Faktorisieren - Binomische Formeln (Arbeitsblatt mit Lösungen), Übungen von Mathematik

Nur auf Docsity: Lade Faktorisieren - Binomische Formeln (Arbeitsblatt mit Lösungen) und mehr Übungen als PDF für Mathematik herunter! Seite 1 Faktorisieren - Binomische Formeln 1 Faktorisieren bedeutet eine Summe oder Differenz in ein Produkt zu verwandeln. Mit faktorisierten Termen kann man häufig deutlich besser weiterrechnen. Verschiedene Verfahren zum Faktorisieren: Ausklammern Beispiel: x2 + 4x = x ⋅ ( x + 4 ) Vorsicht: Das Ausklammern einer Zahl reicht nicht zum Faktorisieren. Erste binomische Formel: ( a + b )² = a² + 2ab + b² Nicht vergessen: ( a + b )² = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) Zweite binomische Formel: ( a – b )2 = a2 - 2ab + b2 Nicht vergessen: ( a – b ) 2 = ( a – b ) ⋅ (a – b ) Dritte binomische Formel: ( a + b ) ⋅ ( a – b ) = a2 - b2 1. Klammere größtmögliche gemeinsame Faktoren aus: 35ab – 21a2b + 63ab2 =___________________ 42k3l2m – 77k2l3m2 - 14k2l2m2 = _________________ 2. Vereinfache so weit wie möglich: -18f – [-16g + (- 28f +2 – 20g)] = __________________ (d + 3e) 2 = ______________________ (5x - y) 2 = ______________________ ( 5 6 u − 7 2 v) 2 = _________________________ (3x - 4y) (6y + 7x) = ______________________ (3x + 4)2 - (3 - 2x)2 =______________________ 2y (3y - 8x) (3y + 8x) =_____________________ 3. Fülle die Lücken: c2 + 34c + _____ = ( _____ + ______ ) 2 9x2 + _____ + 25y2 = (3x + _____ )2 Seite 2 Faktorisieren – Binomische- Formeln 2 1. Verwandle in ein Produkt (= Faktorisiere): a) 9x2 + 78x + 169 =________________ b) 0,49a2 - 0,25b2 =__________________ 2. Klammere vor dem Faktorisieren einen geeigneten Faktor aus: a) 3x2 - 6xy + 3y2 =______________________ b) 8u2 - 18y2 =______________________ 3. Gib die Oberfläche des Quaders mit einem Term an (nur Term, keine Berechnung) x-1 4x+1 2x 4. Klammere einen gemeinsamen Faktor aus. a) 5a + 5b b) 3x + 3y c) 4x + 4y d) 8ab + 8cd e) 15m + 5 n f) 3e + 6f 5. Klammere einen gemeinsamen Faktor aus. a) 4x – 2y b) 12m – 8n c) 9r – 3s d) 2ab – 4xy e) 20r – 5s f) 5p – 20q 6. Faktorisiere so, dass in der Klammer ein möglichst einfacher Term entsteht. a) 8ab + 4ac b) 24x2 + 8xy c) 40uv2 – 32u2v d) 4xy – 16xz e) 12a2b2 – 4ac f) 12rs + 32st 7. Faktorisiere. a) 15a – 5 b) r2s – s c) 9mn – 3m d) 24x2y2 – 4x e) 15x + 10 f) x2y + x 8. Faktorisiere. a) uv – uvw – u2v b) 4rs – rt + r c) 6ab + 18b – 2bc d) 12x – 18xy + xz e) 3ab + 9a – ax f) ab + 8a + a2 Seite 5 Faktorisieren – Binomische- Formeln 5 1. Hier wurden Fehler gemacht, berichtige die Fehler (4a + 4) 2 = 16a2 + 16a + 16+ (-1a - 6) 2 = -a2 - 12a + 36 (-10x + 7) 2 = 100x2 - 140x + 49x (9x – 8) 2 = 81x2 - 126x + 64 (4b – 4c) (4b + 4c) = 16b2 - 8c2 2. Fülle die Lücken so, dass Binome entstehen (x + ___)2 = ___ + 2xy + ____ (x + ___)2 = ___ + 6xy + ___ (2x - ___) (___ + ___) = ___ - 25y2 (x - ___)2 = ___ - 4xy + ___ (___ - 7y) 2 = 9x2 - ___ + ___ (___ + ___)2 = 4x2 + 52xy + ___ 3. Verwandle in ein Produkt a2 - 4ab + 4b2 = _______________ 4x2 + 20x +25 = ______________ 36n2 - 1 = ____________ 900m² - 6400 n2 = _____________ 9b2 + 6bc + c2 = _____________ x2 - xy + 1 4 y² = _______________ 49 – b2 = _______________ v2 + 18uv + 81u2 = _____________ 3. Forme in eine Summe oder Differenz um. Vereinfache dabei soweit wie möglich. (a + 4) 2 = __________ (x – 0,5) 2 = _________ (2x – 1) (2x + 1) = ___________ (0,1z – 10) 2 = __________ (3x + 7) 2 – (3x – 7) 2 = ___________ (8a – 1) 2 + (4a + 1) (4a – 1) = ______ 4. Ergänze zunächst so, dass Du eine binomische Formel anwenden kannst. Wandle anschließend in ein Produkt um. ______ - 32a + 64 = _______________ 1 4 a²x² + 2axy + ______ = __________________ 5. Faktorisiere mit Hilfe einer binomischen Formel. Manchmal musst Du vorher einen Faktor ausklammern. 25a2 – 50a + 25 = _____________ 2c2 – 32 9a2 + 6a + 1= ______________ 7a2 + 28ab + 28b2 = ________________________ 32x4 + 48x2y + 18y2 = ______________ z3 - z = ___________ Seite 6 Faktorisieren - binomische Formeln - Lösungen 1 1. Klammere größtmögliche gemeinsame Faktoren aus: 35ab – 21a2b + 63ab2 = 7 ab (5 – 3a + 9b) 42k3l2m – 77k2l3m2 - 14k2l2m2 = 7 k2l2m (6k -11lm - 2m) 2. Vereinfache so weit wie möglich: -18f – [-16g + ( - 28f + 2 – 20g)] = -18f – [ -16g - 28f + 2 - 20g] = -18f + 16g + 28f + 2 + 20g = 28f -18f +16g + 20g + 2 = 10f + 36g – 2 (d + 3e) 2 = d2 + 6de + 9e2 (5x - y) 2 = 25x2 - 10xy + y2 ( 5 6 u − 7 2 v) 2 = 25 36 u² − 2 ∙ 5 ∙7 6 ∙ 2 uv + 49 4 v² = 25 36 u² − 70 12 uv + 49 4 v² = 25 36 u² − 5 5 6 uv + 12 1 4 v² (3x - 4y) (6y + 7x) = 18xy + 21x2 - 24y2 - 28xy = 21x2 -10xy - 24y2 (3x + 4) 2 - (3 - 2x) 2 = 9x2 + 24x + 16 – (9 – 12x + 4x2) = 9x2 + 24x + 16 – 9 + 12x – 4x2 = 5x² + 36x + 9 2y (3y - 8x) (3y + 8x) = 2y ∙ (9y2 - 64x2) = 18y3 - 128x2y 3. Fülle die Lücken: c2 + 34c + 289 = ( c + 17 )2 9x2 + 30xy + 25y2 = ( 3x + 5y )2 Seite 7 Faktorisieren - binomische Formeln - Lösungen 2 1. Verwandle in ein Produkt (= faktorisiere): a) 9x2 + 78x + 169 = (3x + 13)2 b) 0,49a2 - 0,25b2 = (0,7a - 0,5b) (0,7a + 0,5b) 2. Klammere vor dem Faktorisieren einen geeigneten Faktor aus: a) 3x2 - 6xy +3y2 = 3 (x2 - 2xy + y2) = 3 (x - y)2 b) 8u2 - 18y2 = 2 ( 4u2 - 9y2 ) = 2 (2 u - 3y ) (2u + 3y) 3. Gib die Oberfläche des Quaders mit einem Term an. (nur Term, keine Berechnung) 2 (4x + 1) (x - 1) + 2 (2x) (x – 1) + 2 (4x + 1) (2x) 4. Klammere einen gemeinsamen Faktor aus. a) 5a + 5b = 5 (a + b) b) 3x + 3y = 3 (x + y) c) 4x + 4y = 4 (x + y) d) 8ab + 8cd = e) 15m + 5 n f) 3e + 6f = 8 (ab + cd) = 5 (3m + n) = 3 (e + 2f) 5. Klammere einen gemeinsamen Faktor aus. a) 4x – 2y b) 12m – 8n c) 9r – 3s = 2 (2x – y) = 4 (3m – 2n) = 3 (3r – s) d) 2ab – 4xy e) 20r – 5s f) 5p – 20q = 2 (ab – 2xy) = 5 (4r – s) = 5 (p – 4q) 6. Faktorisiere so, dass in der Klammer ein möglichst einfacher Term entsteht. a) 8ab + 4ac b) 24x2 + 8xy c) 40uv2 – 32u2v = 4a (2b + c) = 8x (3x + y) = 8uv (5v – 4u) d) 4xy – 16xz e) 12a2b2 – 4ac f) 12rs + 32st = 4x (y – 4z) = 4a (3ab² – c) = 4s (3r + 8t) 7. Faktorisiere. a) 15a – 5 b) r2s – s c) 9mn – 3m = 5 (3a – 1) = s (r² – 1) = s (r + 1)(r – 1) = 3m (3n – 1) d) 24x2y2 – 4x e) 15x + 10 f) x2y + x = 4x (6xy² – 1) = 5 (3x + 2) = x (xy + 1) 8. Faktorisiere. a) uv – uvw – u2v b) 4rs – rt + r c) 6ab + 18b – 2bc = uv (1 – w – u) = r (4s – t + 1) = 2b (3a + 9 – c) d) 12x – 18xy + xz e) 3ab + 9a – ax f) ab + 8a + a2 = x (12 – 18y + z) = a (3b + 9 – x) = a (b + 8 + a) Seite 10 = (a + 5)(a – 5) = (a + 5) 2 = (p – 6) 2 = (2 + x)(2 – x) e) 1 – p2 f) x2 + 14x + 49 g) a2 + 8a + 15 h) p2 + 9p + 18 = (1 + p)(1 – p) = (x + 7) 2 = (a + 5)(a + 3) = (p + 3)(p + 6) 6. a) 9x2 – 4y2 b) x2 + 7x + 6 c) y2 + 5y + 4 d) 1 + 4a + 4a2 = (3x + 2y)∙ (3x – 2y) = (x + 6)(x + 1) = (y + 4)(y + 1) = (1 + 2a) 2 e) 16 + 8x + x2 f) 1 – 4u2v2 g) 36q4 – 25q2 h) 1 – 10y + 25y2 = (4 + x) 2 = (1 + 2uv)∙ (1 – 2uv) = (6q2 + 5q)∙ (6q2 – 5q) = (1 – 5y) 2 7. a) 4a2 – 4ab + b2 b) n2 – n – 20 c) 7p2 + 8pq + q2 = (2a – b) 2 = (n + 4) (n – 5) = (7p + q) (p + q) d) z2 – 11z – 12 e) x4y4 – z4 f) 25p2 + 1 + 10p = (z – 12) (z + 1) = (x2y2 + z2) (x2y2 – z2) = (5p + 1) 2 8. a) b2 – 2b – 24 b) x2 + x – 12 c) 144y2 – 169 z2 = (b – 6)(b + 4) = (x + 4)(x – 3) = (12y + 13z)(12y – 13z) d) 81x2 + 36xy + 4y2 e) 64u2 + 25v2 – 80uv f) b2 – 2b + 1 = (9x + 2y) 2 = (8u – 5v) 2 = (b – 1) 2 9. Schreibe als Summe. 6 (x + 3y) = 6x + 18y 7x (2x + 3y) = 14x2 + 21xy 1,5 (3 – 4xa) = 4,5 – 6xa (7x + 3y) · (-x) = -7x2 - 3xy (8x + 4) : 2 = 4x + 2 (2a - 6) : (-2) = -a + 3 (-16y – 4y2) : 4y = -4 - y (2x – 12y) : 2 = x – 6y 10. Sue hat vergessen, Klammern zu setzen. Verbessere 2 · (7x + 4) = 14x + 8 3xy – 12x2 = 3x · (y – 4x) -5 · (5xy + 4x) = -25 · xy – 20 · x (2xy2z – 2xy) · 3x = 6x2y2 · z – 6x2y 21x3y – 12x2y2 + 9x2yz = (7x2y – 4xy2 + 3xyz) · 3x Seite 11 Faktorisieren - binomische Formeln Lösungen 5 1. Hier wurden Fehler gemacht, berichtige die Fehler. (4a + 4) 2 = 16a2 + 32a + 16 (-1a - 6) 2 = +a2 + 12a + 36 (-10x +7)2 = 100x2 - 140x + 49 (9x – 8)2 = 81x2 - 144x + 64 (4b – 4c) (4b + 4c) = 16b2 - 16c2 2. Fülle die Lücken so, dass Binome entstehen. (x + y) 2 = x2 + 2xy + y2 (x + 3y) 2 = x2 + 6xy + 9y2 (2x – 5y) · (2x + 5y) = 4x2 - 25y2 (x – 2y) 2 = x2 - 4xy + 4y2 (3x - 7y) 2 = 9x2 - 42xy + 49y2 (2x + 13y) 2 = 4x2 + 52xy + 169y2 3. Verwandle in ein Produkt a2 - 4ab + 4b2 = (a – 2b)2 4x2 + 20x + 25 = (2x + 5) 2 36n2 - 1 = (6n + 1)(6n – 1) 900m2 - 6400 n2 = (30m + 80n)(30m - 80n) 9b2 + 6bc + c2 = (3b + c)2 x2 - xy + 1 4 y² = (x − 1 2 y) 2 49 – b2 = (7 + b)(7 – b) v2 + 18uv + 81u2 = (v + 9u) 2 3. Forme in eine Summe oder Differenz um. Vereinfache dabei soweit wie möglich. (a + 4) 2 = a2 + 8a + 16 (x – 0,5) 2 = x2 - x + 0,25 (2x – 1) (2x + 1) = 4x2 - 1 (0,1z – 10) 2 = 0,01z2 - 2z + 100 (3x + 7) 2 – (3x – 7) 2 = [(3x + 7) – (3x – 7)] ∙ [(3x + 7) + (3x – 7)] = [14] ∙ [6x] = 84x (8a – 1) 2 + (4a + 1) (4a – 1) = 64a2 – 16 a + 1 + 16a2 – 1 = 80a2 – 16a 4. Ergänze zunächst so, dass Du eine binomische Formel anwenden kannst. Wandle anschließend in ein Produkt um. 4a2 - 32a + 64 = (2a – 8) 2 1 4 a²x² + 2axy + 4y2 = ( 1 2 ax + 2y) 2 5. Faktorisiere mit Hilfe einer binomischen Formel. Manchmal musst Du vorher einen Faktor ausklammern. 25a2 – 50a + 25 = 25 (a2 – 2a + 1) = 25 (a – 1) 2 2c2 – 32 = 2(c2 - 16) = 2 (c – 4)(c + 4) 9a2 + 6a + 1= (3a + 1) 2 7a2 + 28ab + 28b2 = 7(a2 + 4ab + 4b2) = 7(a + 2b) 2 32x4 + 48x2y + 18y2 = 2(16x4 + 24x2y + 9y2) = 2(4x2 + 3y) 2 z3 - z = z(z2 - 1) = z(z – 1)(z + 1)