BHS Angewandte Mathematik Aufgabenpool | HTL 1 Matura Jänner 2020, Abiturprüfungen von Mathematik

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Name:

Klasse/Jahrgang:

BHS

14. Jänner 2020

Angewandte Mathematik

HTL 1

Standardisierte kompetenzorientierte

schriftliche Reife- und Diplomprüfung

Hinweise zur Aufgabenbearbeitung

Liebe Kandidatin! Lieber Kandidat!

Es gilt folgender Beurteilungsschlüssel:

44–48 Punkte Sehr gut 38– 43 Punkte Gut 31– 37 Punkte Befriedigend 23–30 Punkte Genügend 0–22 Punkte Nicht genügend Viel Erfolg!

So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum Ankreuzen:

1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.

Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ ge- wählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert.

2 + 2 = 4 T

So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:

1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein.

Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ über- malt und dann wieder gewählt.

2 + 2 = 4

Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-A-Auf- gaben und Teil-B-Aufgaben mit jeweils unter- schiedlich vielen Teilaufgaben. Die Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt 270 Minuten an reiner Arbeits- zeit zur Verfügung.

Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfü- gung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihren Jahrgang bzw. Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deckblatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt Arbeitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung (z. B.: 3d1) auf dem Arbeitspapier an.

In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Streichen Sie Notizen durch. Die Verwendung von approbierten Formelheften bzw. von der Formelsammlung für die SRDP in Angewandter Mathematik und von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) ist erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist. Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prü- fungsraum zur Durchsicht auf.

Handreichung für die Bearbeitung

• Jede Berechnung ist mit einem nachvollziehba- ren Rechenansatz und einer nachvollziehbaren Dokumentation des Technologieeinsatzes (die verwendeten Ausgangsparameter und die ver- wendete Technologiefunktion müssen angege- ben werden) durchzuführen.
• Selbst gewählte Variablen sind zu erklären und gegebenenfalls mit Einheiten zu benennen.
• Ergebnisse sind eindeutig hervorzuheben.
• Ergebnisse sind mit entsprechenden Einheiten anzugeben, wenn dies in der Handlungsan- weisung explizit gefordert wird. - Werden Diagramme oder Skizzen als Lösungen erstellt, so sind die Achsen zu skalieren und zu beschriften. - Werden geometrische Skizzen erstellt, so sind die lösungsrelevanten Teile zu beschriften. - Vermeiden Sie frühzeitiges Runden. - Legen Sie allfällige Computerausdrucke der Lösung mit Ihrem Namen beschriftet bei. - Wird eine Aufgabe mehrfach gerechnet, so sind alle Lösungswege bis auf einen zu streichen.

Aufgabe 2

Lieblingsfarbe

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Rosa als Lieblingsfarbe nennt,

beträgt 13 %.

25 zufällig ausgewählte Personen werden nach ihrer Lieblingsfarbe gefragt.

1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 der 25 Personen Rosa als Lieblings-

farbe nennen. [1 Punkt]

b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Orange als Lieblingsfarbe

nennt, beträgt 7 %.

Unter n befragten Personen soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindes-

tens 1 Person sein, die Orange als Lieblingsfarbe nennt.

1) Berechnen Sie die Anzahl n derjenigen Personen, die dafür mindestens befragt werden

müssen. [1 Punkt]

c) Die binomialverteilte Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl derjenigen Personen unter 10 Be-

fragten, die Lila als Lieblingsfarbe nennen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieser Zufallsvaria-

blen ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

0,

P(X = k )

k

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,

0,

0,

0, 0,

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 10 Befragten maximal 3 Befragte Lila als Lieblingsfarbe

nennen, beträgt 96 %.

1) Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die fehlende Säule für P(X = 2) ein. [1 Punkt]

d) Die Schüler/innen einer Schule wurden nach ihren Lieblingsfarben gefragt. In der nach-

stehenden Abbildung ist dargestellt, wie viel Prozent der Befragten die jeweilige Farbe als

Lieblingsfarbe genannt haben.

40 %

19 %

18 %

16 %

11 %

Blau

Rot

Grün

Schwarz

Gelb

Lieblingsfarbe

1) Beschreiben Sie, woran man erkennen kann, dass man auch mehr als eine Lieblingsfarbe

nennen durfte. [1 Punkt]

c) Bei der Besteigung eines bestimmten Berges ist die Gesamtgehzeit indirekt proportional zu

dem durchschnittlichen überwundenen Höhenunterschied in Metern pro Stunde (siehe nach-

stehende Abbildung).

durchschnittlicher überwundener Höhenunterschied in Metern pro Stunde

Gesamtgehzeit in Stunden

0 50 100150200250300350400450500550600650700750800850900

8 7 6 5 4 3 2 1 0

9

1) Lesen Sie aus der obigen Abbildung ab, welcher Höhenunterschied bei dieser Besteigung

insgesamt überwunden werden muss. [1 Punkt]

Aufgabe 4

Entwicklung von Katzen und Hunden

a) Viele Tiere altern schneller als Menschen. Ein 9 Jahre alter großer Hund ist beispielsweise

etwa so „alt“ wie ein 80-jähriger Mensch. Für einige Haustiere ist der Zusammenhang zwi-

schen Tieralter und Menschenalter in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

Menschenalter in Jahren

Tieralter in Jahren

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314 151617181920

100

80

60

40

20

0

120

kleiner Hund großer Hund Katze

Für eine Katze kann der Zusammenhang zwischen dem Tieralter in Jahren und dem Men-

schenalter in Jahren in einem bestimmten Bereich durch eine lineare Funktion K beschrieben

werden:

K(t) = k · t + d

t ... Tieralter in Jahren mit t ≥ 2

K(t) ... das dem Tieralter t der Katze entsprechende Menschenalter in Jahren

1) Erstellen Sie unter Zuhilfenahme von 2 Punkten aus der obigen Grafi k eine Gleichung der

linearen Funktion K für t ≥ 2. [1 Punkt]

Für einen kleinen Hund kann dieser Zusammenhang durch eine lineare Funktion H modelliert

werden:

H(t) = k 1 · t + d 1

t ... Tieralter in Jahren mit t ≥ 2

H(t) ... das dem Tieralter t des kleinen Hundes entsprechende Menschenalter in Jahren

2) Geben Sie an, welcher Zusammenhang zwischen den Parametern k und k 1 besteht.

Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe der obigen Abbildung. [1 Punkt]

Aufgabe 5

Baumhaus

Eine Familie plant, ein Baumhaus aus Holz zu errichten. Der Baum dafür steht in einem hori-

zontalen Teil des Gartens.

a) Eine 3,2 m lange Leiter wird angelehnt und reicht dann vom Boden genau bis zum Einstieg

ins Baumhaus in einer Höhe von 2,8 m.

1) Berechnen Sie denjenigen Winkel, unter dem die Leiter gegenüber dem horizontalen Bo-

den geneigt ist. [1 Punkt]

b) Die Fenster des Baumhauses sollen eine spezielle Form haben (siehe grau markierte Fläche in

der nachstehenden Abbildung).

f(x) in cm

x in cm

f

0 40

40

0

Die obere Begrenzungslinie des Fensters kann näherungsweise durch den Graphen der Funk-

tion f beschrieben werden.

f(x) = –0,003 · x^3 + 0,164 · x^2 – 2,25 · x + 40 mit 0 ≤ x ≤ 40

x, f(x) ... Koordinaten in cm

1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Fensterfläche in der dargestellten Form kleiner als

die Fensterfl äche eines quadratischen Fensters mit der Seitenlänge 40 cm ist. [2 Punkte]

c) Das Baumhaus wird mit gewellten Kunststoffplatten überdacht.

Dem Querschnitt liegt der Graph der Funktion f mit f(x) = cos(x) zugrunde. Dieser ist in der

nachstehenden Abbildung dargestellt.

f(x)

f

0 x^ in rad

1) Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlende Zahl in das dafür vorgesehene Kästchen

ein. [1 Punkt]

In der nachstehenden Abbildung ist ein Winkel α im Einheitskreis dargestellt.

y

x

1

–1 1

α

2) Zeichnen Sie im obigen Einheitskreis denjenigen Winkel β ein, für den gilt:

sin( β) = sin( α) mit β ≠ α und 0° ≤ β ≤ 360°. [1 Punkt]

c) Der nachstehend dargestellte Graph zeigt annähernd den Geschwindigkeitsverlauf eines im

Stadtgebiet fahrenden Autos.

Zeit in s

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

20

15

10

5

0

Geschwindigkeit in m/s

1) Ermitteln Sie näherungsweise die Länge des im Zeitintervall [0; 45] zurückgelegten Weges.

[1 Punkt]

2) Lesen Sie die Höchstgeschwindigkeit des Autos ab. Geben Sie das Ergebnis in km/h an.

[1 Punkt]

Aufgabe 7 (Teil B)

Wasserski-Wettbewerb

Bei einem Wasserski-Wettbewerb muss ein Slalom um 6 Bojen gefahren werden (siehe

nachstehende Abbildung).

f(x), g(x), h(x) in m

x in m

Legende: ... Bojen

• ... Punkte der Fahrstrecke

B D F

A C E

259

27 41 41 41 41 41 27

Ziel

Start

12

12

0

0

× × ×

× × ×

×

×

×

×

×

f g

h

In einem vereinfachten Modell kann die Bahn einer Wasserskifahrerin abschnittsweise durch

die Graphen dreier Funktionen beschrieben werden:

Funktion f ... vom Start bis zum Punkt A

Funktion g ... vom Punkt A bis zum Punkt F

Funktion h ... vom Punkt F bis ins Ziel

x, f(x), g(x), h(x) ... Koordinaten in m

a) Für die gesamte Fahrt benötigt die Wasserskifahrerin 30 s.

1. Beschreiben Sie, was mit dem nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammen- hang berechnet wird. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.

27 0

√1 + (f′(x)) 2 dx + ∫

232 27

√1 + (g′(x)) 2 dx + ∫

259 232

√1 + (h′(x)) 2 dx

30

[1 Punkt]

Aufgabe 8 (Teil B)

Straßenbahn

a) Eine Straßenbahn fährt von einer Haltestelle los. Ihr Geschwindigkeitsverlauf für die ersten

45 Sekunden ist im nachstehenden Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm dargestellt.

v(t) in m/s

t in s

0 10 20 30 40

0

v (^) A

v (^) B

v

t ... Zeit in s v(t) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s

Die Geschwindigkeit der Straßenbahn nimmt im Zeitintervall [10; 30] linear zu.

1. Interpretieren Sie die Bedeutung der Steigung dieser linearen Funktion im gegebenen

Sachzusammenhang. [1 Punkt]

2. Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit der Straßenbahn 15 Sekun- den nach Beginn der Fahrt aus vA und vB.

v(15) = [1 Punkt]

b) In der nachstehenden Abbildung sind 2 geradlinige Gleise, die im Punkt A bzw. im Punkt B

enden, modellhaft in der Ansicht von oben dargestellt.

y in km

A^ x^ in km –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

6 5 4 3 2 1

7

B

Diese Gleise sollen durch ein Gleisstück knickfrei verbunden werden. „Knickfrei“ bedeutet, dass die entsprechenden Funktionen an den Stellen, an denen sie zusammenstoßen, den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben.

Diese Gleisverbindung soll durch eine Polynomfunktion g mit g(x) = a ∙ x^3 + b ∙ x^2 + c ∙ x + d modelliert werden (x, g(x) in km).

1. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion g.

[2 Punkte]

Mithilfe dieses Gleichungssystems erhält man: g(x) = – 1 16

· x^3 + 11 16

· x^2 – 19 16

· x + 9 16

2) Berechnen Sie die Länge dieser Gleisverbindung zwischen den Punkten A und B. [1 Punkt]

c) Straßenbahnen sind mit einem Stromabnehmer, der am Triebwagendach montiert ist, aus-

gestattet. Die nachstehende Abbildung zeigt einen Stromabnehmer mit den entsprechenden Maßangaben in Millimetern.

Es gilt: α = 25,1°

Oberleitung

Triebwagendach

Stromabnehmer

S

2 072

T

1 573

R

α

α

β

1) Berechnen Sie den Winkel β. [1 Punkt]

2) Berechnen Sie den Abstand TS. [1 Punkt]

b) Der Sockel, auf dem die Skulptur montiert werden soll, hat die Form eines Kegelstumpfs

(siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung):

Höhe: 6 dm

Durchmesser: 10 dm Durchmesser: 16 dm

g(x) in dm

x in dm

g

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 12 10 8 6 4 2 0

16

Dieser Kegelstumpf kann als Rotationskörper mithilfe der Funktion g beschrieben werden:

g(x) = 1 2

· x + 7 2 x, g(x) ... Koordinaten in dm

1. Kreuzen Sie diejenige Formel an, mit deren Hilfe man das Volumen des dargestellten

Kegelstumpfs berechnen kann. [1 aus 5] [1 Punkt]

V = π · ∫

6 0

(g(x))^2 dx

V = π · ∫

9 3

(g(x))^2 dx

V = π · ∫

6 3

(g(x))^2 dx

V = π · ∫

16 10

(g(x))^2 dx

V = π · ∫

8 5

(g(x))^2 dx

c) Die Skulptur wird aus einer Legierung hergestellt, die aus Aluminium, Silizium und einer kleinen

Menge Magnesium besteht.

Die Dichte von Aluminium beträgt 2,70 g/cm 3.

1) Geben Sie die Dichte ϱ von Aluminium in der Einheit kg/m^3 an.

ϱ = kg/m^3 [1 Punkt]

Der Radius eines Magnesium-Atoms beträgt 1,5 · 10 –10^ m. Ein Silizium-Atom hat einen um 0,04 nm kleineren Radius.

2) Berechnen Sie den Radius eines Silizium-Atoms in Nanometern. [1 Punkt]