Betriebliche Finanzwirtschaft I - Universität Tübingen, Formelsammlungen von Finanzwissenschaft

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Formelsammlung zur Vorlesung und Übung

Betriebliche Finanzwirtschaft I

WS 01/

homepages.uni-tuebingen.de/student/sebastian.schanz

I n h a l t s v e r z e i c h n i s

• 1 Investition und Finanzierung unter Sicherheit ________________________
  • 1.1 Theoretische Grundlagen ___________________________________________________________
    • 1.1.1 Fisher Separation______________________________________________________________
  • 1.2 Effektivrenditen und Kuponeffekt _____________________________________________________
  • 1.3 Einzelentscheidungen ______________________________________________________________
    • 1.3.2 Inflation, Steuern und Kapitalmarktzins ____________________________________________
• 2 Investition und Finanzierung unter Unsicherheit I _____________________
  • 2.1 Grundlagen _______________________________________________________________________
    • 2.1.1 Axiome (Kruschwitz 1999 S.90)__________________________________________________
    • 2.1.2 Formen der Risikoeinstellung (Kruschwitz 1999 S.102) ______________________
    • 2.1.3 Risikoprämien _______________________________________________________________
    • 2.1.4 Bestimmung der Risikoaversion unter Verwendung des Arrow-Pratt-Maßes ______________
    • 2.1.5 Bernoullinutzen ______________________________________________________________
    • 2.1.6 Klassische Entscheidungsregeln _________________________________________________
  • 2.2 Arbitragetheorie und Zeit-Zustands-Präferenz-Konzept _________________________________
    • 2.2.1 Definitionen_________________________________________________________________
    • 2.2.2 Arbitragefreiheitsbedingung ____________________________________________________
    • 2.2.3 Risikoloser Zins _____________________________________________________________
  • 2.3 Portfoliotheorie ___________________________________________________________________
    • 2.3.1 Unterschied zwischen Portfoliotheorie und Zeit-Zustands-Präferenz-Konzept _____________
    • 2.3.2 Matrizenrechnung ____________________________________________________________
    • 2.3.3 Berechnung der Inversen_______________________________________________________
    • 2.3.4 Das Problem der Unvollständigkeit von Finanzmärkten_______________________________
  • 2.4 Entscheidungen im Risikoverbund___________________________________________________
    • 2.4.2 Die Mathematik effizienter Portfolios_____________________________________________

c) Grenzrate der Transaktion

0

1

Y

GRT Y

im Optimum:

i

Y

GRT Y = +

0

1

d) Grenzrate der Substitution

1

0

Y

U

Y

U

GRS

im Optimum:

i

Y

U

Y

U

GRS = +

1

0

→ also muss gelten:

0

1

1

0

Y

GRT Y

Y

U

Y

U

GRS

1.2 Effektivrenditen und Kuponeffekt

Betrachtung 3 verschiedener Zeitpunkte:

t 0 Zeitpunkt in dem der Vertrag abgeschlossen wird

t 1 Lieferung der Ware bzw. Auszahlung des Kredites

t 2 Bezahlung der Ware bzw. Rückzahlung des Kredits

a) Kassazins (spot rate) (Kruschwitz 1999 S.57)

( ) ( 1 ) t 2 t 1

t t

r

p x x

= + − wobei: xt

p ( xt ) → Preis im Zeitpunkt t 1

x t → Zahlungsanspruch in t 2

t 2 − t 1 → Laufzeit

t 0 und t 1 fallen zusammen

( 1 )^2

t

t t

px

+ r = x

= t^2 −

t

t

p x

r x

b) Terminzins (forward rate) (Kruschwitz 1999 S.58)

= t 2 − t 1 −

t

t

p x

r x

c) Impliziter Terminzins (Kruschwitz 1999 S.58)

011

1 02 2

2 02

1 12

1 01

( 1 ) (^1 )

r

r r

r r r

d) Effektiver Zins (yield to maturity) (Kruschwitz 1999 S.60)

T t t

t

r

p X

1 (^1 )

e) Newton Verfahren

1. Schritt: Ableiten der gegebenen Funktion ( f ( q )→ f '^ ( q ))
2. Schritt: Schätzen eines Startwerts (für Zinsen empfiehlt sich 0,1 als Startwert zu wählen)
3. Schritt: Einsetzen des Startwertes in die Ausgangsfunktion
4. Schritt: Einsetzen des Startwertes in die abgeleitete Funktion
5. Schritt: Ermittlung des neuen Wertes unter Verwendung des folgenden Schemas:

c) Barkapitalwert (BKW)

∑^ [^ ]

=

=− +^ T − − ∗ + −

t

BKW INV RFt sa RFt AfAt i t

1

( ) ( 1 *^ )

i *= i ( 1 − s a )

= i − is a

s a → proportionaler Steuersatz

d) Berechnung der Vorteilhaftigkeit durch Barwertkonzept

t Zt AfAt St RFt NPV

0 - - - Z^0

1 (^ Z^^1 −^ AfA^1 )∗ sa Z 1^ −^ S 1 RF 1 (^1 +^ i )−^1

2 (^ Z^^2 −^ AfA^2 )∗ sa Z^ 2 −^ S 2 RF 2 (^1 +^ i )−^2

3 (^ Z^^3 −^ AfA^3 )∗ sa Z^^3 −^ S^3

RF 3 ( 1 + i )−^3

3 t 0 t

NPV

mit vollständigem Finanzplan:

T 0 1 2 3

RFt

AfAt

St ( RF^1^ −^ AfA 1 + ic 0 )∗ sa (^ RF^ 2 −^ AfA 2 + ic 1 )∗ sa (^ RF 3^ −^ AfA 3 + ic 2 )∗ sa

c t RF 0^ RF 1^ − AfA 1 +(^1 + i ) c 0 − S 1

ic (^) t-

(1+i)c (^) t-

c (^) t → Endvermögen in t das am Kapitalmarkt angelegt wird

St → Steuerlast in t

ic (^) t-1 → Zinsen in t aus der Anlage am Kapitalmarkt von t-

Steuerbemessungsgrundlage in t

BBGt = RFt − AfAt + ict − 1

e) Ertragswertabschreibung

EWt − 1 − EWt = Dt = RFt − iEWt − 1

f) Digitale Abschreibung

Abschreibung in t = 1

1 =^ T +

AfA I

Betrag um die die Abschreibung aus t − 1 gemindert wird

TT

d I

Abschreibungsbetrag in t

AfAt = 1 → T = AfAt − 1 − d

g) Cash-Flow-Besteuerung

i s = i

BKW ( s )=( 1 − s ) BKW

BKW ( s ) → Barkapitalwert nach Steuern

BKW → Barkapitalwert vor Steuern

1.3.2 Inflation, Steuern und Kapitalmarktzins

a) Ohne Steuern

Im Konkurrenzgleichgewicht gilt:

( 1 + inom )=( 1 + ireal )( 1 + ρ )

(Fisher Effekt)

Ein Ergebnis ist über die Vergaben von Wahrscheinlichkeiten durch andere Ergebnisse substitu- ierbar

Wenn gilt: x 1 > x 2 > x 3 dann muss es ein q mit 0 < q < 1 geben, so dass gilt:

[ x 1 , x 3 : q , 1 − q ]~ x 2

(4) Beschränkung

→ Möglichkeit der Angabe des besten und des schlechtesten Ergebnisses

bestes Ergebnis: x

schlechtestes Ergebnis: x

(5) Dominanz

Wenn man die Präferenzrelation x > x besitzt, so sollte man beim Vergleich von zwei Lotterien

diejenigen vorziehen, bei der das Resultat x mit höherer Wahrscheinlichkeit zu erwarten ist.

x > x und q 1 > q 2 ⇒ [ x , x : q 1 , 1 − q 1 ]>[ x , x : q 2 , 1 − q 2 ]

(6) Unabhängigkeit

Wenn zwischen zwei Ergebnissen eine bestimmte Präferenzrelation herrscht (beispielsweise

x 1 > x 2 ) so muss die gleiche Relation auch zwischen zwei Lotterien herrschen, die sich nur da-

durch unterscheiden, dass x 1 and die Stellen von x 2 tritt. Formal:

x 1 > x 2 ⇒ [ x 1 , x 3 : q 1 , 1 − q 1 ]>[ x 2 , x 3 : q 1 , 1 − q 1 ]

a) Positive Lineare Transformation der Nutzenfunktion (Kruschwitz 1999 S.100)

Für die Rangordnung unsicherer Alternativen ist gleichgültig, ob man die Nutzenfunktion des Ent- scheidungsträgers oder eine beliebige positive Lineartransformation dieser Nutzenfunktion verwendet

Beispiel: positive Lineartransformation: U *^ (~ x )=α + β U (~ x )

U (~ x )=ln(~ x )

die durch die Nutzenfunktion entstehende Ranfolge ändert sich nicht, wenn diese Nut- zenfunktion einer positiven Lineartransformation unterzogen wird.

U *^ (~ x )= 5 + 3 ln(~ x )

2.1.2 Formen der Risikoeinstellung (Kruschwitz 1999 S.102)

a) Risikoneutralität: → Der Nutzen des dem Preis entsprechenden Geldbetrages und der erwartete Nutzen der Lotteriegewinne eines fairen Spieles sind gleich:

U ( E [~ x ])= E [ U (~ x ´)]

b) Risikoaversion: → Der Nutzen des dem fairen Preis entsprechenden Geldbetrages bedeutet mehr als der er- wartete Nutzen der Lotterieergebnisse.

U ( E [~ x ])> E [ U (~ x ´)]

c) Risikofreude: → liegt vor, wenn jemand bereit ist, das Lotterielos auch zu einem Preis zu kaufen, der über dem fairen Preis liegt, d.h. der Nutzen des Lotterieergebnisses ist größer als der Nutzen aus dem dem Preis entsprechenden Geldbetrages.

U ( E [~ x ])< E [ U (~ x ´)]

d) Intensität der Risikoaversion Zweite Ableitung der Nutzenfunktion Ist die zweite Ableitung der Nutzenfunktion negativ, so liegt Risikoscheue vor. Allerdings lässt sich der absolute Wert der 2. Ableitung nicht als optimale Messzahl der Risikoaversion verwen-

den, da es gleichgültig ist, ob Entscheidungen auf der Grundlage der Nutzenfunktion U (~ x )oder

auf der Grundlage der positiven Lineartransformation U *^ (~ x )= α + β U (~ x )getroffen werden.

(Unterschied = β )

2.1.3 Risikoprämien

E [ U ( W 0 + ~ x )] = U ( W 0 + E [~ x ]−π)

→ Der Erwartungsnutzen aus dem Besitz von Anfangsvermögen und Lotterie muss gerade so groß sein wie der Nutzen aus Anfangsvermögen und Lotteriepreis.

a) Risikoprämie Nach Arrow Pratt (Kruschwitz 1999 S.108)

[~] ( )

0

0

U W

π Varx U W

Probleme der Risikoprämie nach Arrow-Pratt:

0

0 0

U W

ARA W U W

Die absolute Risikoaversion nimmt ab, wenn gilt:

0

dW

dARAW

d.h. das Arrow-Pratt-Maß nach dem Anfangsvermögen differenziert muss kleiner Null sein

Die absolute Risikoaversion nimmt zu, wenn gilt:

0

dW

dARAW

d.h. das Arrow-Pratt-Maß nach dem Anfangsvermögen differenziert muss größer Null sein

Die absolute Risikoaversion bleibt konstant wenn gilt:

0

dW

dARAW

d.h. das Arrow-Pratt-Maß nach dem Anfangsvermögen differenziert muss gleich Null sein (→ Im Arrow-Pratt-Maß ist das Anfangsvermögen nicht mehr als Variable enthalten)

b) Relative Risikoaversion (RRA) (Kruschwitz 1999 S.112) Definiert als:

0 0

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) W

U W

W ARAW RRAW U W ∗

Die Relative Risikoaversion nimmt ab, wenn gilt:

0

dW

dRRAW

d.h. die Differenzierung nach dem Anfangsvermögen muss kleiner Null sein. Die Relative Risikoaversion nimmt zu, wenn gilt:

0

dW

dRRAW

d.h. die Differenzierung nach dem Anfangsvermögen muss größer Null sein Die Relative Risikoaversion bleibt konstant, wenn gilt:

0

dW

dRRAW

d.h. die Differenzierung nach dem Anfangsvermögen muss gerade Null erge- ben.

2.1.5 Bernoullinutzen

Die Lotterie mit dem maximalen erwarteten Bernoullinutzen (auch Risikonutzen oder Neumann- Morgenstern-Nutzen) ist als optimal zu wählen.

max E [ U ( xi )]

2.1.6 Klassische Entscheidungsregeln

a) μ − Regel

Zur Lösung des Entscheidungsproblems wird nur der Erwartungswert herangezogen. Die Alter- native mit dem höchsten Erwartungswert wird ausgeführt. Die Entscheidungsregel ist nur bei re- gelmäßig wiederkehrenden Entscheidungen zu empfehlen, da hier „auf lange Sicht“ tatsächlich der Erwartungswert der Lotterieresultate erzielt werden würde.

E ( x )→ max

b) μ −σ− Prinzip

Die optimale Alternative wird hier mit Erwartungswert und Streuungsmaß bestimmt. Der risiko- scheue Investor ist nur dann zur Übernahme eines höheren Risikos bereit, wenn er dafür durch die Aussicht auf höhere Zahlungen entschädigt wird. In jedem Fall muss eine Präferenzfunktion gegeben sein. Die Bestimmung der Varianz ist in jedem Fall nötig. Für risikoaversen Anleger

E ( ~ x )− α Var (~ x )→ max

a > 0

Erwartungswert

Streuung

c) Präferenzfreie Bewertung

Unter der präferenzfreien Bewertung versteht man die Möglichkeit der Ermittlung der Preise oh- ne Kenntnis der individuellen Nutzenfunktion.

d) Redundantes Wertpapier

Wertpapier, dessen Erträge keine zusätzliche Informationen liefern, da diese nichts anderes als das Vielfache einer (oder mehrerer) anderer Wertpapiere entspricht. Die finanziellen relevanten Eigenschaften könnten unter Verwendung anderer Wertpapiere rekonstruiert werden.

e) Vollständiger Kapitalmarkt

Unter einem vollständigen Kapitalmarkt in der Finanzierungstheorie versteht man einen Markt in dem die Marktpreise und zustandsabhängigen Erträge von ebenso vielen Wertpapieren bekannt sind wie Zeiten und Zustände zu unterscheiden sind. (→ Anzahl der Wertpapiere muss der An- zahl der Zeiten und Zustände entsprechen). Folgende zwei Bedingungen sind zu beachten: (1) Die Matrix der zeit- und zustandsabhängigen Wertpapiererträge z muss quadratisch sein. Ist sie nicht quadratisch lässt sich das Gleichungssystem nicht lösen, da die An- zahl der Gleichungen der Anzahl der Variablen entsprechen muss. (2) Die Matrix muss außerdem nicht-singulär sein, d.h. die Determinante darf nicht Null betragen. Beispiel für Vollständigen Kapitalmarkt:

Der Kapitalmarkt besteht aus drei Wertpapieren und drei Zeitpunkten bzw. Zuständen und die

Determinante ist ≠ Null

Beispiel für unvollständigen Kapitalmarkt

( 1 2 3 )

Der Markt besteht nur aus einem Wertapier, aber aus drei Zuständen bzw. Zeitpunkten.

Die Matrix ist zwar quadratisch, aber die Determinante ist Null, d.h. die Erträge der Wertpapiere sind linear voneinander abhängig.

2.2.2 Arbitragefreiheitsbedingung

Als arbitragefrei gilt ein Markt wenn gilt:

= =

S s

its ts

T t

i z

1 1

∏ i =Preis des i − ten Wertpapiers

zits =Ertrag des Wertpapiers im Zeitpunkt t wenn Zustand s eintritt

π ts =Preisvektor, der den Preis im Zeitpunkt t für Zustand s angibt

Arbitragefrei ist ein Markt also dann, wenn der Preis des Wertpapiers, der heute am Kapital- markt zu entrichten ist, der Summe der diskontierten Erträge für jeden Zustand s im Zeitpunkt t des Wertpapiers i entspricht

2.2.3 Risikoloser Zins

Der Risikolose Zins ist definiert als:

=^1 − 1

∑ s

rf π

Eins dividiert durch die Summe der Preise der reinen Wertpapiere abzüglich eins.

r f ist negativ wenn ∑ π s > 0 , d.h. wenn die Summe der Preise der reinen Wertpapiere grö-

ßer Null ergibt, dann ist Kassenhaltung optimal.

2.3 Portfoliotheorie

2.3.1 Unterschied zwischen Portfoliotheorie und Zeit-Zustands-Präferenz-Konzept

a) Portfoliotheorie

• Lässt unendlich viele Zustände zu
• Einperiodiges Modell
• Zwei Parameter pro Wertpapier (μ,σ)
• Rückflüsse liegen als Renditen vor

b) Zeit-Zustands-Präferenz-Konzept

• Rückflüsse liegen als Zahlungsgrößen vor
• Abzählbare Zustände

31 32 33

21 22 23

11 12 13

31 32 33

21 22 23

11 12 13 | a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

Subtrahierung der Diagonalen det( A ) = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32 − a 31 ⋅ a 22 ⋅ a 13 − a 32 ⋅ a 23 ⋅ a 11 − a 33 ⋅ a 21 ⋅ a 12

Beispiel:

A

det( A )= 6 ⋅ 9 ⋅ 0 + 6 ⋅ 109 ⋅ 7 + 106 ⋅ 109 ⋅ 107 − 7 ⋅ 9 ⋅ 106 − 107 ⋅ 109 ⋅ 6 − 0 ⋅ 9 ⋅ 6

det( A )= 30. 000

2.3.3 Berechnung der Inversen

a) Für 2x2 Matrizen A −^1 = Inverse

det( A )= A

speziell für 2x2 Matrizen gilt

12 11

a a

a a A (^) A Vertauschung der Diagonalen und Multiplikation mit –1 der

anderen beiden Werte. Beispiel:

21 22

11 12 a a A a a

det( A )= 10 * 15 − 5 * 10 = 100

A^11

b) für 3x3 Matrizen A −^1 = Inverse

det( A )= A

n nn

n

b b

b b A B 1

11 1 1

ji

bij (^) A i j Aji α

= 1 (− 1 )(+^ )⋅ zu beachten ist die Vertauschung von Zeilen i und Spalten j

α ji =Adjunkte von aij

Beispiel:

A

1. Schritt: Berechung der Determinanten

det( A )= 6 ⋅ 9 ⋅ 0 + 6 ⋅ 109 ⋅ 7 + 106 ⋅ 109 ⋅ 107 − 7 ⋅ 9 ⋅ 106 − 107 ⋅ 109 ⋅ 6 − 0 ⋅ 9 ⋅ 6

det( A )= 30. 000

2. Schritt: Ermittlung von bij

→ Ermittlung von b 12

A

12 30. 000 (^1 )^321

b =^1 ⋅− ⋅ A

( 1 )^1

A 21

A 21 = 6 ⋅ 0 − 106 ⋅ 107 =− 11. 342

→ Verdecken der 2. Reihe und der 1. Spalte, zu beachten ist immer die Vertauschung

von Spalten und Zeilen bei der Bestimmung von bij

b 12 =− 30.^1000 ⋅ 11. 342 = 0 , 37806