙ √7 ∙ √16 ∙ √7 = 9 ∙ 4 ∙ 7 = 252 c) 9 ∙ √7 + √112 = 9 ∙ √7 + √16 ∙ √7 = (9 + 4) ∙ √7 = 13 ∙ √7 = 34,39 d) 9∙√7 √112 = 9∙√7 √16∙√7 = 9 4 = 2,25 4. Berechne für folgende Zahlen die Wurzel. Unterstreiche die Ergebnisse, für die nur ein gerundeter Näherungswert angegeben ist. a) x = 90 √x = 9,4868.. b) x = 900 √x = 30 c) x = 9000 √x = 94,868.. d) x = 0,64 √x = 0,8 e) x = 0,064 √x = 0,25298.. f) x = 0,0064 √x = 0,08 g) x = 210,25 √x = 14,5 h) x = 2102,2 √x = 45,8975.. i) x = 21025 √x = 145 j) x = 0,16 √x = 0,4 k) x = 0,09 √x = 0,3 l) x = 0,04 √x = 0,2 5. Berechne für folgende Zahlen die Wurzel. Kontrolliere dein Ergebnis durch Quadrieren. a) x = 122 √x = 12 b) x = 2 · 122 √x = √2 · 144 = 12 · √2 = 16,97 … c) x = 4 · 122 √x = √4 · 144 = 12 · 2 = 24 d) x = 8 · 122 √x = √8 · 144 = 12 · 2 · √2 = 33,94. .. e) x = (16 · 121) √x = √16 · 121 = √16 · √121 = 4 · 11 = 44 f) x = (16 + 121) √x = √16 + 121 = √137 = 11,704.. g) x = ( 1 4 ∙ 100) √x = √25 = 5 h) x = 1 4 + 100 √x = √100,25 = 10,012 … 6. Berechne den Term möglichst im Kopf. Entscheide, ob du ein Gleichheitszeichen oder ein Ungefährzeichen einsetzen musst. a) √2 ∙ √8 = √16 = 4 b) √2 + √8 = 1,41. . +2,82 ≈ 4,23 c) 2 ∙ √2 = 2 · 1,41 ≈ 2,83 d) √75 √3 = √3·25 √3 = 5· √3 √3 = 5 e) 5 − √25 = 5 − 5 = 0 f) 3 + √8 = 3 + 2,82 ≈ 5,82