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Formelsammlung zur Vorlesung Bodenmechanik I SS 2013
Art: Formelsammlungen
1 / 25
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KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Formelsammlung zur Vorlesung
Bodenmechanik I
Ausgearbeitet von: D. Rebstock
Überarbeitet von: P. Kudella
Alle Rechte der Vervielfältigung vorbehalten!
Version: 20.08.
1. 1BDarstellung von Bohrprofilen SS 2013 1. Darstellung von Bohrprofilen
DIN 4023 (Feb. 2006) Baugrund- und Wasserbohrungen, zeichnerische Darstellung der Ergebnisse DIN 18196 (Mai 2011) Bodenklassifikation für bautechnische Zwecke und Methoden zum Erkennen von Bodengruppen
Benennung Kurzzeichen Zeichen
Bodenart Beimengung Bodenart Beimengung Bodenart Beimengung
Flächen- farbe
Kies kiesig (^) G g
Grobkies grobkiesig (^) gG gg
Mittelkies mittelkiesig (^) mG mg
Feinkies feinkiesig (^) fG fg
hellgelb
Sand sandig (^) S s
Grobsand grobsandig (^) gS gs
Mittelsand mittelsandig (^) mS ms
Feinsand feinsandig (^) fS fs
orangegelb
Schluff schluffig (^) U u oliv
Ton tonig (^) T t violett
Torf, Humus torfig, humos (^) H h dunkelbraun
Mudde - (^) F - helllila (Faulschlamm) org. Beimeng. (^) - o -
Auffüllung - (^) A - -
Steine steinig (^) X x hellgelb
Blöcke mit Blöcken (^) Y y hellgelb
Fels allgemein - (^) Z -
Fels verwittert - (^) Zv -
dunkelgrün
Benennung Kurzzeichen Zeichen Flächenfarbe
Mutterboden Mu hellbraun
Verwitterungslehm, Gehängelehm L grau
Geschiebelehm Lg grau
Geschiebemergel Mg blau
Löß Lö helloliv
Lößlehm Löl oliv
Klei, Schlick Kl lila
Wiesenkalk, Seekalk, Seekreide, Kalkmudde Wk hellblau
Bänderton Bt violett
Vulkanische Asche V dunkelgrau
Braunkohle Bk schwarzbraun
1. 1BDarstellung von Bohrprofilen SS 2013
Benennung Kurzzeichen Zeichen Flächenfarbe
Grobkies, steinig gG, x hellgelb
Feinkies und Sand fG-S orangegelb
Grobsand, mittelkiesig gS, mg orangegelb
Mittelsand, schluffig, schwach humos mS, u, h’ orangegelb
Schluff, stark feinsandig U,
Torf, feinsandig, schwach schluffig H, fs, u’ dunkelbraun
Seekreide mit organischen Beimengungen Wk, o hellblau
Klei, feinsandig Kl, fs lila
Sandstein, schluffig Sst, u orangegelb
Salzgestein, tonig Lst, t hellgrün
Kalkstein, schwach sandig Kst, s’ dunkelblau
3. 3BPorenanteil, Wassergehalt, Wichten SS 2013 3. Porenanteil, Wassergehalt, Wichten
n
Kornvolumen: Vk = const! Gesamtvolumen: V Porenvolumen: V (^0)
Kornvolume n
Trockengewicht
G w
d
k
d
−
′ = + − ⋅ +
= −
= = 1 1 1 1
γ γ
γ γ
Gesamtvolu men
Trockengewicht
s r w
r w s
s w
r w s
s r w
d
w S
S
n w
n V
G
γ γ
γ γ
γ γ
γ γ γ
γ γ
γ γ
⋅ + ⋅
−
− = ⋅
= − ⋅
= = − ⋅ = 1
1
Sättigung Sr < 1 Gesamtvolumen
Gesamtgewicht
s r w
r w s
d s
w n w S
S w
w w n V
G
γ γ γ γ
γ γ
γ γ
= + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅
⋅ ⋅ = + ⋅
= = + ⋅ = + ⋅ − ⋅
1 1
1 1 1
Sättigung Sr = 1
γ (^) r = γ ( Sr = 1 )
w s
s w d w s
w
d w s w w
r
w
n n n V
G
γ γ
γ γ γ γ γ γ
γ
γ γ γ γ γ γ
⋅ +
− ⋅ + = ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ = −
= = + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = ′+
1
1
1
Feststoffv olumen
Hohlraumvolumen
r w
s r
r w
s
s
d
s
k
S
w
w n
n
V
V
γ γ
γ γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
−
⋅
= − = + − −
= = 1 1 1 1
0
Gesamtvolu men
Hohlraumvolumen n =
s w
s r
s r w
s
s s
d
w S
w
e w
e
V
V
γ γ
γ γ
γ γ
γ
γ
γ
γ
γ
−
⋅ + ⋅
= − = −
= = 1
1 1 1
0
Teilsättigung Feststoffgewicht
Wassergewicht w =
⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ = ⋅ − − ⋅ ⋅
− − ⋅
= = − =
s
w
d
w r r w s
s r w
d d s
w
S S
S
G n
G
γ
γ
γ
γ
γ γ γ
γ γ γ
γ
γ
γ
γ 1 1
1
Wassergehalt: gesättigt! Sr = 1
w
d
w
r w s
s r w
d
r
s
w
d
w
s
w n e n
n w γ
γ
γ
γ
γ γ γ
γ γ γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ = − − ⋅
− ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = − = −
= 1 1
max
[ ( ) ] (^) w ( (^) s d )
d s
w s
s
w
s
w
d r
w
w
w
e
e
w n
w S γ γ γ
γ γ
γ γ γ
γ γ
γ
γ γ
γ
γ γ
⋅ −
⋅
− = = 1
1
max
4. 4BKonsistenz, Lagerungsdichte SS 2013 4. Konsistenz, Lagerungsdichte
Konsistenz Æ bindige Böden:
Interpolation aus mind. 4 Versuchen (Wassergehalt über log Schlagzahl) schwachbindig: 0 – 30 % bindig: 30 – 100 %
schwachbindig: 0 – 20 % bindig: 20 – 40 %
L P
L c w w
w w I −
0,25 - 0,50 breiig c (^) u = 10 – 15 0,50 - 0,75 weichplastisch c (^) u = 15 – 50 0,75 - 1,00 steifplastisch c (^) u = 100 – 200 1,00 - 1,25 halbfest c (^) u = 100 – 400 Flüssig-breiig: I (^) c → 0: natürlicher Wassergehalt gleich Fließgrenze: w = w (^) L Steif-plastisch: I (^) c = 1: natürlicher Wassergehalt gleich Ausrollgrenze: w = w (^) p Anmerkung: sowohl Ic < 0, als auch I (^) c > 1 kommen in der Natur vor.
Lagerungsdichte Æ nichtbindige Böden:
max min
max
n n
n n D −
0 ≤ sehr locker ≤ 0,15 < locker ≤ 0,3 < mitteldicht ≤ 0,5 < dicht ≤ 1,
max min
max
e e
e e I (^) D −
= (^0) ≤ locker < 1/3 ≤ mitteldicht < 2/3 < dicht
Mit vorgegebener Verdichtungsenergie maximal erreichbare Trockenwichte in Abhängigkeit vom
Wassergehalt: 100 % Pr
Pr = ⋅
D → Diagramm: γd über w
Trockenwichte bei Sättigung:
s w
s d
Luftanteil: ⎟
s w
a d
w n
1 (waagrechter Abstand Sättigung / Proctotkurve)
6. 6BVertikale Zusammendrückung SS 2013 6. Vertikale Zusammendrückung
( 1 0 ) 1
0
= + e − h
h e
Vk = konst, V 0 = variabel Ansatz: e = V 0 /V (^) k V 0 +V (^) k =h 0 → Vk =h 0 /(1+e) e 0 : Anfangsporenzahl h 0 : Anfangshöhe h: Endhöhe
0
0 1
e
e h h
0
0
0 0 1 e
e e s h h h
Zusammendrückungsgeschwindigkeit: d
d
Δd : momentane Dicke
: Verringerung der Dicke je
Zeiteinheit
d & Δ
Relative Zusammendrückung: 0
0
0
0
0
d
d d dt
t
t
∫
Porenzahl: e ≈ e 0 − ε( 1 + e 0 )
→ normalkonsolidiert : wird eine Bodenschicht genannt, wenn sie in jeder Tiefe diejenige Porenzahl aufweist, die zu der in-situ vorhandenen Vertikalspannung gehört.
→ überkonsolidiert : ein vorbelasteter und teilweise wieder entlasteter Boden
Kompressionsbeiwert: Tangentenneigung im ln(σ'/σ 0 ) – e – Diagr.
( )
d
e d e C (^) c
dln
d
0 Steifemodul: Tangentenneigung im σ' – ε – Diagramm
c
s C
e E
d
d
e
ln σ/σ 0
C (^) C
C (^) S
C (^) C
σe
1
Porenzahl: (^) ⎟ ⎠
0
0 ln σ
σ e e Cc
Diagramm: ln(σ'/σ 0 ) über e: körniger Erdstoff: je nach ID nahezu horizontale Gerade bindiger Erdstoff: Gerade mit abweichenden Rändern
Äquivalente Spannung: ⎟
c
e C
e e exp 0 σ σ 0
Schwellbeiwert: C (^) S Tangentenneigung im ln(σ'/σ 0 ) – e – Diagramm bei Entlastung
Geradengleichung: ⎟
σ 0
σ e ev CS ln
Steifemodul:
S
s C
e E
Vorspannung: σv Übergangspunkt von Wiederbelastung zur Erstbelastung
Porenzahl: ⎟
e
C
e e e CS ln C ln σ
σ
σ
σ
0
0
6. 6BVertikale Zusammendrückung SS 2013
Äquivalente Spannung:
c
S C
C
v
v c
v
s
v c
e C
Cln
C ln
exp ⎟
0 0
Setzung: ⎥
e
v C v
e s
p C ln C ln e
s
8. 8BSetzungsberechnung SS 2013 8. Setzungsberechnung
Erste Näherung: Ev = ES oder Korrekturfaktor nach DIN 4019
( ) ∫ =
t
vz
zdz E
s
0
σ
Nach Steinbrenner:
v
s o
E
f b p s
Ev = Verformungsmodul po = Oberflächenlast
Setzungsbeiwert (^ ) b
z b
a f (^) s = f ;
a = Fundamentlänge b = Fundamentbreite z = Tiefe in Tafeln oder Diagrammen, hier für ν = 0,5 und Setzung des Eckpunktes (vgl. Bild 7.6 AfBM)
z/b a/b^ 1,0^ 1,5^ 2,0^ 3,0^ 5,0^ 10,0^ ∞
0,25 0,0622 0,0623 0,0623 0,0623 0,0623 0,0623 0, 0,5 0,1222^ 0,1232^ 0,1232^ 0,1233^ 0,1234^ 0,1234^ 0, 0,75 0,1770 0,1799 0,1806 0,1812 0,1814 0,1814 0, 1,0 0,2247 0,2314 0,2333 0,2346 0,2349 0,2350 0, 1,5 0,2988 0,3161 0,3223 0,3264 0,3276 0,3279 0, 2,0 0,3500 0,3792 0,3914 0,4003 0,4033 0,404 0, 3,0 0,4143 0,4634 0,4880 0,5091 0,5194 0,5221 0, 4,0 0,4501 0,5137 0,5484 0,5823 0,6029 0,6094 0, 6,0 0,4897 0,5705 0,6196 0,6751 0,7173 0,7358 0, 8,0 0,5097 0,5997 0,6574 0,7269 0,7887 0,8232 0,
10 0,5217 0,6175 0,6806 0,7593 0,8367 0,8878 0, 12 0,5297 0,6295 0,6964 0,7817 0,8711 0,9376 0, 15 0,5378 0,6415 0,7126 0,8051 0,9074 0,9923 1, 18 0,5432 0,6496 0,7231 0,8207 0,9323 1,0337 1, ∞ 0,5460 0,6536 0,7283 0,8285 0,9449 1,0553 1,
2
0 0
1
0 1 2
1 2 1
v
b
z
s
b
z
s
v
b
z
s p o E
f f
f s s s b p
a
b p (^0)
z1 z
z
Ev
Ev
( )
1 2 2 1
1 2 1 2
E x E x
x x E E E
v v
v v v ⋅ + ⋅
= Mittelung über Kehrwerte!
∑ ∑ = =
n
j
j sj
j
n
j
j j z E
s z 1 1
σ ε
Grenztiefe: z (^) g: wenn Δσg = 20% ⋅ σvg
9. 9BKonsolidierung SS 2013 9. Konsolidierung
Konsolidierungsbeiwert:
w
s v
kE c
Δp: aufgebrachte Belastung Δu: Porenwasserüberdruck Δσ': effektive Zusatzspannung
H. Schichtdicke
d: Entwässerungslänge, das bedeutet rechnerische Schichtdicke H bei einseitiger Entwässerung, halbe
Schichtdicke H/2 bei beidseitiger Entwässerung
μ: Konsolidierungsgrad
( )
( ) ( )
p
uzt
p
zt z t Δ
μ ( )
( ) ( ) ∫
∞
d
ztdz s d
st t
0
μ μ
Abschätzung: 2
d
T (^) v cv t
2
4
Tv ≈ − 0 , 405 ⋅ ( 0 , 21 + ln( 1 − μ ) ) für 0,5^ ≤^ μ^ ≤^ 0,
ACHTUNG: d = H, wenn einseitig d = H/2, wenn beidseitig entwässert
Zeitfaktor: t d
c T v v =^2 ⋅
Zeit bis zum Abschluss der Primärkonsolidierung:
TV = 1
c v
d T
2
V
1 t ( 1 )
⋅ = =
Zeit bis zu der 98% der gesamten Setzung stattgefunden haben:
c v
d t
2
98
Modellgesetz (Terzaghi):
2
M
p
M
p
d
d
t
t
Momentane Setzung: s = (^) ∑ μ i ⋅ si ∞
Isochronen des Porenwasserüberdruckes näherungsweise Parabeln 2. Ordnung (ACHTUNG: obere Grenze
beachten → Max der Parabel nicht größer als Belastungsdruck Δp)
Beziehungen: Δ p =Δ u ( z ) +Δσ ′( z ) totale Zusatzspannung = Porenwasserüberdruck + effektive
Zusatzspannung
Δ u = ( 1 − μ) ⋅Δ p 2
3 max Δ^ ′ = 2 (^3 −^1 )^ ⋅Δ p
1
max
( ) (^) max 3
2 Δ u =Δ p 1 −μ = ⋅Δ u mittlerer Porenwasserüberdruck
( )
⎥
2
max 1 d
z u z u Δ σ′( z ) =Δ p −Δ u ( z )
p
u
max
3
11. 11BErddruck SS 2013 11. Erddruck
+α
+β
ϕ +δ
ϑa
Q
Ea
G
C
q
+α
+β
ϑp
Q
E (^) p
G
C
q
eah = σ ′ z ⋅ Kah − 2 ⋅ c ⋅ Kah ⋅ cos (α − δ)
∫
z
Eah eahdz
K 0 Kah K
cos( ) cos [tan( ) tan( )]
sin( )
cos( ) 2
sin( )
,
2 ,
,
2
,
, , ϑ ϕ α δ α ϑ α α β
γ^ ϑ^ ϕ
ϑ ϕ α δ
ϑ ϕ
ap a p
ap
ap
ap ap
h E G m
m
m
m
Normaler Erddruckbeiwert, Spannungsverlauf ab Reibungswinkel ansteigend bis Gleitfugenneigung zunehmend, dann konstant.
Lastausbreitung (Verkehrslasten – Streifenlasten) einfach – rechteckförmig: oben: ≤ ϕ unten: ϑa
erweiterte, z.B. trapezförmig: oben und unten je ϕ und ϑa
Umverteilung in Ersatzlastfigur abhängig von der Wandart → EAB
Ea = 0:
q
c h
a
2
11. 11BErddruck SS 2013
q
c h ea = 0:
a
1
11. 11BErddruck SS 2013
tan
K (^) ph π/4 = 45°!
E (^) ph h q h ⎥⋅ Kph + ⋅ c ⋅ h ⋅ K ph ⎦
2
Fall 2 α = 0 β v
E (^) pv = 0 E (^) p = Eph
( )
2
2
cos
sin sin 1
cos
K ph
( )
( )
( ) (^) ⎥
−
ϕ
δ
cos
arccot tan
tan
tan
E (^) ph = ⋅ ⋅ h + q ⋅ h 2 cos
Kph c h Kph
Epv E ph
p
E ph E =
12. 12BGeländebruch SS 2013 12. Geländebruch
Une Bös
ndlich ausgedehnte chung: (^1) tan
d d
E T
N (^) d = G (^) d ·cos β = G (^) k ⋅ γG ⋅ cos β d d Tfd = N (^) d ⋅ tan ϕd = N (^) d ⋅ tan ϕk /γ (^) ϕ'
Hangparallel durchström- te Böschung: 1
tan
tan = ⋅ ≥
d
d
d
E
⋅ β ⋅ γ ⋅ γ ⋅
i N (^) d = G' (^) d cos = V ' (^) k G cos β T = N ⋅ tan ϕ = N ⋅ tan ϕ /γ ′
fd d d d k ϕ'
Begrenzte Böschung (kohäsiver Boden, β > 60°):
γ ( cot ϑ cotβ) γ γ (cot ϑ cotβ)
2 2
(^21) 2
1 G (^) d = (^) d ⋅ h − = k ⋅ G ⋅ h −
T (^) fd d Nd tan d d d h ( cot cot ) cos tan d sin
h
2
2
Maximalwert:
d k c d
2 c
⎠max ⎝ ⎠max
d
d k
h
c
h β ϕ
β ϕ
γ γ γ sin cos
sin 2
2
für 2
0
d
Oder GEO-3 Gleiten: 1 sin sin
tan
,
, ≥ ⋅
tan
d
d c
d
d d d
dvorhanden
d d
G G
k k
möglich
d
oden Rein kohäsiver Boden: zu G ggf. noch veränderliche Lasten P mit G (^) d + Pd = G (^) k · γG + Pk · γQ
Ausnutzungsgrad:
0
2 ,
,
∫ d
d G d Q
fd
d G d Q
dhaltend
dtreibend
r c
G r P r
r ds
G r P r
Teilsicherheitsfaktor:
bzw.
d G d Q
k c' G r P r
r c
0
2
Böden mit Reibung: Kohäsion: C hat Richtung der Sekante des Gleitkreises.
C (^) d = 2 ⋅ cd ⋅ r ⋅sin ( ψ 0 / 2 ) 2 sin( 0 / 2 )
0
r rc
Resultierende Q (nach DIN 4084 - inzwischen ist das Zeichen Q für veränderliche Einwirkungen reserviert !) aus Reibung und Normalkraft:
Standsi rheitsnachweis:
h veränd. Lasten P wie oben) nach Größe, Lage und Richtung
usammenfassung zu einer Resultierenden der treibenden Kräfte R mit Hebelarm r (^) R
enn Kraft Q durch den Schnittpunkt von R und C geht
che
Ermittlung von G (zuzüglic
Z
Momentengleichgewicht erfüllt, w
ngsgr
k
c
k
R
d d
dtreibend R
Q r
c r
R r
c
M Rr
tan 0 sin arctan
2
2
,
