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Prof. T. Esslinger Dr. T. Donner Dr. F. Brennecke
Ubungen zur Physik 2 – L¨¨ osungen zu Blatt 6∗
(17. April 2013)
I. MAGNETSPULEN
- Die beiden Spulen erzeugen jeweils ein Magnetfeld analog zu einem Stabmagneten. Da der Strom gegensinnig fliesst, sind die Magnetfelder der Spulen entgegengesetzt orientiert. Aus der Analogie zu Stabmagneten folgt, dass sich ”S¨udpol” und ”S¨udpol” der Spulen gegen¨uberliegen – somit stossen sich die Spulen ab.
- Der Betrag des magnetischen Moments der Spule B betr¨agt
μ = N IB A = N IB πR^2. (1)
Das magnetische Moment ~μ zeigt in Richtung der z-Achse (rechte-Hand-Regel).
- Das Stromelement dl~ steht stets senkrecht auf dem Vektor ~r und aus Symmetriegr¨unden hat das Magnetfeld auf der Symmetrieachse nur eine Komponente in Richtung der Symmetrieachse. Der Betrag von ~r ist r =
z^2 + R^2.
0 z
dl
R
r
θ
Somit kann man schreiben
dBz = −
μ 0 4 π
N IAdl r^2
sin θ = −
μ 0 4 π
N IAdl z^2 + R^2
R
z^2 + R^2
und es ergibt sich
Bz = −
μ 0 4 π
∫ (^2) πR
0
N IAR
(z^2 + R^2 )^3 /^2
dl = −
μ 0 2
N IAR^2
(z^2 + R^2 )^3 /^2
- Spule B hat das magnetische Moment μ (siehe Aufgabenteil 2). Ihre potentielle Energie im Magnetfeld von Spule A betr¨agt also
Epot = −~μ B~ = μ|Bz | (4)
=
μ 0 2
π(N R^2 )^2 IAIB (z^2 + R^2 )^3 /^2
∗Aufgaben und L¨osungen sind auch erh¨altlich unter www.quantumoptics.ethz.ch → Lectures
und somit ergibt sich die gesuchte Kraft F zu
F = −
dEpot dz
|z=d (6)
3 μ 0 2
π(N R^2 )^2 IAIB d (d^2 + R^2 )^5 /^2
II. HALL-EFFEKT
- Die Elektronen welche sich mit der Geschwindigkeit ~v = −vd ˆex bewegen, erfahren eine Lorentzkraft F~L = −e~v × B~ = evdBeˆz (I bezeichnet die technische (oder positive) Stromrichtung in der Aufgabenskizze.). Dadurch entsteht ein elektrisches Feld E~ = U/z 1 ˆez entlang der z-Richtung welches die zus¨atzliche elektrische Kraft F^ ~E = q E~ = −eU/z 1 ˆez auf die Elektronen aus¨ubt. Im Kr¨afte-Gleichgewicht F~L + F~E = 0 ergibt sich die Hall-Spannung UH zu
UH = vdBz 1. (8)
Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen h¨angt mit der Stromst¨arke I, dem Querschnitt A = y 1 z 1 des Leiters und der Elektronendichte n zusammen: I = nevdA. Damit erhalten wir folgenden Ausdruck f¨ur die Hall-Spannung
UH =
ne
IB
y 1
Eine bemerkensweise Eigenschaft des Hall-Effekts besteht darin, dass das Vorzeichen der Hallspannung Auskunft ¨uber das Vorzeichen der Ladungstr¨ager gibt. Dies kann bei einigen Halbleitern beobachtet werden in denen positive Ladungstr¨ager (sogenannte ”L¨ocher”) den Stromfluss bewirken.
- Die Driftgeschwindigkeit betr¨agt vd = (^) nqAI = (^) neyI 1 z 1 = 4.7 mm/s.
- Die Hall-Spannung betr¨agt UH = (^) neyIB 1 = 53 μV.
- Wir setzen die Fliessgeschwindigkeit des Blutes als Driftgeschwindigkeit der Ladungstr¨ager an. Damit entsteht eine Potenzialdifferenz von 1 mV.
III. MAGNETISCHE FLASCHE (4 PUNKTE)
- Entlang der Richtung des Magnetfeldes wirkt keine Kraft auf das Teilchen. Es handelt sich also um eine gleichf¨ormige Bewegung mit Geschwindigkeit vz. Transversal zur Magnetfeldrichtung wirkt die Lorentzkraft. Die Tangentialgeschwindigkeit des Teilchens betr¨agt v⊥ =
v^2 x + v^2 y. Durch Gleichsetzen der Lorentzkraft FL = qv⊥B und der Zentripetalkraft FZ = mv ⊥^2 /r ergibt sich der Radius der Kreisbahn r = mv qB⊥ und die Umlaufperiode T = (^2) vπr⊥ = (^2) qBπm. Im Fall vz 6 = 0 bewegt sich das Teilchen damit auf einer spiralf¨ormigen Bahn.
- Die Gesamtenergie ist die kinetische Energie der Bewegung entlang der z-Richtung plus die kinetische Energie der Kreisbewegung:
E = Ez + E⊥ =
m 2
v^2 z +
m 2
v^2 ⊥ (10)
Das magnetische Moment betr¨agt μ = I · A, wobei I = q/T der Kreisstrom, T die Umlaufperiode und A = πr^2 die eingeschlossene Fl¨ache ist. Somit ergibt sich μ = r
(^2) q (^2) B 2 m.^ Verwendet man den obigen Ausdruck von^ r^ so ergibt sich die einfache Formel
μ =
mv^2 ⊥ 2 B
E⊥
B
und somit ein praktischer Ausdruck f¨ur die Gesamtenergie:
E =
m 2
v^2 z + μB (12)
