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Institut f¨ur Theoretische Physik Prof. Dr. Joachim Krug der Universit¨at zu K¨oln — WS 2017/2018 Alexander Klug
Theoretische Physik in 2 Semestern I
2. ¨Ubung
http://www.thp.uni-koeln.de/~klug/ws1718/
Abgabe: Dienstag, 24. Oktober 2017 bis 10:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
9. Freier Fall mit Luftwiderstand 4+7+4=15 Punkte
Wir betrachten in dieser Aufgabe den freien Fall eines K¨orpers der Masse m. Es wirkt die Gravitation F~G = −mg ~ez , aber auch der Luftwiderstand wird diesmal explizit ber¨ucksichtigt. Die Kraft F~LR, welche durch den Luftwiderstand auf den K¨orper ausge¨ubt wird, ist in guter N¨aherung proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit, also | F~LR| = α v^2 , wobei α > 0 von der Aerodynamik des K¨orpers abh¨angt.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung f¨ur den K¨orper unter Ber¨ucksichtigung des Luftwider- standes auf. Welche maximale Geschwindigkeit v∞ kann der K¨orper bei sehr großer Fallh¨ohe erreichen? Hinweis: Sie m¨ussen beim freien Fall nur die z-Koordinate ber¨ucksichtigen.
b) Indem Sie die Geschwindigkeit v = ˙z einf¨uhren, k¨onnen Sie die Bewegungsgleichung aus a) umformulieren, sodass Sie die Differentialgleichung erster Ordnung ˙v = −g + (^) mα v^2 erhalten. L¨osen Sie diese f¨ur die Startbedingung v(t = 0) = 0. Hinweis: Eine Stammfunktion von 1/(1 − x^2 ) lautet tanh−^1 (x). Die Funktion tanh−^1 (x) ist der Areatangens Hyperbolicus, die Umkehrfunktion zum Tangens Hyperbolicus
tanh(x) =
ex^ − e−x ex^ + e−x^
Das Ergebnis kann durch Letzteren und v∞ sehr elegant ausgedr¨uckt werden.
c) Eine urbane Legende besagt, dass ein Penny (Gewicht ca. 2,5 Gramm, α ≈ 10 −^4 kg/m), der von der obersten Etage des Empire State Buildings (ca. 380 m) geworfen wird, potentiell t¨odlich ist. Sch¨atzen Sie ab, ob dies wahr sein kann. Wie s¨ahe die Situation im Vakuum aus? Wieviel Energie geht durch die Luftreibung verloren? Zum Vergleich: Ein “Schmetterball” beim Tischtennis hat eine kinetische Energie von ca. 2 Joule, das Projektil eines Luftgewehrs hat eine M¨undungsenergie von ca. 7–30 Joule und bei einer 9mm Pistole sind es ca. 500 Joule.
10. Rotierende Bezugssysteme 6+3+6=15 Punkte
Die (zeitabh¨angigen) Einheitsvektoren ~e (^) i′ eines rotierenden Bezugsystems im raumfesten Labor- system entwickeln sich gem¨ass
~e˙ (^) i′ = ~ω × ~e (^) i′ , (1)
wobei i ∈ {x, y, z}. Wir nehmen an, dass die Rotation mit fester Winkelgeschwindigkeit um die z-Achse verl¨auft, also ~ω = ω~ez.
a) Berechnen Sie die L¨osungen der Differentialgleichungen (1) unter der Startbedingung, dass ~e (^) i′ = ~ei zum Zeitpunkt t = 0 gilt. Hinweis: Verwenden Sie als Ansatz f¨ur ~e (^) i′ (t) eine allgemeine Kreisbewegung um die z-Achse.
b) Die in einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden Bezugsystem auftretenden Scheinkr¨afte sind die Zentrifugalkraft F~Z und die Corioliskraft F~C , mit den allgemeinen Ausdr¨ucken
F^ ~Z = −m~ω × (~ω × ~r ′), F~C = − 2 m~ω × ~r˙ ′.
Zeigen Sie durch Auswerten des doppelten Kreuzproduktes, dass F~Z in der x ′-y ′-Ebene radial nach außen zeigt.
c) Betrachten Sie jetzt die Bahn eines (im Laborsystem) kr¨aftefreien Massenpunktes im rotie- renden Bezugsystem. Skizzieren Sie den Bahnverlauf in der x ′-y ′-Ebene und markieren Sie jeweils die Richtung der Scheinkr¨afte.
11. Silvesterrakete 7+3+2+8=20 Punkte
Eine Rakete der Anfangsmasse m 0 st¨oßt pro Zeiteinheit die Masse αm 0 (α zeitlich konstant) mit der Geschwindigkeit c (relativ zum Raketensystem) aus. Zum Zeitpunkt t 0 = 0 startet die Rakete senkrecht nach oben und zum Zeitpunkt t 1 ist der Raketentreibstoff verbraucht und nur die Raketenh¨ulse mit der Masse βm 0 bleibt ¨ubrig.
a) Bestimmen Sie zun¨achst die Zeit t 1 in Abh¨angigkeit von α und β. Leiten Sie dann eine Bewegungsgleichung f¨ur die Rakete her. Hinweis: Nutzen Sie die Tatsache, dass eine Impuls¨anderung des Gesamtsystems beste- hend aus Rakete und ausgestoßener Masse nur von der Erdanziehungskraft herr¨uhren kann ( (^) dtd pges = FG). In einem Zeitintervall dt betr¨agt der Impuls der ausgestoßenen Masse dpA = −αm 0 (c − vR)dt.
b) Wie lautet die Bedingung, dass die Rakete ¨uberhaupt einmal abhebt? Geben Sie eine Rela- tion in Abh¨angigkeit von g, α, c, β an. Hinweis: Die Bewegungsgleichung f¨ur die Rakete ergibt sich zu ˙vR = (^1) −αcαt − g.
c) Wie lautet die Bedingung, dass die Rakete sofort abhebt? Geben Sie eine Relation an.
d) Welche H¨ohe kann die Rakete bei sofortigem Abheben und vertikalem Abschuss erreichen? Hinweis: Bestimmen Sie zun¨achst die H¨ohe x 1 , welche die Rakete bis zum Zeitpunkt t 1 erreicht, an dem der Raketenschub stoppt. Berechnen Sie dann welche maximale H¨ohe x 2 die Rakete aufgrund der Tr¨agheit ihrer Masse erreicht.
