Blatt 2 Maßtheorie Lösungen, Übungen von Analysis III für Mathematiker

Nur auf Docsity: Lade Blatt 2 Maßtheorie Lösungen und mehr Übungen als PDF für Analysis III für Mathematiker herunter! Z2.1. Sei (Ω,A) ein Messraum. Darunter verstehen wir: • Ω ist eine nichtleere Menge • A ist eine σ-Algebra auf Ω Wir betrachten nun das Zählmaß auf Ω: |A| = { #A , falls A eine endliche Menge ist ∞ , sonst Dabei betzeichnet #A die Mächtigkeit von A. Für endliche A ist das schlichtweg die Anzahl der Elemente von A. Um zu zeigen, dass (Ω,A, | · |) ein Maßraum ist, müssen wir folgendes nachweisen: • A ist eine σ-Algebra auf Ω: Das folgt bereits aus der Voraussetzung, dass (Ω,A) ein Messraum ist. √ • | · | : A → [0,∞]: Das Zählmaß ist für alle A ∈ A definiert und liefert Werte in [0,∞]. √ • |∅| = 0: Die leere Menge ist endlich und hat 0 Elemente. Damit gilt |∅| = 0. √ • σ-Additivität ∣∣∣∣∣∣ ⊎ j∈N Aj ∣∣∣∣∣∣ = ∑ j∈N |Aj |: Seien Aj ∈ A, j ∈ N disjunkte Mengen. 1. Fall: Alle Aj sind endlich und nur endlich viele davon sind ungleich der leeren Menge. Dann existiert ein k ∈ N mit ∀j ∈ N : j > k ⇒ Aj = ∅. Somit ist ⊎ j∈NAj = ⊎k j=0Aj ebenfalls endlich und es gilt:∣∣∣∣∣∣ ⊎ j∈N Aj ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ k⊎ j=0 Aj ∣∣∣∣∣∣ = #  k⊎ j=0 Aj  = k∑ j=0 #Aj = k∑ j=0 #Aj + ∞∑ j=k+1 0 = ∑ j∈N |Aj | √ 2. Fall: Alle Aj sind endlich aber unendlich viele davon haben mindestens ein Element. Dann ist ⊎ j∈NAj unendlich und es gilt:∣∣∣∣∣∣ ⊎ j∈N Aj ∣∣∣∣∣∣ = ∞ Es bleibt zu zeigen, dass ∑ j∈N |Aj | ebenfalls ∞ wird. Da ∀j ∈ N : 0 ≤ |Aj | < ∞, können wir den Umordnungssatz für Reihen mit nichtne- gativen Gliedern verwenden und erhalten:∑ j∈N |Aj | = ∑ j∈N Aj ̸=∅ #Aj︸︷︷︸ ≥1︸ ︷︷ ︸ ∞ + ∑ j∈N Aj=∅ 0 = ∞ √ 3. Fall: Mindestens ein Aj ist nicht endlich. Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass A0 nicht endlich ist. Dann ist auch ⊎ j∈NAj nicht endlich und wir erhalten:∣∣∣∣∣∣ ⊎ j∈N Aj ∣∣∣∣∣∣ = ∞ = |A0|︸︷︷︸ ∞ + ∞∑ j=1 |Aj |︸ ︷︷ ︸ ≥0 √ Z2.2. Sei à := { A ⊂ Ω ∣∣ Es gibt M,N ∈ A mit M ⊂ A ⊂ N und µ(N \M) = 0 } . Wir zeigen der Reihe nach: • A ⊂ Ã: Sei A ∈ A. Setze M = N = A. Dann gilt: M ⊂ A ⊂ N und µ(N \M) = µ(∅) = (M2) 0 Damit folgt A ∈ Ã. • à ist eine σ-Algebra: (σ1) Ω ∈ A,A ⊂ à ⇒ Ω ∈ à (σ2) Komplementstabilität: Sei A ∈ Ã. Dann gibt es M,N ∈ A mit M ⊂ A ⊂ N und µ(N \M) = 0. A ist eine σ-Algebra, also gilt M c, N c ∈ A. Dafür gilt: N c ⊂ Ac ⊂ M c und (wegen X \ Y = { x ∣∣ x ∈ X ∧ x ̸∈ Y } = X ∩ Y c): µ(M c \N c) = µ(M c ∩ (N c)c) = µ(N ∩M c) = µ(N \M) = 0 Damit folgt Ac ∈ Ã. (σ3) Vereinigungsstabilität: Sei ∀j ∈ N : Aj ∈ Ã. Dann gibt es zu jedem j ∈ N zwei Mengen Mj , Nj ∈ A mit Mj ⊂ Aj ⊂ Nj und µ(Nj \Mj) = 0. A ist eine σ-Algebra, also gilt: M = ⋃ j∈N Mj ∈ A und N = ⋃ j∈N Nj ∈ A Damit erhalten wir: M ⊂ ⋃ j∈N Aj ⊂ N Eine kleine Zwischenrechnung: N \M = ⋃ j∈N Nj  \ (⋃ k∈N Mk ) = { x ∣∣∣ (∃j ∈ N : x ∈ Nj) ∧ ¬(∃k ∈ N : x ∈ Mk) } = { x ∣∣∣ (∃j ∈ N : x ∈ Nj) ∧ (∀k ∈ N : x ̸∈ Mk) } ⊂ { x ∣∣∣ ∃j ∈ N : (x ∈ Nj ∧ x ̸∈ Mj) } = { x ∣∣∣ ∃j ∈ N : x ∈ Nj \Mj } = ⋃ j∈N Nj \Mj  Damit erhalten wir aufgrund der Monotonie (Satz 1.16, Gleichung (1.9)) und der σ- Subadditivität (Satz 1.17 (iii)): µ(N \M) ≤ µ ⋃ j∈N Nj \Mj  ≤ ∑ j∈N µ(Nj \Mj) = ∑ j∈N 0 = 0 Damit folgt ⋃ j∈NAj ∈ Ã. Ü2.1. Wegen 0 ≤ µ(Aj) folgt aus der Konvergenz von ∞∑ j=0 µ(Aj), dass zu jedem ε > 0 ein Index k ∈ N existiert mit ∞∑ j=k µ(Aj) < ε. Daraus folgt: µ ( lim sup j→∞ Aj ) = Definition 1.9 µ  ∞⋂ k=0 ∞⋃ j=k Aj  ≤ µ  ∞⋃ j=k Aj  ≤ Satz 1.17 (iii) ∞∑ j=k µ(Aj) < ε Da ε > 0 beliebig klein sein kann, folgt die Behauptung. Ü2.2. • Sowohl für ein Dynkin-System als auch eine σ-Algebra verlangt man in der Regel Ω ̸= ∅. Daher setzen wir im Folgenden #Ω ≥ 2 voraus. • Wir zeigen zunächst, dass D ein Dynkin-System ist: (i) #Ω gerade ⇒ Ω ∈ D (ii) Sei D ∈ D ⇒ #D gerade ⇒ #Dc = #Ω︸︷︷︸ gerade − #D︸︷︷︸ gerade gerade ⇒ Dc ∈ D. (iii) Für disjunkte D1, D2 ∈ D erhalten wir: #(D1 ⊎D2) = #D1︸ ︷︷ ︸ gerade +#D2︸ ︷︷ ︸ gerade gerade Per Induktion erhalten wir daraus die endliche disjunkte Vereinigungsstabilität. Da Ω und somit auch D endlich sind, kann ⊎ j∈NDj immer auf die disjunkte Vereini- gung von endlich vielen Mengen zurückgeführt werden. Damit gilt auch ⊎ j∈NDj ∈ D. • Nun zur Frage, ob D eine σ-Algebra ist. Im Fall #Ω = 2 betrachten wir exemplarisch Ω = {x, y}. Dann gilt: D = { ∅,Ω } Aus der Vorlesung wissen wir, dass das eine (triviale) σ-Algebra ist. Falls #Ω ≥ 4, besitzt Ω mindestens 3 verschiedene Elemente x1, x2, x3 ∈ Ω. Dann gilt D1 = {x1, x2} ∈ D , D2 = {x2, x3} ∈ D aber D1 ∪D2 = {x1, x2, x3} ̸∈ D Somit ist D nicht Vereinigungsstabil und damit keine σ-Algebra. Ü2.3. • Dass A = { A ⊂ R ∣∣ A oder Ac ist abzählbar } eine σ-Algebra ist, haben wir bereits in Aufgabe Ü1.2. (c) gezeigt, wenn wir dort Ω = R setzen. • Nach Konstruktion liefert µ nur Werte in {0, 1}. Damit gilt µ : A → [0,∞]. • Da die leere Menge abzählbar ist, gilt µ(∅) = 0. • Seien Aj ∈ A, j ∈ N disjunkt. 1. Fall: Alle Aj sind abzählbar. Dann ist auch ⊎ j∈NAj abzählbar und es gilt: µ ⊎ j∈N Aj  = 0 = ∑ j∈N 0 = ∑ j∈N µ(Aj) 2. Fall: Genau ein Ac j ist abzählbar. Ohne Einschränkung sei das Ac 0. Dann sind alle Aj für j = 1, 2, 3, ... abzählbar. Somit gilt⊎ j∈N Aj c = ⋂ j∈N Ac j ⊂ Ac 0 ist abzählbar und wir erhalten: µ ⊎ j∈N Aj  = 1 = 1 + 0 = µ(A0)︸ ︷︷ ︸ 1 + ∞∑ j=1 µ(Aj)︸ ︷︷ ︸ 0 = ∑ j∈N µ(Aj) 3. Fall: Mindestens zwei der Ac j sind abzählbar. Ohne Einschränkung seien das Ac 0 und Ac 1. Dann gilt: A0, A1 disjunkt ⇔ A0 ∩A1 = ∅ ⇔ (A0 ∩A1) c = R ⇔ Ac 0 ∪Ac 1 = R Da Ac 0 und Ac 1 beide abzählbar sind, haben wir einen Widerspruch zur Überabzähl- barkeit von R. Damit kann dieser Fall nicht eintreten. H2.1. Nach Definition 1.36 ist das minimale Dynkin-System δ(E), das E enthält, folgendermaßen definiert: δ(E) = ⋂{ D ∣∣∣D ist ein Dynkin-System auf Ω mit E ⊂ D } (i) Wir gehen analog zu Aufgabe Ü1.1. (i) vor. Sei E ⊂ Ẽ . Dann gilt: A ∈ δ(E) ⇔ A ∈ ⋂{ D ∣∣∣D ist ein Dynkin-System auf Ω ∧ E ⊂ D } ⇔ ∀D : ( D ist ein Dynkin-System auf Ω ∧ E ⊂ D ) ⇒ A ∈ D ⇒ ∀D : ( D ist ein Dynkin-System auf Ω ∧ Ẽ ⊂ D ) ⇒ A ∈ D ⇔ A ∈ ⋂{ D ∣∣∣D ist ein Dynkin-System auf Ω ∧ Ẽ ⊂ D } ⇔ A ∈ δ(Ẽ) (ii) Sei E ein Dynkin-System. Nach Konstruktion ist δ(E) der Schnitt aller Dynkin-Systeme D auf Ω, die E enthalten. D.h.: E ⊂ δ(E) ⊂ D Da E ein Dynkin-System ist, gilt dies insbesondere für D = E . (iii) Nach (ii) gilt E ⊂ δ(E) ⊂ D für jedes Dynkin-System D auf Ω, das E enthält. Wir zeigen, dass σ(E) ein Dynkin-System (im Sinne von Definition 1.33) ist: (i) σ(E) ist σ-Algebra, also Ω ∈ σ(E). (ii) Sei D ∈ σ(E). Da σ(E) eine σ-Algebra ist, gilt auch Dc ∈ σ(E). (iii) σ(E) ist eine σ-Algebra, also gilt Vereinigungsstabilität. Diese impliziert insbesondere die disjunkte Vereinigungsstabilität. H2.2. (a) Es gilt: • B1 ist (nach Konstruktion in Definition 1.6) eine σ-Algebra √ • µ(A) = ∑ k∈A∩N 2−k︸︷︷︸ ≥0 ≥ 0 ⇒ µ : B1 → [0,∞] √ • µ(∅) = ∑ k∈∅∩N 2−k = ∑ k∈∅ 2−k = 0 √ • Seien Aj ⊂ R, j ∈ N disjunkt. Dann gilt: µ ⊎ j∈N Aj  = ∑ k∈( ⊎ j∈N Aj)∩N 2−k Wir verwenden das Distributivgesetz (⊎ j∈NAj ) ∩ N = ⊎ j∈N (Aj ∩ N): = ∑ k∈ ⊎ j∈N(Aj∩N) 2−k