Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. Viola Weiß
Sommersemester 2020
Mathematik III für MB und ME
Zusätzliche Aufgaben Vektoranalysis
1. Untersuchen Sie, ob die folgenden Verktorfelder quellen- oder wirbelfrei sind. Bestimmen
Sie ggf. die zugehörige Potentialfunktion:
~
F(x, y, z) =
3y·exy +y2
3x·exy + 2xy
3
~v(x, y, z ) =
y·z3
x2·z2
y·x3
.
2. Zeigen Sie, daß das Gradientenfeld des Skalarfeldes Φ(x, y, z) = 1
r=1
√x2+y2+z2quellen-
frei ist.
3. Bestimmen Sie den Wert des Kurvenintegrals im Potentialfeld ~
F(x, y, z) =
2x+z
2y−z2
x−2yz
entlang des direkten Weges von P1= (1,−1,0) nach P2= (0,2,4).
4. Ermitteln Sie für das Vektorfeld ~
F(x, y, z) =
sin(πx)
y2
cos(πz)
das Kurvenintegral entlang
der Kurve C, die als Schnitt der Flächen y=x2und z=xentsteht vom Punkt P1=
(0,0,0) zum Punkt P2= (2,4,2).
5. Gegeben seien die Mantelfläche des Kreiszylinders x2+y2= 4 mit Grundfläche z= 1 und
Deckfläche z= 6, sowie das Vektorfeld ~
F(x, y, z) =
x
y
(x+y)·z
.
(a) Berechnen Sie den Fluß des Vektorfeldes ~
Fdurch Grund- und durch Deckfläche.
(b) Berechnen Sie den Fluß des Vektorfeldes ~
Fdurch die Mantelfläche des Zylinders.
(c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Integralsatzes von Gauss den Fluß von ~
Fdurch die
gesamte Oberfläche des Kreiszylinders.
6. Ermitteln Sie unter Verwendung des Integralsatzes von Gauß das Oberflächenintegral für
die Oberfläche des Einheitswürfels mit Eckpunkt in (0,0,0) im 1. Oktanten (x, y, z ≥0)
im Vektorfeld ~
F=
x
y
xyz
. (Siehe Vorlesung für die direkte Berechnung.)
7. Berechnen Sie mit dem Integralsatz von Stokes für das Vektorfeld ~
F=
−1
1
2xz2
x
den
Fluß von rot ~
Fdurch das Flächenstück F, welches gebildet wird von x2+y2+z2= 4 , z ≥
√3.
1
