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Bewertung Note Notenstufe in Worten Punkte Punkte
schriftliche Arbeit 3 - befriedigend 7 x 3 21
Abschlusspräsentation 2 gut 10 x 1 10
Summe: 31
Gesamtleistung nach § 29 (7) GSO = Summe: 2 (gerundet) 16
Asam-Gymnasium München Abiturjahrgang 2017/
S E M I N A R A R B E I T
Rahmenthema des Wissenschaftspropädeutischen Seminars: Verblüffende Mathematik Leitfach: Mathematik
Thema der Arbeit:
Der Goldene Schnitt in der Natur
Verfasserin: Aslihan Kahraman Kursleiterin: StRin Dietrich Abgabetermin: 06. November 2018 Datum und Unterschrift der Kursleiterin bzw. des Kursleiters
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung......................................................................................................................
- Grundlagen des Goldenen Schnittes
- 2.1. Was ist der „Goldene Schnitt“?
- 2.2. Herleitung der Zahl 𝝓
- 2.3. Charakteristische Eigenschaften der Zahl 𝝓
- Goldener Schnitt in der Mathematik
- 3.1. Goldenes Rechteck
- 3.2. Goldener Winkel....................................................................................................
- 3.3. Die Reihe der Fibonacci-Zahlen
- 3.3.1. Der Stammbaum einer Drohne als Beispiel für die Fibonacci-Reihe
- 3.3.2. Mathematische Eigenschaften der Fibonacci-Reihe.......................................
- Goldener Schnitt außerhalb der Mathematik
- 4.1. Der Goldene Schnitt in der Natur
- 4.1.1. Die Goldene Spirale......................................................................................
- 4.1.2. Einige Beispiele für die Goldene Spirale
- 4.1.3. Fibonacci-Zahlen und die Blattstellung
- 4.1.4. Der Goldene Schnitt bei Lebewesen
- Fazit
- Literaturverzeichnis
- A. Bücherquellen
- B. Internetquellen
- Abbildungsverzeichnis
- Anhang........................................................................................................................
2. Grundlagen des Goldenen Schnittes
2.1. Was ist der „Goldene Schnitt“?
Definition: Ein Punkt teilt eine Strecke im goldenen Schnitt, falls sich das Verhältnis der gesamten Strecke zum größeren gleich mit dem Verhältnis des größeren Abschnitts mit dem kleineren verhält. Leichter ausgedrückt: Das Verhältnis des ganzen Abschnitts zum roten ist gleich dem Verhältnis des roten Abschnitts zum blauen. Abbildung 1 : Teilung einer Strecke nach dem Goldenen Schnitt^3 Abbildung 1 stellt eine Gleichung dar, die den Goldenen Schnitt mathematisch beschreibt^4. !" !#
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oder
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2.2. Herleitung der Zahl 𝝓
Das Verhältnis von Abbildung 1 beträgt immer 1,61803^5 zu 1. Dieses Verhältnis wird als 𝜙 (Phi)^6 bezeichnet oder auch als Zahl ("#√%) '
Wie kommt man nun auf diese Zahl? Hier sehen wir die Herleitung von 𝜙: Zunächst nehmen wir (1) und ersetzen die kürzere Teilstrecke b als 1 und die längere a als x. 𝓍 1
Durch Umformen erhalten wir eine quadratische Gleichung^7 𝓍 · 𝓍 = 1 · (𝓍 + 1 ) → 𝓍!^ − 𝓍 = 1 𝓍!^ − 𝓍 − 1 = 0 (^3) Selbstständig angefertigt mit GeoGebra. (^4) Vgl. Hemenway (2008), S. 6-7. (^5) Siehe Anhang 1. Eine längere Variante von 𝜙. (^6) Vgl. Hemenway (2008), S. 6. (^7) Vgl. Corbalán (2016), S. 23.
Durch die Verwendung der Mitternachtsformel^8 ergeben sich zwei Lösungen, wobei nur die positive relevant ist.^9 𝓍 =
Somit erhalten wir das Verhältnis, welches wir mit 𝜙 bezeichnen:^10 𝜙 =
2.3. Charakteristische Eigenschaften der Zahl 𝝓
Der Kehrbruch des Goldenen Schnitts lautet "
= 0 ,61803. Zwischen 𝜙 𝑢𝑛𝑑 dem Kehrbruch gelten folgende Aussagen, wobei 𝓍 = 𝜙 gilt. Hilfssatz:^11 (a) 𝜙!^ = 𝜙 + 1 (b) "
(c) 𝜙 + "
Beweis: Wie wir bereits wissen, ist 𝜙 das Endergebnis der folgenden quadratischen Gleichung: 𝓍!^ − 𝓍 − 1 = 0 Bringen wir nun −𝜙 und − 1 mit + rüber, so erhalten wir den Beweis für (a): 𝜙!^ − 𝜙 − 1 = 0 𝜙!^ = 𝜙 + 1 Wenn wir die Gleichung (a) mit "
multiplizieren, so erhalten wir den Beweis (b):^12 𝜙 = 1 + "
"
1 𝜙 = 1 + √ 5 2 − 1 = − 1 + √ 5 2 (^8) Siehe Anhang 4, Formel der Mitternachtsformel. (^9) Vgl. Corbalán (2016), S. 23. (^10) Vgl. ebd., S. 24. (^11) Vgl. Beutelspacher, Albrecht; Petri, Bernhard: Der Goldene Schnitt. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim; Wien; Zürich, (1988), S. 18. (^12) Vgl. ebd., S. 19.
schneidet.^17 Diesen Vorgang können wir auf der Seite DC wiederholen. Eine Alternative wäre, dass wir von E eine senkrechte Linie nach oben ziehen, die die Verlängerung der Linie DC bei F schneidet.^18 Jetzt wollen wir beweisen, dass das entstandene Rechteck ein Goldenes Rechteck ist. Beweis: Es sei AB = AD = 1. AE= 𝐴𝑀 + 𝑀𝐸 = " !
𝑀𝐸!^ = 𝑀𝐶!^ = 𝑀𝐵!^ + 𝐵𝐶!^ =
" ! !
& $ (Pythagoras) ME = MC = √& ! Somit ist: AE= 𝐴𝑀 + ME= " !
√& !
"(√& !
= 𝜙.^19
Wir sehen, dass die längere Seite 𝜙 und die kürzere Seite 1 entspricht. Somit handelt es sich bei dem Rechteck AEFD um ein Goldenes Rechteck.^20 Kurz zu erwähnen: Fügen wir an ein Goldenes Rechteck ein Quadrat hinzu, dann entsteht wiederum ein Goldenes Rechteck. Genau das gleiche geschieht, wenn wir ein Quadrat von der kürzeren Seite eines Goldenes Rechtecks abtrennen. In Abbildung 3 auf dem rechten Bild sehen wir das neu entstandene Rechteck mit den Seitenlängen m und M−m.^21 Abbildung 3 : Goldenes Rechteck^22 (^17) Vgl. Corbalán (2016), S. 55f. (^18) Vgl. ebd. (^19) Vgl. ebd., S. 56. (^20) Vgl. ebd. (^21) Vgl. ebd., S. 52. (^22) Selbstständig angefertigt mit GeoGebra.
Abbildung 4 : Der Goldene Winkel
3.2. Goldener Winkel
Beispiel: Rose Betrachten wir eine Rose, dann sehen wir, dass sich die Blütenblätter kreisförmig nacheinander anordnen.^23 Die Abstände dieser Blüten sind zu den zuvor gewachsenen Blättern immer dieselben wie man in Abbildung 3 gut erkennen kann. Beobachten können wir auch, dass die Blätter von innen nach außen wachsen und somit eine Spirale bilden. Misst man nun die Winkel zwischen den Blütenblättern, dann betragen diese 137,5°. Diesen Winkel bezeichnen wir als Goldenen Winkel.^24 Abbildung 5 : Die Rose^25 In Abbildung 5 ist ein Kreis abgebildet. Teilen wir diesen mittels Winkel im Verhältnis des Goldenen Schnittes, dann erhalten wir den Goldenen Winkel. Den hellgrau markierten Abschnitt nennen wir 𝜓 (Psi) und den dunkleren Teil als 𝜓!, dann ergibt das diese Berechnungen: 𝜓! = )*+°
Das Verhältnis des Vollwinkels zum größeren Winkel 𝜓! ist gleich dem Verhältnis des größeren Winkels 𝜓! zum kleineren Winkel 𝜓.^26 Den kleineren Winkel 𝜓, wie wir in Abbildung 5 sehen, bezeichnen wir als Goldenen Winkel, da man mit Winkeln, die kleiner als 180° sind besser arbeiten kann.^27 Wir erhalten: 𝜓 = 360° − )*+°
≈ 137 ,5°.^28
(^23) Vgl. Hemenway (2008), S. 135. (^24) Vgl. ebd. (^25) Selbst fotografiert. (^26) Vgl. MATHEMATIK-Labor Universität Würzburg: Der Goldene Winkel. YouTube, (24.10.2012), URL: https://www.youtube.com/watch?v=3C4oXaIag6k, ab min. 0:40 (28.09.2018). (^27) Vgl. Barth, Roland: Keine Überschrift: URL: http://www.robaweb.de/gdm/inhalt/GlossarBegriffe/GoldenerSchnitt.html (^28) Vgl. Tom091178: Der Goldene Winkel. Kommentare: URL: https://www.youtube.com/watch?v=3C4oXaIag6k (28.09.2018).
abstammt, wobei eine Drohne nur ein Elter hat.^36 Für die n-te Elterngeneration einer Drohne ergeben sich 𝑓𝓃 Weibchen und 𝑓-%" Männchen, wobei für die weiblichen Bienen 𝑓𝓃 = 𝑓-%" +𝑓-%" gilt. Demgemäß gibt es in der n-ten Vorfahrensgeneration 𝑓𝓃 Vorfahren mit 𝑓-%" weiblichen Bienen und 𝑓-%! männliche Bienen, also 𝑓𝓃 = 𝑓-%" +𝑓-%! für n > 1.^37
3.3.2. Mathematische Eigenschaften der Fibonacci-Reihe
Betrachten wir nochmal die Tabelle 1 aus dem Gliederungspunkt 3.3. Wir wissen bereits, dass die Zahlen in der „𝑓𝓃“-Spalte mit der Fibonacci-Folge gemäß der Rekursionsvorschrift übereinstimmen: 38 𝑎" = 1 , 𝑎! = 1 ; 𝑎𝓃 = 𝑎-%" +𝑎-%! (𝓃 ≥ 3 ). (1) Interessant ist, wenn wir uns die Beziehung zwischen dieser Folge und dem Goldenen Schnitt anschauen. Gemäß Hilfssatz (a) auf der Seite 2 gilt für 𝜙 die bereits definierte Gleichung: 𝜙!^ = 𝜙 + 1. Multipliziert man nun diese Gleichung mit 𝜙, so erhalten wir 𝜙)^ = 𝜙!^ + 𝜙. Führt man diese fort, dann ergibt sich:^39 𝜙$^ = 𝜙)^ + 𝜙!^ = 3 𝜙 + 2 𝜙&^ = 𝜙$^ + 𝜙)^ = 5 𝜙 + 3 𝜙^ = 𝜙&^ + 𝜙$^ = 8 𝜙 + 5 𝜙/^ = 𝜙^ + 𝜙&^ = 13 𝜙 + 8. Wir erkennen umgehend, dass es sich hier um die Zahlen der Fibonacci-Folge handelt, wenn man die Koeffizienten der aufeinanderfolgenden Potenzen von 𝜙 anschaut. Wir können (1) mit dieser Erkenntnis zusammensetzen. Dadurch erhalten wir 𝜙𝓃^ = 𝑎𝓃𝜙 + 𝑎-%".^40 Bei 𝑎𝓃 an der Stelle 𝓃 liegen die Fibonacci-Zahlen.^41 (^36) Vgl. Hemenway (2008), S. 135. (^37) Prisner, Erich: Diskrete Mathematik. Fibonccizahlen: URL: https://www.math.tu-cottbus.de/INSTITUT/lsgdi/DM/Fibonacci.html (16.10.2018) (^38) Vgl. Corbalán (2016), S. 34. (^39) Vgl. ebd., S. 26. (^40) Vgl. ebd., S. 34. (^41) Vgl. ebd.
Betrachten wir nun den Quotienten zweier aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen, dann fällt auf, dass die ersten Ergebnisse minimal mit 𝜙 zu tun haben, wobei schon ab der zehnten Stelle die Abweichung nur noch 0,001 beträgt.^42 Stelle Zahl 𝒂𝓷 𝒂𝒏#𝟏 Abweichung von 𝝓 1 1 2 1 1,000000000000000 −0, 3 2 2,000000000000000 +0, 4 3 1,500000000000000 −0. 5 5 1,666666666666667 (^) +0, 6 8 1,600000000000000 (^) −0, 7 13 1,625000000000000 +0, 8 21 1,615384615384615 −0, 9 34 1,619047619047619 (^) +0, 10 55 1,617647058823529 −0, Tabelle 243 : Quotienten der Fibonacci-Folge^44 Wir können nun feststellen, dass die Quotienten einen Grenzwert besitzen, welches 𝜙 ist. Um diese zu ermitteln, nennen wir den gesuchten Grenzwert zunächst 𝓍:^45 𝓍 = lim
Wir wissen 𝑎-(" = 𝑎𝓃 + 𝑎-%" Durch Umformen erhalten wir: lim
= lim
) = 1 + lim
Danach bilden wir im letzten Bruch den Kehrwert des Kehrwerts und wir erhalten: 1 + lim
= 1 + lim
Den Grenzwert hatten wir 𝓍 genannt, also:^46 𝓍 = 1 +
(^42) Vgl. ebd., S. 35. (^43) Siehe Anhang 2, Tabelle 1. (^44) Corbalán (2016), S. 36. (^45) Vgl. ebd. (^46) Vgl. ebd.
Eine weitere spannende Eigenschaft ist, wenn man die logarithmische Spirale dreht. Man glaubt, dass die Spirale wachsen beziehungsweise schrumpfen würde.^52
4.1.2. Einige Beispiele für die Goldene Spirale
Im menschlichen Körper finden wir unglaublich viele Spiralen, wie zum Beispiel in unserem Ohr, in unseren Fäusten oder in der Form des menschlichen Embryos, sowie in der Struktur unserer DNA.^53
1. Beispiel: Cochlea Die Cochlea ist ein Teil des Innenohrs und hat eine spiralförmige Struktur, die mit einer Flüssigkeit befüllt und von einer Knochenschale umgeben ist. Durch die innere Flüssigkeit werden Klangschwingungen in Wellen weitergeleitet. Da die Haarzellen dadurch in Bewegung kommen, lösen die Haarzellen elektrische Signale aus, die zum Gehirn gesandt werden. Dieses Organ im Innenohr ermöglicht es uns zu hören. 54 Abbildung 7 : Das Ohr In Abbildung 7 sehen wir die Cochlea lila eingefärbt. 2. Beispiel: Gehäuse des Nautilus Wir wissen bereits, dass die Spirale selbstähnlich ist. Das heißt ihre Form ändert sich nicht trotz wachsender Größe. Diese Eigenschaft der logarithmischen Spirale lässt sich in der Nautilusschale gut erkennen. Die Schale wächst von innen nach außen. Dabei entstehen neue Kammern, wobei sie sich jeweils in der Größe der vorherigen Kammern unterscheiden. Die Form der Kurve bleibt allerdings in jedem Teilstück erhalten und verändert sich nicht. 55 (^52) Vgl. Beutelspacher (1988), S. 64. (^53) Vgl. Hemenway (2008), S. 130f. (^54) Vgl. ebd., S. 131. (^55) Vgl. Corbalán (2016), S. 135.
4.1.3. Fibonacci-Zahlen und die Blattstellung
Beispiel: Sonnenblume Die Samen der Sonnenblume bilden Spiralen. Jeder Samenkern ist immer exakt zu einer rechtsdrehenden oder exakt zu einer linksdrehenden Spirallinie eingegliedert. Anders formuliert: Die Samen bilden eine Spirale, die jeweils nach rechts und nach links verlaufen. Würden wir nun die linksdrehenden Spiralen zählen, dann stellen wir fest, dass die Anzahl dieser Spiralen aufeinanderfolgende Zahlen der Fibonacci-Reihe aufzeigen.^56 Die Anzahl der Kerne beider Spirallinien entsprechen zwei benachbarter Fibonacci- Zahlen.^57 Wir kommen also dahinter, dass die Anzahl der rechtsdrehenden und linksdrehenden Spiralen einen Zusammenhang zum Goldenen Schnitt haben, da das Verhältnis dieser Spiralen eine Annäherung an diese sind. Zudem sind Blütenblätter und Samen bezüglich der Pflanzenachse im goldenen Winkel von 137,5° angeordnet.^58 Abbildung 8 : Sonnenblume In Abbildung 8 erkennt man 34 linksdrehende und 55 rechtsdrehende Spiralen. Dieses Phänomen kommt auch an den Blättern eines Astes oder Pflanzenstängels vor. Die Anordnung der Blätter wird als Phyllotaxis bezeichnet, welches sich auf ein Thema in der Botanik anlehnt. Hier geht es grundsätzlich um die Anordnung der Blätter auf dem Stängel einer Pflanze.^59 Die Anordnung der Blätter folgt bestimmten Regeln. Es ist wichtig, dass Blätter in einem bestimmten Muster strukturiert sind, sodass alle Blätter gleich viel Sonnenlicht abkriegen. Zudem wachsen die Blätter einiger Pflanzenarten spiralförmig nacheinander, jeweils unter einem konstanten Divergenzwinkel gegenüber dem vorherigen. Diesen Winkel können wir in Bruch darstellen, wobei der Zähler die (^56) Vgl. Beutelspacher (1988), S. 123ff. (^57) Vgl. Junghans, Christian: Was Darwin nicht wusste. Mathematische Überraschungen in der Natur: URL: https://www.was-darwin-nicht-wusste.de/wunder/mathematische-ueberraschungen.html (20.10.2018) (^58) Vgl. Willig, Hans-Peter et al.: Thema der Biologie, Sonnenblume: URL: https://www.biologie- seite.de/Biologie/Sonnenblume( 20.10.2018) (^59) Vgl. Corbalán (2016), S. S. 127.
durch die kleinere Länge vom Bauchnabel bis zum Kopf teilen, sprich 𝜙. Unsere Zähne stehen ebenfalls im Goldenen Verhältnis zueinander.^68 Diese Längenverhältnisse treten auch an den einzelnen Bereichen der Hand und der Finger auf.^69 Vor allem empfinden wir ein Gesicht besonders harmonisch und schön, wenn es im Verhältnis des Goldenen Schnitts aufgebaut ist. Untersucht man ein makelloses Gesicht auf den Goldenen Schnitt, dann stellt man fest, dass der Mund im Verhältnis eine Länge von 1,618 03 Längeneinheiten, und die Nase wiederum eine Breite von 1,0 Längeneinheiten hat. Das Gesicht im Ganzen ist 1,0 Längeneinheiten breit und 1,618 03 Längeneinheiten lang.^70 Der Goldene Schnitt ist auch in der Tierwelt zu finden, wie zum Beispiel beim Engelsfisch, in einem Tigergesicht, am Körper einer Ameise, in einem Delfin, an einer Motte^71 oder Pferd.^72 Abbildung 10 : Der Goldene Schnitt am Körper eines Pferdes
5. Fazit
Ich muss gestehen, dass ich mit der Auswahl meines Themas anfangs skeptisch war. Allerdings bin ich doch sehr glücklich dieses Thema in der Mathematik gewählt zu haben. Innerhalb eines Jahres habe ich meinen Horizont erheblich erweitert und neue Erkenntnisse gewonnen, die ich so nie in Betracht gezogen hätte. Die mathematischen Eigenschaften der Zahl 𝜙 und der Fibonacci-Zahlen fiel mir jedoch grundsätzlich sehr schwer, da mir die logische Betrachtungsweise in mancher Hinsicht fehlt. Aufgrund dessen waren die ersten Kapitel äußerst zeitaufwändig, da ich mich erstmals mit der Thematik des Goldenen Schnittes intensiv befassen musste. (^68) Vgl. Stelzner, Ruben: Der Goldene Schnitt – Das Mysterium der Schönheit: URL: http://www.golden- section.eu/kapitel5.html (30.10.2018) (^69) Vgl. Corbalán (2016), S. 127. (^70) Vgl. Auaitre, Christophe et al: Der Goldene Schnitt für`s Gesicht: URL: http://www.oisisy.com/der- goldene-schnitt/ (31.10.2018) (^71) Vgl. Marlow, Stan: Phi und die Tierwelt: URL: https://www.stan-marlow.de/phi-und-die-tierwelt/ (^72) Vgl. Winfried. Stark: Der Goldene Schnitt: URL: http://www.extremstark.de/Mathematik/Kurs%20Realschule/10/Der%20Goldene%20Schnitt.pdf
Ich fand es sehr großartig mich mit dem Goldenen Schnitt in der Natur zu beschäftigen, da dieses Phänomen überall zu finden ist, wie zum Beispiel im menschlichen Körper, in der Tierwelt oder in der Flora, so wie wir herausgefunden haben. Es ist mehr als nur ein Teilungsverhältnis. Es ist etwas, das Harmonie erzeugt. Es ist maßvoll. Ich betrachte meine Umgebung nun aus einem anderen Blickwinkel und ich hoffe, dass Sie durch meine Seminararbeit die Welt ebenfalls aus meiner Sichtweise wahrnehmen. Zu guter Letzt möchte ich auf meine Anfangsfrage zurückgreifen. „Was ist der Goldene Schnitt?“ und warum „golden?“ Meiner Meinung nach muss jeder Mensch mit sich selbst vereinbaren wie wichtig der Goldene Schnitt für ihn bzw. sie in seiner/ihrer Umgebung ist und welchen Platz er in seinem/ihrem Leben einnimmt.
7. Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Teilung einer Strecke nach dem Goldenen Schnitt __________________ 2 Abbildung 2: Konstruktion eines Goldenen Rechtecks __________________________ 4 Abbildung 3: Goldenes Rechteck ___________________________________________ 5 Abbildung 4: Die Rose ___________________________________________________ 6 Abbildung 5: Der Goldene Winkel __________________________________________ 6 Abbildung 6: Die Goldene Spirale _________________________________________ 10 Abbildung 7: Das Ohr___________________________________________________ 11 Abbildung 8: Sonnenblume ______________________________________________ 12 Abbildung 9: Blattstellung (Wechselständig) ________________________________ 13 Abbildung 10: Der Goldene Schnitt am Körper eines Pferdes ____________________ 14 Abbildung 1: Selbstständig angefertigt mit GeoGebra Abbildung 2: URL: http://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs- konstruktion/gs-konstruktion.htm Abbildung 3: Selbstständig angefertigt mit GeoGebra Abbildung 4: Selbst abfotografiert Abbildung 5: Modifizierte Abbildung aus: URL: http://www.planet- glauben.de/Alles_Natur/GoldeneZahl/GoldeneZahl.php Abbildung 6 : Modifizierte Abbildung aus: URL: https://www.toushenne.de/newsreader/der-goldene-schnitt.html Abbildung 7 : URL: https://de.serlo.org/biologie/biologie-menschen/sinne-organe- menschen-ohr Abbildung 8: URL: https://www.srf.ch/sendungen/einstein/fuenfmalklug/warum-ist-der- 5 - 8 - 13 - kein-gewoehnliches-datum Abbildung 9 : Modifizierte Abbildung aus: URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Phyllotaxis. Abbildung 10 : URL: http://www.extremstark.de/Mathematik/Kurs%20Realschule/10/Der%20Goldene%20Sc hnitt.pdf
8. Anhang
Anhang 1
Eine längere Variante von 𝜙
Die Goldene Zahl auf 999 Dezimalstellen. 1, 4628189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317 9318006076672635443338908659593958290563832266131992829026788067520876 6892501711696207032221043216269548626296313614438149758701220340805887 9544547492461856953648644492410443207713449470495658467885098743394422 1254487706647809158846074998871240076521705751797883416625624940758906 9704000281210427621771117778053153171410117046665991466979873176135600 6708748071013179523689427521948435305678300228785699782977834784587822 8911097625003026961561700250464338243776486102838312683303724292675263 1165339247316711121158818638513316203840052221657912866752946549068113 1715993432359734949850904094762132229810172610705961164562990981629055 5208524790352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628 5512224809394712341451702237358057727861600868838295230459264787801788 9921990270776903895321968198615143780314997411069260886742962267575605 23172777520353613936 Quelle: Corbalán, Fernando: DER GOLDENE SCHNITT. Die mathematische Sprache der Schönheit. Librero IBP, Kerkdriel, Niederlande, (2016), S. 25.
