BHS Angewandte Mathematik 10 Aufgaben mit Lösungen | HTL 2 Matura Jänner 2020, Abiturprüfungen von Mathematik

Nur auf Docsity: Lade BHS Angewandte Mathematik 10 Aufgaben mit Lösungen | HTL 2 Matura Jänner 2020 und mehr Abiturprüfungen als PDF für Mathematik herunter!

BHS

14. Jänner 2020

Angewandte Mathematik

HTL 2

Korrekturheft

Standardisierte kompetenzorientierte

schriftliche Reife- und Diplomprüfung

Beurteilung der Klausurarbeit

Gemäß § 38 Abs. 3 SchUG (BGBl. Nr. 472/1986 i. d. g. F.) sind die Leistungen der Prüfungskandi- datin / des Prüfungskandidaten nach Maßgabe vorliegender Korrektur- und Beurteilungsanleitung aufgrund von begründeten Anträgen der Prüferin / des Prüfers von der jeweiligen Prüfungskom- mission zu beurteilen.

Für die Beurteilung ist ein auf einem Punktesystem basierender Beurteilungsschlüssel vorgege- ben, der auf den Kriterien des § 18 Abs. 2 bis 4 und 6 SchUG und der Leistungsbeurteilungsver- ordnung (BGBl. Nr. 371/1974 i. d. g. F.) beruht und die Beurteilungsstufen (Noten) entsprechend abbildet.

Beurteilungsschlüssel:

Note Punkte Genügend 23 – 30 Punkte Befriedigend 31 – 37 Punkte Gut 38 – 43 Punkte Sehr gut 44 – 48 Punkte

Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn insgesamt weniger als 23 Punkte erreicht wurden.

Den Prüferinnen und Prüfern steht während der Korrekturfrist ein Helpdesk des BMBWF beratend zur Verfügung. Die Erreichbarkeit des Helpdesks wird für jeden Prüfungstermin auf https://ablauf.srdp.at gesondert bekanntgegeben.

Aufgabe 1

Flüssigkeitsbehälter

Möglicher Lösungsweg

a1) 1 200 = (^) (d 2 )

2 ∙ π ∙ 15

d = (^1) 15 ∙ π200 ∙ 4

 = 10,09... Der Durchmesser beträgt rund 10,1 dm.

b1) A = a^2 – 4 ∙ (^) (a 4 )

2 ∙ π

c1) Es wird diejenige Füllzeit berechnet, zu der sich 900 L Flüssigkeit im Flüssigkeitsbehälter befinden.

Lösungsschlüssel

a1) 1 × B: für die richtige Berechnung des Durchmessers d b1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel für A aus der Seitenlänge a c1) 1 × C: für die richtige Beschreibung der Bedeutung der Lösung im gegebenen Sachzusam- menhang

Aufgabe 2

Lieblingsfarbe

Möglicher Lösungsweg

a1) X … Anzahl derjenigen Personen, die Rosa als Lieblingsfarbe nennen

Binomialverteilung mit n = 25 und p = 0,13: Berechnung mittels Technologieeinsatz: P(X = 3) = 0,2360… Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 23,6 % nennen genau 3 der 25 befragten Personen Rosa als Lieblingsfarbe.

b1) X … Anzahl derjenigen Personen, die Orange als Lieblingsfarbe nennen

Binomialverteilung mit p = 0,07: P(X ≥ 1) = 0, 1 – P(X = 0) = 0, 1 – 0,93n^ = 0,

Berechnung mittels Technologieeinsatz: n = 31,7... Es müssen mindestens 32 Personen befragt werden.

c1) P(X = 2) = 0,96 – (0,22 + 0,36 + 0,11) = 0,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,

0,

0,

0, 0,

0,

0,

P(X = k )

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

k

Toleranzbereich für die Höhe der Säule: [0,25; 0,30] Für die Punktevergabe ist es nicht erforderlich, den Wert von P( X = 2) anzugeben.

Aufgabe 3

Wandern

Möglicher Lösungsweg

a1) t = 400 h + 4 x

a2) 3,25 = 400 h + 6,7 4 ⇒ h = 630

Gemäß der Faustregel wird bei dieser Wanderung eine Höhendifferenz von 630 m über- wunden.

b1) 1 650 – 500 3 = 383,33...

Die mittlere Änderungsrate beträgt rund 383 m/h. Toleranzbereich: [360 m/h; 400 m/h]

b2) Es kann auch sein, dass sich der Wanderer / die Wanderin auf konstanter Höhe („eben“) be- wegt hat.

c1) Ablesen der Koordinaten eines beliebigen Punktes des Funktionsgraphen, z. B. (800 |1): Es werden insgesamt 800 Höhenmeter überwunden.

Lösungsschlüssel

a1) 1 × A: für das richtige Übertragen der Faustregel in eine Formel a2) 1 × B: für die richtige Berechnung der Höhendifferenz b1) 1 × C: für das richtige Ermitteln der mittleren Änderungsrate unter Angabe der Einheit im Toleranzbereich [360 m/h; 400 m/h] b2) 1 × D: für die richtige Argumentation c1) 1 × C: für das richtige Ablesen

Aufgabe 4

Entwicklung von Katzen und Hunden

Möglicher Lösungsweg

a1) Ablesen von 2 Punkten aus der Abbildung – beispielsweise: (6 | 40) und (11 | 60)

k = 60 – 4011 – 6 = 4 40 = 4 ∙ 6 + d ⇒ d = 16 K(t) = 4 ∙ t + 16 mit t ≥ 2

Toleranzbereich beim Ermitteln der Parameter im Rahmen der Ablesegenauigkeit der verwen- deten Punkte

a2) Die beiden Parameter k und k 1 sind gleich, weil die beiden Funktionsgraphen (für t ≥ 2) paral- lel verlaufen.

b1) X ... Körpermasse in kg

Normalverteilung mit μ = 3,6 kg und σ = 0,7 kg: P(X ≥ a) = 0,

Berechnung mittels Technologieeinsatz: a = 4,49...

Ab einer Körpermasse von rund 4,5 kg wurde eine ausgewachsene Katze in dieser Studie als übergewichtig bezeichnet.

Lösungsschlüssel

a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung (Toleranzbereich beim Ermitteln der Parameter im Rahmen der Ablesegenauigkeit der verwendeten Punkte) a2) 1 × D: für das richtige Angeben und die richtige Begründung b1) 1 × B: für das richtige Bestimmen der Körpermasse, ab der eine ausgewachsene Katze in dieser Studie als übergewichtig bezeichnet wurde

Lösungsschlüssel

a1) 1 × B: für die richtige Berechnung des Winkels b1) 1 × A: für den richtigen Ansatz (Berechnung des Flächeninhalts mittels Integral) 1 × B: für die richtige Berechnung des prozentuellen Unterschieds c1) 1 × A1: für das richtige Eintragen der fehlenden Zahl c2) 1 × A2: für das richtige Einzeichnen des Winkels β im Einheitskreis

Aufgabe 6

Kontrolle der Geschwindigkeit

Möglicher Lösungsweg

a1) P(X = a) = (^) ( 1 500) a

∙ 0,04a^ ∙ 0,961 500 –^ a

b1)

Geschwindigkeit in km/h

20 30 40 50 60 70 80 90

c1) Abschätzen der Länge des zurückgelegten Weges s: s ≈ 25 ∙ 11 = 275 Die Länge des zurückgelegten Weges beträgt näherungsweise 275 m. Toleranzbereich: [220; 330]

c2) Höchstgeschwindigkeit: 11 m/s = 39,6 km/h Toleranzbereich: [37,8; 41,4]

Lösungsschlüssel

a1) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel b1) 1 × C: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit c1) 1 × B: für das richtige Ermitteln der Weglänge im Toleranzbereich [220; 330] c2) 1 × C: für das richtige Angeben der Höchstgeschwindigkeit in km/h im Toleranz- bereich [37,8; 41,4]

Aufgabe 8 (Teil B)

Straßenbahn

Möglicher Lösungsweg

a1) Die Steigung der linearen Funktion entspricht der Beschleunigung der Straßenbahn im be- trachteten Zeitintervall.

a2) v(15) = vA + vB^ – 4 v^ A

b1) g′(x) = 3 ∙ a ∙ x^2 + 2 ∙ b ∙ x + c

g(1) = 0 g(5) = 4 g′(1) = 0 g′(5) = 1 oder: a ∙ 1 3 + b ∙ 1^2 + c ∙ 1 + d = 0 a ∙ 5 3 + b ∙ 5^2 + c ∙ 5 + d = 4 3 ∙ a ∙ 1 2 + 2 ∙ b ∙ 1 + c = 0 3 ∙ a ∙ 5^2 + 2 ∙ b ∙ 5 + c = 1

b2) ∫

5 1

 1 + (g′(x)) 2 dx = 5,778... Die Länge dieser Gleisverbindung beträgt rund 5,78 km.

c1) β = 2 ∙ α = 50,2°

c2) TS =

 2 0722 + 1 5732 – 2 ∙ 2 072 ∙ 1 573 ∙ cos(50,2°) = 1 610,8... Der Abstand TS beträgt rund 1 611 mm.

Lösungsschlüssel

a1) 1 × C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang a2) 1 × A: für das richtige Erstellen der Formel für v(15) b1) 1 × A1: für das richtige Erstellen der beiden Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte 1 × A2: für das richtige Erstellen der beiden Gleichungen mithilfe der 1. Ableitung b2) 1 × B: für die richtige Berechnung der Länge der Gleisverbindung zwischen den Punkten A und B c1) 1 × B1: für die richtige Berechnung des Winkels β c2) 1 × B2: für die richtige Berechnung des Abstands TS

Aufgabe 9 (Teil B)

Kunstvolle Becher

Möglicher Lösungsweg

a1) (^) f(x), g(x), h(x) in dm

h g f x in dm

γ

B

C

xC

a2) f(x) = g(x)

oder: 0,0952 ∙ x^2 – 1,9 ∙ x + 12,1 = 0,117 ∙ x^2 – 1,18 ∙ x + 5

Berechnung mittels Technologieeinsatz: (x 1 = –40,975...) x 2 = 7,948... ≈ 7, f(x 2 ) = 3,012... ≈ 3, B ≈ (7,95 | 3,01)

a3) g′(7,948...) = –0,386... f′(7,948...) = 0,679...

Berechnung des Schnittwinkels: arctan(0,679...) + | arctan(–0,386...) | = 55,350...° ≈ 55,4°

Auch eine Berechnung des zugehörigen Supplementärwinkels (124,6°) ist als richtig zu werten.

a4) Es ändert sich nur der Koeffi zient 5 der Funktion f.

b1) (^) [...]

V = π · ∫

9 3 (g(x))

(^2) dx

[...]

[...]

[...]

Aufgabe 10 (Teil B)

Wasseräquivalent einer Schneedecke

Möglicher Lösungsweg

a1) Durch das Einsetzen der Einheiten folgt: kg kg m^3 ∙ m

2 = m

b1) (^) ddWE = –k ∙ E

b2) Berechnung mittels Technologieeinsatz: E(W) = C ∙ ℯ–k^ ∙^ W oder: E′ E = –k

E′

E dW^ =^ ∫^ – k^ dW

ln| E(W)| = –k ∙ W + C 1 E(W ) = C ∙ ℯ–k^ ∙^ W

Lösungsschlüssel

a1) 1 × D: für den richtigen Nachweis b1) 1 × A: für das richtige Aufstellen der Differenzialgleichung b2) 1 × B: für das richtige Bestimmen der allgemeinen Lösung