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Skript zu Bauphysiksformeln der Universität Duisburg-Essen
Art: Formelsammlungen
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Formelsammlung Bauphysik
Wärme - Feuchte
IBPM
Univ.-Prof. Dr. Max J. Setzer
Dipl. Ing. S. Kasparek
Dipl.-Ing. M. Wehling
Prof. Dr.-Ing. R. Hohmann
Formelsammlung Wärme
Dipl.-Ing. A. Liebrecht
Stand 09/
Die physikalischen Größen und die verwendeten Indizes in der folgenden Sammlung entsprechen den
Vorgaben der aktuellen Normen:
EN ISO 7345, Wärmeschutz - Physikalische Größen und Definitionen, Jan. 1996
EN ISO 9346, Stofftransport - Physikalische Größen und Definitionen, Mai 1996.
Zur Veranschaulichung werden hier noch einmal alle benutzten Indizes aufgezählt und erklärt.
Beschreibung Index Ableitung
innen i i nterior
außen e e xterior
Oberfläche s s urface
innere Oberfläche si s urface i nterior
äußere Oberfläche se s urface e xterior
Wärmeleitung cd c on d uction
Konvektion cv c on v ection
Strahlung r r adiation
Kontakt c c ontact
gasgefüllter (luftgefüllter) Raum g g aseous
angrenzende Umgebung a a mbient
Dampf v v apour
Wasser, flüssig w w ater
Sättigung sat sat uration
Seite 2 Wärme-Feuchte_2004_
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Dipl.-Ing. M. Wehling
Prof. Dr.-Ing. R. Hohmann
Formelsammlung Wärme
Dipl.-Ing. A. Liebrecht
Stand 09/
1.3 Wärmestrom
Temperatur zu einem Ort niederer Temperatur fließt.
1.4 Wärmestromdichte
Unter der Wärmestromdichte q versteht man den auf eine Flächeneinheit bezogenen Wärmestrom.
in W/m²
Für die Wärmeleitung gilt unter stationären Bedingungen (q = konst., d.h.,
n
j
j = 1
∑
in W/m²
und
ai ae
Bei den Wärmewiderständen Rj handelt es sich um Wärmedurchlass-/Wärmeübergangs- und/oder
Wärmedurchgangswiderstände. Der Begriff stationäre Bedingungen setzt voraus, dass die Energieübertragung über
die Systemgrenze zeitlich konstant ist, das heißt alle Vorgänge verlaufen unter Beharrung. Innerhalb des
behandelten Bereiches tritt keine Wärmespeicherung auf.
1.5 Wärmetransportvorgänge
Am Wärmetransport sind drei Mechanismen - Wärmeleitung, Konvektion und Strahlungsaustausch - beteiligt. Im
Festkörper dominiert die Wärmeleitung, während im Gasraum Konvektion und Strahlung dominant sind.
1.5.1 Wärmeleitung
Bei der Wärmeleitung wird zwischen serieller und paralleler Leitung unterschieden. Bei einem mehrschichtigen
Wandaufbau kommt es nacheinander (seriell) zu einem Transport der Wärmemenge Q durch alle Schichten. Bei
einem modularen Aufbau kommt es zu einer Aufteilung der Wärmemenge Q auf die einzelnen Module (parallel).
Für die durch Wärmeleitung transportierte Wärmemenge Q gelten unter stationären, ebenen Bedingungen die
folgenden Berechnungsansätze:
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Prof. Dr.-Ing. R. Hohmann
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einschichtige Bauteile mehrschichtige Bauteile
( ) 1 2
= ϑ − ϑ ( ) 1 2
1 2 3 n
Dabei wird mit “eben” die Tatsache gekennzeichnet, dass der Wärmestrom senkrecht zu dem durchdrungenen
Material steht. Es existiert keine Krümmung.
1.5.1.1 Wärmedurchlasskoeffizient
Der Wärmedurchlasskoeffizient Λ gibt die Wärmemenge Q in J an, die durch 1 m
einer Baustoffschicht der Dicke
d in 1 sec fließt, wenn zwischen den Oberflächen eine Temperaturdifferenz von 1 K herrscht. Er ist abhängig von
der Wärmeleitfähigkeit und der Schichtdicke des Materials.
in W/m²K
1.5.1.2 Wärmedurchlasswiderstand
Der reziproke Wert des Wärmedurchlasskoeffizienten Λ wird als Wärmedurchlasswiderstand R bezeichnet.
Für einschichtige Bauteile gilt:
in m²K/W
Für mehrschichtige Bauteile gilt:
j
j 1 j
n
=
∑
in m²K/W
1.5.1.3 Wärmeübergangskoeffizient und Wärmeübergangswiderstand
Der Wärmeübergang wird durch den Wärmeübergangskoeffizienten h bzw. die Wärmeübergangswiderstände R si
Rse beschrieben. Der Wärmeübergangskoeffizient h entspricht der Wärmemenge in J, die durch eine 1 m
große
Fläche in 1 sec ausgetauscht wird, wenn die Temperaturdifferenz zwischen Wandoberfläche und Luft 1 K beträgt.
Der Wärmeübergangskoeffizient h umfasst den konvektiven, den strahlungsbedingten sowie den leitungsbedingten
Anteil. Es gilt:
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1.5.3 Strahlungsaustausch
Als Temperaturstrahlung oder auch Wärmestrahlung bezeichnet man die elektromagnetische Strahlung, die ein
Körper infolge seiner Temperatur abgibt. Jeder Körper gibt Temperaturstrahlung ab (Emission) und nimmt aus der
Umgebung Temperaturstrahlung auf (Absorption).
1.5.3.1 Spektrum elektromagnetischer Wellen
Die Strahlung wird in verschiedene Spektralbereiche eingeteilt.
Tabelle 2: Wellenlängenbereiche
Wellenlänge λ in m Wellenart
− 6 Mikrowellen, Rundfunkwellen
− 6 Infrarot, auch Ultrarot
− 6 sichtbares Licht
− 6 Ultraviolett
− 6 Röntgenstrahlen, γ-Strahlen
1.5.3.2 Strahlungsmenge, Strahlungsenergie
Die Strahlungsenergie Q r
ist die Energie, die eine Wärmequelle durch Strahlung in den Raum abgibt.
r r,
1.5.3.3 Strahlungsleistung
Die Strahlungsleistung P r
ist der Quotient aus der Strahlungsenergie oder Strahlungsmenge Q r
und der Zeit t. Sie ist
die Leistung, die eine Strahlungsquelle in den Raum abstrahlt.
r r,
r
1.5.3.4 Spezifische Ausstrahlung
Die spezifische Ausstrahlung M r
ist der Quotient aus der von einem Flächenelement dA r
in den vorderen Halbraum
ausgestrahlten Strahlungsleistung dP r
und der Fläche dA r
r
r
r
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1.5.3.5 Spektrale spezifische Ausstrahlung
Die spezifische Ausstrahlung M r,λ
ist die spektrale Dichte der spezifischen Ausstrahlung M r
r,
r
λ
in W/m³
1.5.3.6 Strahlung des schwarzen Körpers
Ein Körper, der bei der Temperatur T die höchstmögliche Energiemenge abstrahlt, wird als schwarzer Körper
bezeichnet. Die spektrale spezifische Ausstrahlung M r,λ
eines schwarzen Körpers hängt von der absoluten
Temperatur ab. Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt diesen Zusammenhang.
r, 1
5
2
λ
F
H
G
I
K
J −
R
S
T
U
V
W
−
in W/m³
Mit steigender Temperatur nimmt die Gesamtemission stark zu. Die Fläche unter dem Kurvenverlauf ist ein Maß für
die Gesamtemission.
Die Wellenlänge des Strahlungsmaximums ist temperaturabhängig. Sie verschiebt sich mit zunehmender
max
Verschiebungsgesetz.
λ max
2
−
in mK
Eine Integration der ausgestrahlten Energie über alle Wellenlängen liefert das Gesetz von Stefan/Boltzmann :
r,S
4
S
4
F
H
G
I
K
σ (^) J in W/m²
Die spezifische Ausstrahlung bzw. die Wärmestromdichte infolge von Strahlung q r,S
des schwarzen Körpers ist
proportional zur 4. Potenz der absoluten Temperatur des schwarzen Körpers.
1.5.3.7 Emission eines beliebigen Körpers
Unter einem grauen Strahler versteht man einen Strahler, dessen Emissionsverhalten in einem konstanten Verhältnis
zum Emissionsverhalten des schwarzen Strahlers steht. Der Verhältniswert wird Emissionsgrad ε genannt.
r r,S
4
S
4 4
F
H
G
I
K
J =^ ⋅
F
H
G
I
K
ε ε σ ε (^) J
in W/m²
1.5.3.8 Absorption, Reflexion, Transmission
Jeder Körper strahlt Energie ab und absorbiert Strahlungsenergie. Dabei ist q a die absorbierte Strahlung,
die reflektierte Strahlung, die transmittierte Strahlung und q die auftreffende Strahlung in
q a r, kw
q r
= ρ ⋅q q q τ
= τ⋅
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Hierbei ist zu beachten das der Abstand der beiden Flächen gegenüber der Fläche klein sein soll. Dabei ist
r,1 S
1
F
H
G
I
K
J
1
4
die von der Fläche 1 (T 1
, ε 1
) abgestrahlte Wärmestromdichte, und
r,2 S
2
4
F
H
G
I
K
J
2
die von der Fläche 2 (T 2
, ε 2
) abgestrahlte Wärmestromdichte. Ferner soll T 1
sein.
Der resultierende Wärmestrom ergibt sich zu:
r
12 21
12 21
r S
4
F
H
G
I
K
ε (^) J , τ = 0 , a r,kw
r,kw
ein, so
ergibt sich:
r
S
1
1
4
2
4
1
4
2
4
2 1 2
F
H
G
I
K
J −^
F
H
G
I
K
J
R
S
|
T
|
U
V
|
W
|
F
H
G
I
K
J −^
F
H
G
I
K
J
R
S
|
T
|
U
V
|
W
|
S
und mit Einführung der Strahlungsaustauschkonstanten C 12
r 12
1
4
2
4
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
R
S
|
T
|
U
V
|
W
|
in W
Die Strahlungsaustauschkonstante C 12
ist lediglich von den Emissionsgraden ε bzw. den Strahlungskonstanten C
der Oberflächen abhängig. Sie wird folgendermaßen berechnet:
12
S
1
2 1 2
S
in W/m²K
4
Für Flächen, die nicht parallel sind oder deren Größe klein ist im Vergleich zum Abstand, gelten Sonderfälle.
Für die Strahlungsstromdichte q r
gilt:
r
r
in W/m²
Es gilt für den Strahlungsaustauschkoeffizienten h r
r 12
1
4
2
4
1 2
12
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
in W/m²K
Für T 1
m
b g 2 näherungsweise:
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m
3
F
H
G
I
K
J
in K³
Wichtig ist in diesem Zusammenhang:
zu unterscheiden sind bei langwelligem Strahlungsaustausch blanke metallische Oberflächen (ε ≈ 0,05) und
nichtmetallische Oberflächen (ε ≈ 0,90 - 0,98).
langwelligen Strahlung (Wärmestrahlung, IR) eine entscheidende Rolle. Dunkle Flächen absorbieren
kurzwellige Strahlung stärker und erwärmen deshalb auch stärker als helle Flächen.
(Wärmestrahlung, IR). Dies führt bei Sonneneinstrahlung zu einer Aufheizung von Räumen (Treibhauseffekt).
2 Wärmebilanzen
2.1 Temperaturverlauf bei mehrschichtigen Bauteilen
R
R
R
R
se
ae
ai
si
1
ai-si
si
si-
1
2-
3
1-
2
3-se
4
se-ae
se
4
3
2
1
......
2
3
R
R
R
R
se
ae
ai
si
1
ai-si
si
si-
1
2-
3
1-
2
3-se
4
se-ae
se
4
3
2
1
......
2
3
Für den obigen Fall werden die Trennschichttemperaturen folgendermaßen berechnet:
2
1
2
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2.3 Wärmebilanz für eine Bauteilschicht
Wärmebilanz
Ebene 1 Ebene 2 Ebene 3
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q^3
q
q
q^3
j = 1
n
∑
: q 1
− q 2
j = 1
n
∑
: q 2
− q 3
− q 5
j = 1
n
∑
: q 3
− q 4
q 1
= q 2
q 2
= q 3
q
3
= q
4
− q r
r r,kw
und
2 si
1 1
b ϑ^ ϑg
3 se
2 1
bϑ ϑ g
r,kw
mod ae
se
durch Aufstellen der Wärmebilanzen für die Grenzschichten und Lösung des Gleichungssystems bestimmen. Für
ai
Grenzschichttemperaturen lassen sich in diesem Fall mit den Gleichungen in Kapitel 3.2 ermitteln.
2.4 Mittlerer Wärmedurchgangskoeffizient
Der Wärmedurchgang bei einem Bauteil, bei dem mehrere Bereiche mit verschiedenen Wärme-
durchgangskoeffizienten bzw. Wärmedurchlasswiderständen nebeneinander liegen (z.B. Sparrendach, Stütze in
Außenwand, Außenwand mit Fenster usw.), lässt sich durch einen mittleren Wärmedurchgangskoeffizienten Um
beschreiben.
2.4.1 Allgemeine Zusammenfassung der U-Wert Berechnung nach
DIN EN ISO 6946
q a
A B A C A
U 1 U 2 U^1 U^3 U^1
q b
q a
q c
q a
q e
q 1
q i
q a
A B A C A
U 1 U 2 U^1 U^3 U^1
q b
q a
q q
q e
q 1
q i
Abbildung 1: Annahme der unterschiedlichen Wärmeströme
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Nach DIN EN ISO 6946 Abschnitt 6.2 wird der Wärmedurchgangswiderstand R T eines Bauteils aus thermisch
homogenen und inhomogenen Schichten parallel zur Oberfläche als arithmetischer Mittelwert des oberen (R’T) und
unteren (R’’T) Grenzwertes des Wärmedurchgangswiderstandes berechnet:
T T
T
Das Bauteil wird in n·q Teile zerlegt, die jeweils thermisch homogen sind. Die Aufteilung sieht folgendermaßen aus
(siehe Abbildung 2):
senkrecht zu den Bauteiloberflächen Aufteilung in q Abschnitte mit den Indizes m = a, b, c, ..., q
Sparren
q - Abschnitte
m = a, b,...,q
ruhende Luftschicht
außen, R se
innen, Rsi
Sparren
Richtung des Wärmestroms
n-Schichten j = 1,2, 3,...,n
Abschnitt a
f a
a
Abschnitt b
f b
b
Schicht 4
Schicht 3
Schicht 2
Schicht 1
Wärmedämmung
A b
,f b
,d 2
,λ b
b 2
f m
m
b
,f b
,d 3
,λ b
A b a
,f a
,d 3
,λ a
a
g
a
,f a
,d 2
,λ a
a 2
b
,f b
,d 4
,λ b
b
a
,f a
,d 4
,λ a
a
a
,f a
,d 1
,λ a
a
b
,f b
,d 1
,λ b
b
parallel zu den Bauteiloberflächen in n Schichten mit den Indizes j = 1, 2, 3, ..., n
Abbildung 2: Aufteilung eines Bauteils in n Schichten und m Abschnitte
Der Abschnitt m hat die Teilfläche A m
und den Flächenanteil f m
m
/ A , wobei A = A a
b
q
die
Gesamtfläche des Bauteils ist. Die Schicht j hat die Dicke d j
. Das Teil mj befindet sich im Abschnitt m in der Schicht
j. Es hat die Teilfläche A m
, den Flächenanteil f m
, die Dicke d j
, die Wärmeleitfähigkeit λ mj
und den
Wärmedurchlasswiderstand R mj
= d j
mj
Die für die Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten U notwendigen Parameter wie
Wärmeübergangswiderstände innen und außen sowie Wärmewiderstand der einzelnen Luftschichten finden sich in
den nachfolgend aufgeführten Tabellen, die der DIN EN ISO 6946 entnommen sind.
Nach DIN EN ISO 6946 Abschnitt 5.2, Tabelle 1 werden folgende Wärmeübergangswiderstände vorgeschrieben:
Tabelle 3: Wärmeübergangswiderstände in m
2 K/W
Richtung des Wärmestromes
Aufwärts Horizontal Abwärts
R si 0,10 0,13 0,
se
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'
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b^ q
T Ta Tb Tq
Ta se a a an si
n
Ta se si
n
Tb se b b bn si
n
Tb se si
n
Tq se q q qn si
n
Tq se si
n
Mit den Widerständen RTa, RTb,...RTq der einzelnen Teilabschnitte.
Flächenanteile der einzelnen Abschnitte:
a
a
f
b
b
f
q
q
f
Die Flächenanteile und Widerstände der Teilabschnitte ergeben eingesetzt in (2) den oberen Grenzwert (R’ T
'
'
a b^ q
T (^) Ta Tb Tq
a b q
T
Ta Tb Tq
f f f
f f f
''
1 2
si n se
2. Bestimmung des unteren Grenzwertes R’’T des Wärmedurchgangswiderstandes:
Der untere Grenzwert des Wärmedurchgangswiderstandes wird unter der Annahme bestimmt, dass alle Ebenen
parallel zu den Bauteiloberflächen isotherm sind.
Mit dem mittleren Wärmedurchlasswiderstand R j
für jede thermisch inhomogene Schicht:
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1
1 1
1
1 1 1 1
1
2 2
2
2 2 2 2
a b q^ aj^ a bj^ b qj^ q
j aj bj qj j j j
f A f f A A
R R R R d A d A d A
a b q^ a a b b qn^ q
a b qn n
a b q^ a a b b qn^ q
a b qn n
a
n
f f f^ A A A
R R R d A d A d A
f f f^ A A A
R R R d A d A d A
f
R
−
−
1
b q^ an a bn b qn^ q
an bn qn n n n
f f^ A A A
R R R d A d A d A
−
Mit den Widerständen R1, R2, ...Rn der einzelnen Schichten.
3. Ermittlung des Wärmedurchgangswiderstandes R T
als arithmetisches Mittel des oberen und unteren
Grenzwertes, d.h. einsetzen von R’ T
und R’’ T
in (1):
T T
T
Der Kehrwert ergibt den Wärmedurchgangskoeffizienten U:
T
= in 2
m K
2.4.3 Fall 2: Schwach belüftete Luftschichten
Sparren
q - Abschnitte
m = a, b,...,q
schwach belüftete Luftschicht
außen, R se
innen, R si
Sparren
Richtung des Wärmestroms
n-Schichten j = 1,2, 3,...,n
Abschnitt a
f a
=A a
/A
Abschnitt b
f b
=A b
/A
Schicht 4
Schicht 3
Schicht 2
Schicht 1
Wärmedämmung
A b
,f b
,d 2
,λ b
,R b 2
f m
=A m
/A
A b
,f b
,d 3
,λ b
,R A b a
,f a
,d 3
,λ a
,R a
=R g
/
A a
,f a
,d 2
,λ a
,R a 2
A b
,f b
,d 4
,λ b
,R b
A a
,f a
,d 4
,λ a
, R a
A a
,f a
,d 1
,λ a
,R^ a
A b
,f b
,d 1
,λ b
, R b
Bereich für
Berechnung
Abbildung 4: Sparren- und Gefachbereich mit schwach belüfteter Luftschicht
Schwach belüftete Luftschichten gelten als geringfügig wärmedämmend und werden mit der Hälfte der Werte der
Wärmedurchlasswiderstände R g
(d.h. R g
/2) nach DIN EN ISO 6946 Abs. 5.3, Tab. 2 in Rechnung gebracht. Die
Berechnung erfolgt ansonsten in Anlehnung an das Beispiel 1.
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Für die Wärmeleitung in Rohrwandungen gilt:
in K
durch Integration
r
r
1
2
ϑ
ϑ
1
2
erhält man
1 2
2
1
Für den inneren bzw. äußeren Wärmeübergang gilt:
innen
i
i i si
außen
e
se se a
Für ein Rohr mit mehreren Schichten gilt:
i
si i si
i si
i si
si 1
1
i
1
si 1
1
i
1
1 2
2
2
1
1 2
2
2
1
e
se se a
se a
e se
i a
i si
1
i e
se
1
Wärme-Feuchte_2004_2005 Seite 19
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Somit ergibt sich der folgende Wärmestrom:
F
H
G
I
K
J
1 2
i a
i si
1
i
2
1 e
b g
se
in W/m²
2.6 Modifizierte Sonnenlufttemperatur
Eine Wärmequelle an der Bauteiloberfläche aufgrund von Sonneneinstrahlung braucht nicht explizit in der
Energiebilanz berücksichtigt zu werden, wenn man die fiktive Außenlufttemperatur (modifizierte
Sonnenlufttemperatur) θmod für den äußeren Wärmeübergang heranzieht. Damit gilt für den äußeren
Wärmeübergang zwischen Umgebung und Oberfläche:
se − e se se
mod
b g (^) in W/m²
Die modifizierte Sonnenlufttemperatur wird folgendermaßen berechnet:
T ai
ae in °C
Für das Korrekturglied zur näherungsweisen Berücksichtigung des langwelligen Strahlungsaustausches der
Bauteiloberfläche mit der Umgebung werden in Abhängigkeit von der Ausrichtung der Fläche und der
Sonneneinstrahlung folgende Werte angegeben:
Tabelle 5: Korrekturfaktoren zur Berücksichtigung des langwelligen Strahlungsaustausches der Bauteiloberfläche
mit der Umgebung
Ausrichtung
der Fläche
Betrachtete Bauteiloberfläche ist
keiner direkten Sonneneinstrahlung
ausgesetzt
Betrachtete Bauteiloberfläche ist
direkter Sonneneinstrahlung aus-
gesetzt
vertikal K = 3 K K = 0 K
horizontal K = 5 K K = 0 K
2.7 Strahlungsgewinne und temporärer Wärmeschutz bei Fenstern
Energiegewinne durch Sonneneinstrahlung und Reduzierung der nächtlichen Wärmeverluste durch temporären, d.h.
zeitweiligen Wärmeschutz (z.B. durch Rolläden) führen zu geringeren Gesamtwärmeverlusten. Aus diesen
reduzierten Gesamtwärmeverlusten lässt sich ein korrigierter oder verbesserter Wärmedurchgangskoeffizient
berechnen, den man als effektiven oder äquivalenten Wärmedurchgangskoeffizienten U eq,F
bezeichnet. Dieser ist
vom Wärmedämmvermögen des temporären Wärmeschutzes, dem Heizverhalten, dem Gesamt-
energiedurchlassgrad der Verglasung und der eingestrahlten Sonnenenergie abhängig. Für den äquivalenten
Wärmedurchgangskoeffizienten U eq,F
gilt:
eq,F F F F
= ⋅ (^) b − (^) g − ⋅S in W/(m²K)
Seite 20 Wärme-Feuchte_2004_
