Beantworten Sie folgende Fragen. Für jede richtige Antwort gibt es einen Punkt. Für jede f, Prüfungen von Theoretische Physik

Nur auf Docsity: Lade Beantworten Sie folgende Fragen. Für jede richtige Antwort gibt es einen Punkt. Für jede f und mehr Prüfungen als PDF für Theoretische Physik herunter! Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht 13.09.2013 Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2013 Probeklausur Technische Universität München 1 Fakultät für Physik Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht 13.09.2013 1 Kurze Fragen [20 Punkte] Beantworten Sie folgende Fragen. Für jede richtige Antwort gibt es einen Punkt. Für jede falsche Antwort gibt es einen Minuspunkt. Wird keine Antwort gegeben so wird diese Frage nicht be- wertet. Es können auch mehrere Antworten richtig sein. Die Gesamtzahl der Punkte dieser Auf- gabe kann nicht negativ sein. 1. Geben Sie die drei Newton’schen Axiome an: [3 Punkte] 2. Gegeben sei ein Teilchen der (konstanten) Masse m im konservativen Kraftfeld ~F. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? [4 Punkte] • ~F lässt sich allgemein schreiben als Gradient eines zeitabhängigen Potentials ~F(~r, t) = −gradU(~r, t). • Die verrichtete Arbeit hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahnkurve ab. • rot ~F = 0 ist eine notwendige Bedingung, damit ~F konservativ ist. • Die Gesamtenergie E = T + U ist eine Erhaltungsgröße. 3. Gegeben sei ein abgeschlossenes System, bestehend aus n Punktteilchen mit Massen m1, ...,mn, das durch ein explizit zeitabhängiges Potential U(~r1, ...,~rn, t) beschrieben wird. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? [3 Punkte] • Die Gesamtenergie ist eine Erhaltungsgröße. • Ist das Potential invariant unter Veschiebungen um beliebige Vektoren ~a1, ..., ~an, also U(~r1, ...,~rn, t) = U(~r1 + ~a1, ...,~rn + ~an, t) dann ist der Gesamtimpuls ~P = ∑n i=1 mi~ri erhalten. • Ist das Potential invariant unter Drehungen, so ist der Gesamtdrehimpuls ~L =∑n i=1 mi~ri × ~̇ri eine Erhaltungsgröße. 4. Betrachten Sie ein System von n Massenpunkten. m holonome Zwangsbedingungen seien durch m unabhängige Gleichungen der Form gi(~r1, ...,~ri; t) (für i ∈ {1, ...,m}) definiert. Welche der folgenden Aussagen gelten? [3 Punkte] • Die Dynamik des Systems wird durch 3n Lagrange-Gleichungen 1.Art beschrieben. • Das System wird durch n-m verallgemeinerte Koordinaten beschrieben. • Für ein System mit Potentialkräften, in dem keine Zwangsbedingungen wirken, sind die Euler-Lagrange-Gleichungen 2.Art äquivalent zu den Newton’schen Be- wegungsgleichungen. 5. Gegeben sei ein System mit Potentialkräften, das durch die Lagrangefunktion L(q, q̇; t) = T −U beschrieben werde. q = {q1, ..., qn} und q̇ = {q̇1, ..., q̇n} bezeichnen verallgemeinerte Koordinaten bzw. Geschwindigkeiten. Welche Aussagen sind korrekt? [4 Punkte] • Wenn L nicht explizit von q̇k abhängt, dann ist der generalisierte Impuls ∂L ∂q̇k eine Erhaltungsgröße. • L ist bis auf eine Konstante eindeutig festgelegt. • Für eine Zentralkraft ~F = − α r2~er, ist U = V(r) = l2 2mr2 − α r , wobei l den Drehimpuls des Systems, ~er den radialen Einheitsvektor bezeichnen und α > 0. Technische Universität München 2 Fakultät für Physik Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht 13.09.2013 1. Berechnen Sie die Trägheitsmomente IK und IZ von Kugel bzw. Zylinder bezüglich der Rotationsachse der Rollbewegung (d.h. für die Kugel bezüglich der Rotation um einen Durchmesser und für den Zylinder bezüglich einer Rotation um seine Längsachse). Zeigen Sie, dass mit homogenen Massenverteilungen gilt: [6 Punkte] IK = 2 5 MR2 und IZ = 1 2 MR2 (1) 2. Stellen Sie für beide Körper die jeweiligen Lagrangefunktion in der generalisierten Koor- dinate φ auf. [6 Punkte] 3. Leiten Sie die Bewegungsgleichungen ab. Welcher Körper ist schneller unten, wenn beide vom gleichen Ort aus der Ruhe losgelassen werden? [3 Punkte] 5 Gekoppelte Pendel [15 Punkte] Zwei gleiche Pendel (Masse m, Länge l) sind durch eine masselose, ideale Feder (Federkonstan- te f) verbunden und bewegen sich im homogenen Schwerefeld der Erde. Die Ruhelänge a der Feder ist gleich dem Abstand der Pendel in der Ruhelage (siehe Abbildung). Es wirken keine weiteren Kräfte. Man kann annehmen, dass bei kleinen Auslenkungen α1, α2 das von der Feder erzeugte Potential nur vom horizontalen Abstand der Pendel abhängt. Technische Universität München 5 Fakultät für Physik Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht 13.09.2013 1. Formulieren Sie im Falle kleiner Auslenkungen α1 und α2 die Lagrangefunktion und die Bewegungsgleichungen. [4 Punkte] 2. Welche Eigenfrequenzen und Normalschwingungen (Eigenvektoren) hat das System? In- terpretieren Sie Ihre Ergebnisse. [4 Punkte] 3. Berechnen Sie α1(t) und α2(t) für die Anfangsbedingungen α1(0) = α̇1(0) = α̇2(0) = 0;α2(0) = α0. [4 Punkte] 4. Betrachten Sie das System im Limes schwacher Kopplung, d.h. l f  mg und diskutieren Sie das Ergebnis. [3 Punkte] Technische Universität München 6 Fakultät für Physik