Einführung in die Elementare Kombinatorik | PH Ludwigsburg, Skripte von Kombinatorik

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Kombinatorik 1

Einführung in die

Elementare Kombinatorik

Mit 2 Anhängen:

Anhang 1: Grundbegriffe der Mathematik

Anhang 2: Einführung in MAPLE

Prof. Siegfried Krauter

PH Ludwigsburg

2 S. Krauter

Vorwort des Autors

Dieses Skript möchte dem interessierten Leser (Schüler, Studierende, Lehrer, interes- sierte Laien) Gelegenheit geben, sich selbstständig in die elementare Kombinatorik und ihre grundlegenden Fragestellungen einzuarbeiten.

Als Vorbild nach Form und Inhalt schwebte mir dabei das exzellente Büchlein von

Ivan Niven; „Mathematics of Choice. How to Count without Counting“ vor.

„Elementar“ bedeutet nicht, dass die Inhalte besonders leicht und ohne intellektuelle Anstrengung erarbeitet werden könnten. „Elementar“ bedeutet hier nur, dass auf die Mittel der „höheren Mathematik“ (Analysis, Infinitesimalrechnung, Funktionentheorie, höhere Algebra etc.) verzichtet wird. Deshalb bleiben Themen wie z. B. „Erzeugende Funktionen“ oder gar die Abzähltheorie von Burnside außer Betracht. Auch die Be- schränkung auf elementare mathematische Werkzeuge bietet noch reichlich Gelegen- heit zur Lösung interessanter Problemstellungen.

Eine moderne Darstellung zur Kombinatorik muss die Existenz zeitgemäßer Rechen- hilfsmittel berücksichtigen. Das bedeutet in vielen Fällen eine anders geartete Behand- lung als ohne diese Hilfsmittel (Näherungen können durch genaue Rechnungen ersetzt werden). Wir haben aus diesem Grund ausführlichen Gebrauch von dem mächtigen und weit verbreiteten Computer-Algebra-System (CAS) MAPLE (in der Version 6) ge- macht und zu diesem Zweck im Anhang eine kleine Anleitung zum Gebrauch von MAPLE beigefügt.

Viele Hochschulbücher über Kombinatorik sind für Anfänger oder mathematische Laien viel zu anspruchsvoll geschrieben und zu steil im Vorgehen. Dem will dieses Skript ab- helfen. Es bietet einen Weg in die Thematik, ohne all zu viele Vorkenntnisse beim Leser vorauszusetzen. In der Regel werden zunächst konkrete Beispiele in Form von Übungs- aufgaben behandelt, bevor ein allgemeiner Sachverhalt formuliert wird. Wir haben ver- sucht, lerntheoretische Aspekte im Aufbau zu berücksichtigen und dem Leser Erfolgs- und Motivationserlebnisse zu verschaffen. Ohne eigene geistige Anstrengungen bleiben Erfolgs- und Motivationserlebnisse jedoch aus. Deshalb empfehlen wir allen Lesern, die Aufgaben gründlich und sorgfältig zu bearbeiten und die Lösungswege zu reflektieren. Eine Sammlung von Übungsaufgaben mit Lösungen gibt Gelegenheit zur Vertiefung.

Gerne nehmen wir Ihre konstruktive Kritik sowie Hinweise auf Mängel oder Fehler ent- gegen: [email protected] oder [email protected].

Ich wünsche allen Leserinnen und Lesern viel Spaß und viel Erfolg.

Pädagogische Hochschule Ludwigsburg

im Winter 2005/

Prof. Siegfried Krauter

4 S. Krauter

1. Stichproben

1.1 Einführende Beispiele

Kombinatorik ist die Theorie der endlichen Mengen. Inhaltlich geht es dabei um das Auswählen von Objekten aus gegebenen Gesamtheiten, um das Zusammenfassen der ausgewählten Objekte zu neuen Objekten (z. B. durch Mengenbildung), um das Anord- nen der ausgewählten Objekte in bestimmten Reihenfolgen (z. B. Listenbildung) und schließlich und hauptsächlich um das Abzählen der Objekte.

Aufgabe der Kombinatorik ist es daher, die Anzahl der Elemente von endlichen Mengen zu bestimmen , sie ist also „die Kunst des geschickten Zählens“.

Beispiel 1: „Geschicktes Zählen erspart Rechnen“.

Abb.1 Abb.

Gegeben seien n Punkte, die in Form der Ecken eines regelmäßigen n-Ecks auf einer Kreislinie angeordnet sind. In Abb. 1 und 2 haben wir n = 8 gewählt.

Problemstellung:

Wie viele verschiedene Verbindungsstrecken gibt es, wenn man jeden dieser n Punkte mit jedem anderen durch eine Strecke verbindet?

Erstes Lösungsverfahren:

Wir fangen an, diese Verbindungsstrecken schrittweise einzuzeichnen und stellen fest:

Vom 1. Punkt aus können wir n – 1 Strecken zeichnen (Begründung! Siehe Abb.1).

Vom 2. Punkt aus können wir nur noch n – 2 Strecken zeichnen (Begründung!).

Vom 3. Punkt aus können wir nur noch n – 3 Strecken zeichnen (Begründung!).

...

Als Gesamtzahl V(n) aller möglichen Verbindungsstrecken erhalten wir demnach

V(n) = (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + (n – 4) + ... + 3 + 2 + 1

= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) = Summe der (n – 1) ersten natürlichen Zahlen = S(n – 1).

Kombinatorik 5

Berechnen Sie diese Summe für den vorliegenden Fall n = 8 und für den Fall n = 100.

Die Frage nach dem Ergebnis für n = 100 dürfte den Leser bereits vor Probleme stellen, denn das Ausrechnen der Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen ist aufwendig – es sei denn man kennt dafür ein einfaches Verfahren.

Wir werden uns nun einem zweiten Lösungsverfahren zuwenden, das vom fertigen Bild ausgeht (Abb. 2). Das erste Lösungsverfahren hat ja das Einzeichnen der Strecken Schritt für Schritt, sozusagen „in statu nascendi“, verfolgt. Nun betrachten wir das fertige Bild.

Zweites Lösungsverfahren:

Beim Betrachten des fertigen Bildes (Abb. 2) entdecken wir, dass von jedem der n Punkte genau n – 1 verschiedene Strecken ausgehen. Wir könnten also argumentie- ren, dass es insgesamt n * (n – 1) solcher Verbindungsstrecken gibt. Dabei haben wir jedoch jede Strecke zwei Mal gezählt, von jedem ihrer Endpunkte aus ein Mal.

Die richtige Zahl der Strecken ist daher die Hälfte dieses Wertes, also

n*(n-1) 2

Nachbetrachtung und Folgerungen:

Sowohl beim ersten wie beim zweiten Lösungsverfahren haben wir dieselben Objekte gezählt, also muss sich bei beiden Zählweisen dasselbe Ergebnis herausstellten und wir erhalten folgende Formel:

V(n) = S(n-1) = 2

*n (n − 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + (n – 1)

Für n Punkte ergab sich als Anzahl der Verbindungsstrecken die Summe der ersten n – 1 natürlichen Zahlen, die wir mit V(n) = S(n – 1) bezeichnet haben.

Wenn wir nun die Summe der ersten n natürlichen Zahlen mit S(n) bezeichnen, so erhält man damit eine Formel für die Summe S(n) der n ersten natürlichen Zahlen:

S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n = 2

*n (n + 1)

Mit dem vorliegenden sehr einfachen Beispiel haben wir bereits einige grundlegende Arbeitsweisen der Kombinatorik benutzt, die wir noch ein wenig reflektieren wollen.

Aufgabe 1:

a) Warum muss man beim ersten Lösungsverfahren addieren , beim zweiten jedoch multiplizieren?

b) Zählt man dieselben Objekte auf zwei verschiedene Weisen, so kann man stets eine Formel gewinnen, indem man die Ergebnisse gleich setzt. Begründung!

c) Warum kann man die Resultate, die sich beim vorliegenden Beispiel n = 8 erge- ben haben, ohne weiteres auf beliebige Anzahlen n übertragen?

d) Wie kann man die obige Formel für die Summe der n ersten natürlichen Zahlen noch auf andere Weise erhalten?

Kombinatorik 7

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugeln verschiedenfarbig sind bzw. dass sie gleichfarbig sind?

Bevor wir das Problem lösen, wollen wir unsere Intuition einsetzen und schätzen.

Aufgabe 3:

Füllen Sie folgende Tabelle Schritt für Schritt von links her aus, indem Sie die Wahr- scheinlichkeiten in Prozenten schätzen:

Anzahl n 1000 100 50 20 10 5 3 2 Wahrscheinlichkeit für verschiedenfarbig Wahrscheinlichkeit für gleichfarbig

Vielleicht möchten Sie - nach dem ersten Durchgang am Ende angekommen - Ihre Schätzung nochmals revidieren?

Lösung:

Wir stellen die Situation für n = 4 Kugeln bildlich dar (Abb. 3).

Einen „Griff von zwei Kugeln“ können wir durch eine Verbindungs- strecke der beiden Kugeln darstellen. Abb. 3

Damit ergibt sich das nebenstehende Bild, aus dem man das Ergebnis für den Fall von

4 Kugeln sofort ablesen kann: Man erhält die Wahrscheinlichkeit von je 6

sowohl für den Fall gleichfarbiger wie für den Fall verschiedenfarbiger Kugeln.

Aufgabe 4:

a) Lösen Sie die Aufgabe analog zum Fall n = 4 für die Fälle n = 3, 5 und 10.

b) Geben Sie mit Hilfe der Überlegungen von Beispiel 1 eine allgemeine Lösung für beliebiges n an und überprüfen Sie Ihre Schätzungen.

c) Identifizieren Sie den strukturellen Kern dieser Aufgabe und wenden Sie das Er- gebnis auf verschiedene Situationen an. Beschreiben Sie diese.

d) Zeigen Sie: Es gibt genau

n (n-1) 2

i verschiedene Möglichkeiten, aus n verschiede-

nen Objekten genau 2 auszuwählen. Es gibt ebenso viele Möglichkeiten, aus n ver- schiedenen Objekten genau n – 2 auszuwählen.

Beispiel 3: „Entweder - oder“

Wir wollen als drittes Beispiel eine Grundstruktur behandeln, die viele verschiedene Einkleidungen zulässt. Wir wählen einen der weniger bekannten Zugänge.

Eine Folge von Zeichen, für die es nur zwei Möglichkeiten gibt (z. B. 0 oder I) nennen wir eine „ Dualkette “. So sind z. B. „ABBA“ oder „MIMI“ oder „0001010“ oder „I0II0III0IIII0“ oder „UHU“ u. v. a. m. solche Dualketten. Beispiele aus dem Alltag sind

8 S. Krauter

etwa die Strichcodes (Barcodes) zur Preisauszeichnung von Waren oder das berühmte Morse-Alphabet. Die Anzahl n der in einer Dualkette vorkommenden Zeichen nennen wir die Länge der Kette und sprechen von einer n-Dualkette.

Problemstellung:

Bei wie vielen verschiedenen Dualketten der Länge 10 (d. h. Ketten aus 10 der Zeichen 0 oder 1) stehen keine zwei Nullen nebeneinander?

Lösung:

Wir sammeln Erfahrungen an einfachen Fällen mit Ketten der Länge n = 1, 2, 3...:

n = 1: Es gibt insgesamt nur zwei solcher Ketten, nämlich 0 und 1 und beide erfüllen die gestellte Forderung „keine Nachbarnullen“. Es ist also F(1) = 2.

n = 2: Von den vier möglichen Fällen der Länge 2 fällt einer weg, nämlich 00, es blei- ben also 3, und wir finden F(2) = 3.

n = 3: Von den 8 möglichen Fällen der Länge 3 müssen wir die 3 mit Nachbarnullen ausschließen, nämlich 000, 001, 100. Es bleiben also 5 und wir erhalten F(3) = 5.

n = 4: Untersuchen Sie den Fall n=4 sowie die Fälle n = 5 und n = 6 selbst. Entdecken Sie eine Strategie? Können Sie ihre bisherige Arbeit für die Untersu- chung der weiteren Fälle nutzen?

Wir wollen uns die Sache einmal für n = 10 überlegen:

Es gibt zwei Sorten Dualketten der gesuchten Art: Entweder sie beginnen mit einer 0 oder sie beginnen mit einer 1.

• Fall 1: Beginn mit einer 0 an der ersten Stelle.

Schreiben Sie sich zunächst einige Beispiele auf. In allen diesen Fällen muss an der zweiten Stelle offenbar eine 1 stehen (Begründung?). Was bleibt nun übrig, wenn wir diese beiden ersten Zeichen, die ja bei allen diesen Ketten gleich sind, wegstrei- chen? Übrig bleiben doch sämtliche möglichen Dualketten der Länge 8, bei denen keine zwei Nullen benachbart sind. Es gibt also genau so viele 10-Dualketten ohne Nach- barnullen, die mit einer 0 beginnen, wie es insgesamt 8-Dualketten ohne Nachbar- nullen gibt, also in unserer Notationsweise F(8) Stück.

• Fall 2: Beginn mit einer 1 an der ersten Stelle.

Wieder sollten Sie zunächst einige dieser Dualketten notieren. Offenbar ist es nun gleichgültig, ob an der zweiten Stelle eine 0 oder eine 1 folgt. Daher haben die sämtlichen Ketten dieser Sorte nur die erste Ziffer 1 gemeinsam. Was bleibt übrig, wenn wir diese wegstreichen? Übrig bleiben offenbar sämtliche möglichen 9-Dualketten ohne Nachbarnullen, da- von gibt es aber genau F(9) Stück.

• Zusammenfassung:

Alle möglichen 10-Dualketten ohne Nachbarnullen sind entweder die von Fall 1 oder die von Fall 2 und daher muss es genau F(10) = F(8) + F(9) verschiedene Fälle geben.

10 S. Krauter

natsum :=proc ( n integer :: ) if n = 1 then return 1 else return n +natsum ( n − 1 )end if end proc

natsum(9); natsum(10); natsum(100);

45 55 5050

b) Die Fibonacci-Folge

Die Vorschrift f(1) = 1, f(2) = 1 zusammen mit der Rekursion f(n) = f(n - 1) + f(n – 2) ergibt die Folge der Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … die so genannte Fibonacci- Folge. Wir fassen dies in einer kurzen Funktionsdefinition zusammen:

f(n) = 1 falls n = 1 oder n = 2 f(n – 1) + f(n – 2) sonst

Diese Definition übertragen wir nun ganz analog in die Programmiersprache MAPLE und erstellen ein rekursives Programm:

fib := proc(n::integer);

if n=1 or n=2 then return 1; else return fib(n-1) + fib(n-2); end if; end proc;

fib :=proc ( n integer :: ) if n = 1 or n = 2 then return 1 else return fib( n − 1 )+fib( n − 2 )end if end proc

fib(3);fib(4);fib(5); fib(10); fib(20);

2 3 5 55 6765

Dieses Programm ist zwar elegant zu schreiben, aber es wird außerordentlich rechen- aufwendig für größere Werte von n (spätestens ab n = 50).

Wir werden für diesen Fall ein weniger elegantes, jedoch sehr effizientes iteratives Programm erstellen, das auch für große Zahlen n den Wert in kürzester Zeit ermittelt, indem es die vorherigen Werte alle auflistet. Dazu müssen wir einige Listenoperationen in der Programmiersprache MAPLE kennen lernen:

Aus einer Liste L kann man auf das erste, zweite dritte, …bzw. das letzte, vorletzte,… Element durch folgende Operationen zugreifen: L[1]; L[2], L[3], …bzw. L[-1], L[-2], …

Mit der Liste L := [a, 1, extra, b, 37] erhält man z. B. L[3] = extra und L[-2] = b.

Ein Element x kann man in einer Liste L hinten anfügen mit Hilfe von [op(L), x].

In unserem Beispiel erhält man [op(L), x] = [a, 1, extra, b, 37, x].

Damit erhalten wir folgende Prozedur:

Kombinatorik 11

> fibit:=proc(n::integer) Man definiert eine Prozedur fibit mit einer Variablen

local erg::list,i::integer; erg und i werden als lokale Variable vom Typ Liste bzw. Ganzzahl festgelegt erg:= [1,1]; In erg werden die beiden Anfangswerte eingetragen. for i from 1 to (n-2) do; Von i=1 bis i=n-2 tue Folgendes: erg:= [op(erg),erg[-1]+ erg[-2]]; Ergänze die Liste mit der Summe der beiden Endglieder als weiteres Endglied end do; erg; Gib die Liste erg aus end proc;

fibit :=proc ( n integer :: ) local erg list :: , i integer :: ; erg :=[ 1 1 ;, ] for i to n − 2 do erg :=[ op ( erg ), erg [ -1 ]+ erg [ -2 ]]end do; erg

end proc

fibit(3);fibit(4);fibit(5); fibit(6); fibit(7); fibit(10); fibit(20);

[ 1 1 2, , ]

[ 1 1 2 3, , , ]

[ 1 1 2 3 5, , , , ]

[ 1 1 2 3 5 8, , , , , ]

[ 1 1 2 3 5 8 13, , , , , , ]

[ 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55, , , , , , , , , ]

[ 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ]

Aufgabe 6:

Programmieren Sie die angegebenen Prozeduren in MAPLE oder mit einem anderen passenden Computer-Algebra-System.

Kombinatorik 13

Summenregel (Entweder-Oder-Regel):

Haben n Elemente einer Menge M eine Eigenschaft A und k Elemente diese Eigenschaft A nicht, so besteht M aus n + k Elementen. Man schreibt:

⏐ M ⏐ = ⏐ A ⏐ + ⏐ A ⏐ („Anzahl von M = Anzahl von A + Anzahl von nicht-A“)

Erweiterung 1 : (mehrere Klassen)

Ist M = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ ... ∪ An eine vollständige und disjunkte Zerlegung von M (d. h. jedes Element von M kommt in mindestens einer der Klassen Ai vor und kein Element kommt in mehr als einer der Klassen vor, also jedes in genau einer Klasse ) so gilt:

⏐M⏐ = ⏐A 1 ⏐+⏐A 2 ⏐+⏐A 3 ⏐+ ... +⏐An⏐.

Beispiele solcher Zerlegungen sind etwa Klasseneinteilungen, bei denen noch verlangt wird, dass keine Klasse leer ist, also Ai ≠ ∅ und damit ⏐ Ai ⏐≠ 0 für alle i.

Erweiterung 2 : (nicht disjunkter Fall)

⏐A∪B⏐=⏐A⏐+⏐B⏐ – ⏐A∩B⏐

Aufgabe 2:

a) Beweisen Sie diese erweiterte Summenregel. Zeichnen Sie ein Mengenbild. Versuchen Sie, diese Regel auf drei Mengen zu erweitern. Verallgemeinerung?

b) Behandeln Sie selbst den nicht disjunkten Fall für drei (oder gar vier) Mengen. Benutzen Sie ein Mengendiagramm (Venn-Diagramm). ⏐A ∪ B ∪ C⏐ =?

b) Die Produktregel:

Bsp. 1:

Ein Mädchen hat im Schrank 3 Blusen und 2 Röcke (wobei jede Bluse mit jedem Rock getragen werden kann!). Wie viele Kombinationsmöglichkeiten für Rock und Bluse gibt es? Stellen Sie Ihr Er- gebnis auf verschiedene Weisen dar.

Bsp. 2:

Wie viele verschiedene Wege führen von A über B und C nach D?

A B C D

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Bsp. 3:

Beim Schachbrett werden die Zeilen mit den Buchstaben A, B, C, D, E, F, G und H und die Spalten mit den Ziffern 1, 2, 3, ... , 8 bezeichnet. Auf welchem Feld sitzt der schwar- ze König zu Beginn, auf welchem die weiße Dame? Welche Plätze werden von den weißen Bauern eingenommen? Wie viele Felder gibt es insgesamt?

Bsp. 4:

Kartesisches Produkt von zwei Mengen : Eine Menge A hat n Elemente, eine zweite Menge B hat k Elemente. Wie viele verschiedene geordnete Paare der Form (x; y) kann man bilden, wobei x∈A und y∈B sein muss? Man vergleiche damit die Felder eines Schachbretts.

Bsp. 5:

Ziehungen aus einer Urne (ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge):

Aus einer Urne mit n verschiedenen Gegenständen (z. B. nummerierten Murmeln) werden zwei (drei, vier, ...) nacheinander gezogen und in der gezogenen Reihenfolge nebeneinander gelegt. Der gezogene Gegenstand wird also nicht mehr zurückgelegt. Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich, wenn man die Reihenfolge der gezo- genen Murmeln berücksichtigt?

Zusatz zu Bsp. 5:

Man notiert die Nummer der gezogenen Kugel und legt diese vor dem nächsten Zug wieder zurück. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun bei 1, 2, 3, 4, ... n Ziehungen?

Bei allen Beispielen bieten sich vor allem folgende Darstellungsformen (Bsp.1) an:

• Man zeichnet einen Baum (Entscheidungsbaum) :

R

R

B

R

B

R

B

R

R

• Man stellt die Ergebnisse in Form von geordneten Paaren (Kreuzprodukt) dar:

(Bluse1; Rock1); (Bluse1; Rock2); (Bluse2; Rock1); ... ; (Bluse3; Rock2). Zu jeder der 3 Blusen kann man jeden der 2 Röcke kombinieren, also hat man 3 * 2 = 6 Paare.

16 S. Krauter

k) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die 26 Buchstaben des Alphabets in unterschiedlicher Reihenfolge nebeneinander zu schreiben?

l) Wie viele verschiedene „Wörter“ kann man aus den vier Buchstaben des Wortes „BEIL“ bilden, wenn man stets alle vier Buchstaben verwendet? Einige davon erge- ben sogar wieder sinnvolle Worte der deutschen Sprache, welche?

Beispiele zur Computernutzung:

a) Potenz

Für natürliche Zahlen a und b soll die Potenz ab^ berechnet werden. Man kann dies rekursiv tun in folgender Weise:

pot (a, b) = 1 falls b = 0

a * pot (a, b – 1) sonst

Damit ergibt sich folgende MAPLE-Prozedur:

pot:=proc(a,b::integer);

if b = 0 then 1; else a * pot(a, b-1); end if; end proc; pot :=proc ( a , b integer :: ) if b = 0 then 1 else a ×pot( a , b − 1 )end if end proc

pot(2,10);

1024

b) Fakultät

Die Fakultät kann wieder rekursiv wie folgt definiert werden:

fak (n) = 1 falls n = 0

n * fak (n – 1) sonst

Damit ergibt sich die folgende MAPLE-Prozedur:

fak:=proc(n::integer);

if n=0 then 1; else n * fak(n-1); end if; end proc; fak :=proc ( n integer :: ) if n = 0 then 1 else n ×fak( n − 1 )end if end proc

fak(1); fak(5); fak(10);

1 120 3628800

Kombinatorik 17

1.3 Geordnete Stichproben mit Wiederholung:

Kombinationen mit Wiederholung mit Beachtung der Reihenfolge

Zunächst behandeln wir in den Kapiteln 1.3 und 1.4 die so genannten geordneten Stichproben (Auswahlen) , bei denen die Reihenfolge der Auswahl wesentlich zu be- rücksichtigen ist. Daran anschließend werden in Kapitel 1.5 und 1.6 die ungeordneten Stichproben behandelt, bei denen es auf die Reihenfolge nicht ankommt. Diese sind etwas schwieriger zu behandeln, als die geordneten.

Es geht in diesen Fällen darum, aus einer Gesamtheit von Dingen eine bestimmte An- zahl in bestimmter Reihenfolge auszuwählen. Dabei darf ein Objekt auch mehrfach ausgewählt werden (mit Wiederholung). Wir diskutieren einige wichtige Modelle:

a) Wortbildung über Alphabeten

α ) n = 1:

Gegeben sei ein Alphabet A = { ⏐ } mit genau einem Buchstaben (hier als Strich). Wörter über diesem Alphabet sind (geordnete) Listen aus den möglichen „Buchsta- ben“, die wir gemeinhin als Strichlisten kennen. Ganz offenbar gibt es zu jeder Länge k genau ein Wort, so z. B. zur Länge k = 4 nur die Strichliste mit vier Strichen: ⏐⏐⏐⏐.

β ) n = 2:

Das Alphabet besteht nun aus zwei Zeichen (Dualsystem oder Binärcode). Wir ver- wenden die Zeichen 0 und 1 und erhalten so das Alphabet B = {0, 1}. Wörter über diesem Alphabet sind Listen aus den Zeichen 0 oder 1, so genannte Dualketten. Wir verwenden den Ausdruck „Dualketten “ im Unterschied zu Dual zah- len. Bei Dualzahlen spielen führende Nullen keine Rolle und man lässt sie einfach weg. Im Gegensatz dazu sind führende Nullen bei Dualketten von Bedeutung. So sind z. B. 011 und 11 gleiche Dualzahlen, aber verschiedene Dualketten. Zur Länge k = 3 notieren wir nachfolgend alle möglichen Dualketten mit den dazu- gehörigen Dualzahlen: Dualkette 000 001 010 011 100 101 110 111 Dualzahlwert 0 1 2 3 4 5 6 7 Wie viele Dualketten der Länge k gibt es? (Baum, Stufenversuch). Begründen Sie: Es gibt genau 2k^ verschiedene Dualketten von Länge k.

γ ) n = 3:

Das Alphabet enthält nun drei verschiedene Zeichen: C = {0, 1, 2}. Ein Beispiel dafür liefern uns Tippreihen im 11-Toto: Jede Tippreihe ist ein Wort der Länge k = 11 über dem Alphabet C. Es gibt offenbar genau 3^11 = 177 147 ver- schiedene Möglichkeiten, eine Tippreihe auszufüllen. Begründen Sie dies mit Hilfe eines entsprechenden Baumes oder eines Stufenversuchs.

δ ) n = 10:

Als Alphabet können in diesem Fall die Ziffern des Dezimalsystems dienen: D = {0, 1, 2, 3,..., 9}. Die Wörter über diesem Alphabet sind Dezimal ketten (im Un- terschied zu Dezimal zahlen ). Es sind daher auch führende Nullen zugelassen.

Kombinatorik 19

1.4 Geordnete Stichproben ohne Wiederholung:

Kombinationen ohne Wiederholung mit Beachtung der Reihenfolge

Wir behandeln nun den Fall geordneter Auswahlen , bei denen sich die Elemente nicht wiederholen dürfen.

Um sich die Sache klar zu machen, sollten Sie vorab einmal sämtliche geordnete 2- Auswahlen aus der Menge {a, b, c} mit 3 Elementen in lexikografischer Reihenfolge aufschreiben und zwar einmal mit zugelassener Wiederholung und einmal ohne zuge- lassene Wiederholung. Was ist der Unterschied? In welchem Falle gibt es mehr?

a) Wortbildung über Alphabeten

Genau wie in Abschnitt 1.3 a) bilden wir nun Wörter über einem Alphabet. Der einzi- ge Unterschied ist jedoch der, dass sich in den Wörtern keine Buchstaben wiederho- len dürfen. Solche Wörter nennt man injektive Wörter. Injektiv heißt ein Wort, wenn kein Buchstabe mehr als einmal vorkommt, also jeder Buchstabe höchstens einmal. Das Wort „MATHE“ z. B. ist injektiv im Gegensatz zum Wort „STUDIUM“. Warum? Die Länge s des Wortes kann in diesem Fall höchstens gleich der Anzahl n der verschiedenen Buchstaben des Alphabets sein: s ≤ n. Warum geht s > n nicht? Beispiel: n = 26 und s = 4: Wir zählen alle injektiven Wörter der Länge 4 über dem gewöhnlichen Alphabet in lexikografischer Reihenfolge auf: abcd, abce, abcf, ..., zyxw.

Aufgabe 1:

a) Geben Sie die 15 ersten und die 10 letzten Wörter aus obigem Beispiel an.

b) Wie viele gibt es insgesamt? (Stufenversuch; Baumdiagramm; Urnenmodell)

c) Wie viele dieser Wörter fangen mit abc an (bzw. mit ab bzw. mit a)?

d) Was ist anders gegenüber dem Fall mit Wiederholung?

e) Wie sieht der zugehörige Baum aus?

b) Injektive Abbildungen einer r-Menge in eine s-Menge:

Eine Abbildung von A in B heißt injektiv , wenn jedes Element von B höchstens einmal als Bild vorkommt, also keines mehrfach. Beispiel: (r = 4 und s =7) A = {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 }; B = {b 1 , b 2 ,.b 3 , ..., b 7 }.

α = (^) ⎟⎟ ⎠

b 2 b 3 b 1 b 4

a 1 a 2 a 3 a 4 ist injektiv, β = (^) ⎟⎟ ⎠

b 1 b 2 b 1 b 3

a 1 a 2 a 3 a 4 dagegen nicht injektiv.

Woran erkennt man, dass α injektiv ist und woran, dass β nicht injektiv ist? Notwendigerweise ist bei injektiven Abbildungen r ≤ s. Warum? Die zweite Zeile legt die Abbildung eindeutig fest. Diese stellt aber ein injektives r-Wort über einem s-Alphabet dar.

20 S. Krauter

Man kann sich die Festlegung einer injektiven Funktion aus A in B denken als einen Versuch in r Stufen:

• Stufe 1: Auswahl eines Bildelements aus B für das Element a 1 von A.
• Stufe 2: Auswahl eines Bildelements aus Rest-B für das Element a 2 von A.
• Stufe 3: ...
• ...
• Stufe r: Auswahl eines Bildelements für ar aus den in B noch verbliebenen. Wie viele Möglichkeiten zur Auswahl gibt es auf Stufe 1, 2, 3, 4, 5, ... r? Skizzieren Sie einen Baum und notieren Sie das Ergebnis für r = 4 und s = 7.

Ergebnis: Die Anzahl der injektiven Abbildungen einer r-Menge in eine s-Menge ist gleich der Anzahl der injektiven r-Wörter über einem s-Alphabet:

s * (s – 1) * (s – 2) * (s – 3) * ... * (s – r + 1) = (s r)!

s! −

Machen Sie sich nochmals vor allem den letzten Faktor (s – r + 1) klar! Vorsicht, hier befindet sich eine beliebte Fehlerquelle!

c) Urnenziehungen mit Beachtung der Reihenfolge aber ohne Zurücklegen.

Aus einer Urne mit n verschiedenen (z. B. nummerierten oder gefärbten) Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen s Stück gezogen und jeweils die Nummer notiert (zur Beachtung der Reihenfolge der Ziehungen). Warum ist sicher s ≤ n? Was ändert sich gegenüber den Überlegungen in Kap. 3 c), in dem Wiederholung zugelassen war (also dort mit Zurücklegen)? Skizzieren Sie einen Baum. Notieren Sie für jede Stufe die Anzahl der Möglichkeiten. Entwickeln Sie daraus eine Berechnungsstrategie.

Ergebnis:

Die Anzahl der s-Auswahlen aus n Objekten ohne Wiederholung aber mit Be-

rücksichtigung der Reihenfolge ist: n * (n – 1) * (n – 2) * .... * (n – s + 1) = (n s)!

n! −

Eine algebraische Umformung des Ausdrucks n * (n-1) * ... * (n-s+1) durch Erwei-

tern mit (n – s)! ergibt: n * (n – 1) * (n – 2) * .... * (n – s + 1) = (n s)!

n! −

s

**n

• s!**

Die zum letztgenannten Term gehörige Strategie lernen wir in Kap. 5 kennen.