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Prof. Dr. Wandinger 1. Elastizitätstheorie Höhere Festigkeitslehre

3. Elastizitätsgesetz

3.1 Grundlagen

3.2 Isotropes Material

3.3 Orthotropes Material

3.4 Temperaturdehnungen

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3.1 Grundlagen

● Elastisches Material:

• (^) Bei einem elastischen Material besteht ein eindeutig um- kehrbarer Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und dem Verzerrungstensor:
• (^) Der Zusammenhang wird durch die tensorwertige Tensor- funktion f beschrieben. ●

Linear-elastisches Material:

• (^) Bei einem linear-elastischen Material ist die Tensorfunktion f linear, d.h. es gilt:  = f (^)  (^)  , = f − 1  ^  f (^)    1   2 = f (^)   1  f (^)   2 

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3.1 Grundlagen

● Voigtsche Schreibweise:

• (^) Wenn die Spannungen und Verzerrungen durch Spal- tenmatrizen beschrieben werden, lässt sich das all- gemeine Hookesche Gesetz durch Matrizen ausdrücken.
• (^) Da die Tensoren σ und ε symmetrisch sind, genügen sechs Komponenten.

{^ }=

[  (^) x  (^) y  (^) z  xy  yz  xz ]

[  x  y  z  xy  yz  xz ]

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3.1 Grundlagen

• (^) In Voigtscher Darstellung lautet das Hookesche Gesetz:
• (^) Die Matrix { E } heißt Elastizitätsmatrix. [

x  y  z  xy  yz  xz ]

[

E

11

E

12

E

13

E

14

E

15

E

16 E 12 E (^) 22 E 23 E (^) 24 E 25 E 26 E 13 E 23 E 33 E 34 E 35 E 36 E 14

E

24

E

34

E

44

E

45

E

46 E 15

E

25

E

35

E

45

E

55

E

56 E 16

E

26

E

36

E

46

E

56

E

66 ][

x  y  z  xy  yz  xz ] {^ }={ E^ } {^ }

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3.2 Isotropes Material

● Definition:

• (^) Bei einem isotropen Material hängt das Elastizitätsgesetz nicht vom Koordinatensystem ab.

● Nachgiebigkeitsmatrix:

• Die Normalspannung^ σ x verursacht die Dehnungen
• (^) Dabei ist E der Elastizitätsmodul und ν die Querkontrakti- onszahl.
• Die Gleichheit der Dehnungen^ ε y und ε z folgt aus der Isotro- pie.

x

E

x

y

E

x

z

E

x

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3.2 Isotropes Material

• Die Normalspannung^ σ y verursacht die Dehnungen
• Die Normalspannung^ σ z verursacht die Dehnungen
• (^) Die Schubspannungen verursachen die Scherungen
• (^) Die Konstante G heißt Schubmodul.  x =−  E  (^) y ,  y = 1 E  (^) y ,  z =−  E  (^) y  x

E

z

y

E

z

z

E

z  xy =

G

 xy ,  yz =

G

 yz ,  xz =

G

 xz

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3.2 Isotropes Material

• (^) Die Verzerrungen für einen allgemeinen räumlichen Span- nungszustand ergeben sich durch Überlagerung: [  x  y  z  xy  yz  xz ]

E

[

(^0 0 0 2)  1  (^)  0 0 (^0 0 0 0 2)  1  (^)  0 (^0 0 0 0 0 2)  1  (^)  ][  x  y  z  xy  yz  xz ]

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3.2 Isotropes Material

● Elastizitätsmatrix:

• (^) Inversion der Nachgiebigkeitsmatrix führt auf
• (^) Für ν = 0,5 ist die Inversion nicht möglich.

[

 x  (^) y  z  xy  yz  xz

]

= E

[

1 −   0 0 0  1 −  0 0 0   1 − 0 0 0 0 0 0 1 − 2  2 0 0 0 0 0 0 1 − 2  2 0 0 0 0 0 0 1 − 2  2

]

[

 x  y  z  (^) xy  yz  xz

]

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3.2 Isotropes Material

● Kompressionsmodul:

• (^) Für die Dilatation gilt:
• (^) Die Konstante heißt Kompressionsmodul.

v

x

y

z

E

  x −^  y −^  z −^  x  y −^  z −^  x −^  y  z 

E

 x  y  z = (^3)  1 − 2  E

m

K

m K =

E

(^3)  1 − 2  (^) 

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3.2 Isotropes Material

• (^) Für ν = 0,5 gilt:
• (^) Ein Werkstoff, dessen Volumen sich unter Belastung nicht ändert, wird als inkompressibel bezeichnet.
• (^) Da sich die Nachgiebigkeitsmatrix für ν = 0,5 nicht invertie- ren lässt, benötigen inkompressible Werkstoffe spezielle Materialgesetze.  v = 0

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3.2 Isotropes Material

• (^) Aus den Randbedingungen folgt:
• (^) Daraus folgt für die Scherungen:
• (^) Aus dem Materialgesetz folgt:
• (^) Aus dem Kräftegleichgewicht in z -Richtung folgt:  xy = yz = xz = 0 [  (^) x  (^) y  (^) z ] = E  1 ^   1 −^2 ^  (^) [ 1 −    1 −    1 − ][ 0 0  z ]

xy

yz

xz

z =− p  x = y = 0

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3.2 Isotropes Material

• (^) Aus der letzten Gleichung des Materialgesetzes folgt:
• (^) Einsetzen in die beiden anderen Gleichungen ergibt:
• (^) Für ν = 0,3 gilt z.B.:
• (^) Die Dehnungsbehinderung führt zu einem räumlichen Spannungszustand. − p = z

E (^)  1 − ^1  ^1 −^2 

z

z

^1  ^1 −^2  E (^)  1 − p  x = y = E   1 ^   1 −^2 ^   z =−  1 − p  z =−

p E ,  x = y =−

p

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3.2 Isotropes Material

A B C D D' C' F x F y z z z y x σ σ σ z σ x σ y D C σ x B' A'

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3.3 Orthotropes Material

● Definition:

• (^) Bei einem orthotropen Material gibt es drei senk- recht aufeinander ste- hende Ebenen, bezüglich denen die Materialeigen- schaften symmetrisch sind.
• (^) Faserverbundwerkstoffe und Laminate zeigen ein orthotropes Materialver- halten. x y z