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Formelsammlung für Mathematik | Handelsakademie Lehrplan 2004, Formelsammlungen von Mathematik

Hochschule OsnabrückMathematik

Formeln für Mathematik, Handelsakademie Lehrplan 2004, Erstellt von Johann Weilharter

Art: Formelsammlungen

2019/2020

Hochgeladen am 15.04.2020

Ina_Schwarzgruber
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Formelsammlung für Mathematik, Handelsakademie Lehrplan 2004
Erstellt von Johann Weilharter Seite 1
Inhalt
Zinseszinsrechnung .................................................................................................................. 3
Endkapital ............................................................................................................................. 3
Anfangskapital ...................................................................................................................... 3
Zinssatz .................................................................................................................................. 3
Laufzeit ................................................................................................................................. 4
Rentenrechnung ....................................................................................................................... 4
Endwert der nachschüssigen Rente .................................................................................. 4
Barwert der nachschüssigen Rente .................................................................................. 4
Endwert der vorschüssigen Rente ..................................................................................... 4
Barwert der vorschüssigen Rente ..................................................................................... 4
Äquivalenzprinzip ................................................................................................................ 5
Kosten- und Preistheorie ........................................................................................................ 6
Lineare Kostenfunktion ...................................................................................................... 6
Quadratische Kostenfunktion ............................................................................................ 6
Kubische Kostenfunktion .................................................................................................... 6
Betriebsoptimum ................................................................................................................. 7
Minimum der Durchschnittskosten = langfristige Preisuntergrenze .......................... 7
Grenzkosten .......................................................................................................................... 8
Kostenkehre .......................................................................................................................... 8
Definition: Nachfrage ......................................................................................................... 9
Normales Nachfragegesetz ................................................................................................ 9
Lineare Nachfragefunktion ................................................................................................ 9
Quadratische Nachfragefunktion ...................................................................................... 9
Definition: Umsatz .............................................................................................................. 9
Umsatz bei linearer Nachfragefunktion ........................................................................ 10
Umsatz bei quadratischer Nachfragefunktion .............................................................. 10
Umsatzmaximale Menge ................................................................................................... 11
Umsatzmaximaler Preis .................................................................................................... 11
Maximaler Umsatz ............................................................................................................. 11
Defintion: Gewinn ............................................................................................................. 11
Gewinn ................................................................................................................................. 12
Weder Gewinn noch Verlust ............................................................................................ 12
Verlust ................................................................................................................................. 12
Berechnung der Gewinnzone ........................................................................................... 12
Cournotsche Menge ........................................................................................................... 13
Wahrscheinlichkeitsrechnung .............................................................................................. 14
Wahrscheinlichkeitsverteilung ........................................................................................ 14
Erwartungswert .................................................................................................................. 15
Varianz ................................................................................................................................. 15
Streuung oder Standardabweichung............................................................................... 15
Beispiel: Schularbeitenstatistik ...................................................................................... 16
Der Erwartungswert .......................................................................................................... 16
Die Varianz .......................................................................................................................... 17
Die Streuung (Standardabweichung) .............................................................................. 17
Additionssatz ...................................................................................................................... 17
Additionssatz auf eine Verteilung angewendet ........................................................... 17
Kumulierte Verteilung ...................................................................................................... 17
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
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Nur auf Docsity: Lade Formelsammlung für Mathematik | Handelsakademie Lehrplan 2004 und mehr Formelsammlungen als PDF für Mathematik herunter!

Inhalt

  • Zinseszinsrechnung
    • Endkapital
    • Anfangskapital......................................................................................................................
    • Zinssatz..................................................................................................................................
    • Laufzeit
  • Rentenrechnung
    • Endwert der nachschüssigen Rente
    • Barwert der nachschüssigen Rente
    • Endwert der vorschüssigen Rente
    • Barwert der vorschüssigen Rente
    • Äquivalenzprinzip
  • Kosten- und Preistheorie
    • Lineare Kostenfunktion
    • Quadratische Kostenfunktion
    • Kubische Kostenfunktion
    • Betriebsoptimum
    • Minimum der Durchschnittskosten = langfristige Preisuntergrenze
    • Grenzkosten..........................................................................................................................
    • Kostenkehre
    • Definition: Nachfrage
    • Normales Nachfragegesetz
    • Lineare Nachfragefunktion
    • Quadratische Nachfragefunktion
    • Definition: Umsatz
    • Umsatz bei linearer Nachfragefunktion
    • Umsatz bei quadratischer Nachfragefunktion
    • Umsatzmaximale Menge
    • Umsatzmaximaler Preis
    • Maximaler Umsatz
    • Defintion: Gewinn
    • Gewinn.................................................................................................................................
    • Weder Gewinn noch Verlust
    • Verlust
    • Berechnung der Gewinnzone
    • Cournotsche Menge
  • Wahrscheinlichkeitsrechnung
    • Wahrscheinlichkeitsverteilung
    • Erwartungswert
    • Varianz.................................................................................................................................
    • Streuung oder Standardabweichung...............................................................................
    • Beispiel: Schularbeitenstatistik
    • Der Erwartungswert
    • Die Varianz..........................................................................................................................
    • Die Streuung (Standardabweichung)
    • Additionssatz
    • Additionssatz auf eine Verteilung angewendet
    • Kumulierte Verteilung
    • Wahrscheinlichkeitsverteilungen
    • Binomialverteilung
    • Poissonverteilung
    • Komplementärereignis......................................................................................................
  • Differentialrechnung
    • Potenzregel.........................................................................................................................
    • Regel vom konstanten Faktor
    • Summen- und Differenzregel
    • Produktregel
    • Quotientenregel
  • Integralrechnung....................................................................................................................
    • Das unbestimmte Integral
    • Das bestimmte Integral
    • Kurvendiskussion
    • Nullstellen
    • Extremwerte.......................................................................................................................
    • Wendepunkte
  • Regressionsrechnung
    • Lineare Regression

Laufzeit

(%i7) n=(log(K[n])-log(K[0]))/log(r);

Rentenrechnung

Endwert der nachschüssigen Rente

(%i8) E=(r*n-1)R/i;

Barwert der nachschüssigen Rente

(%i9) B=R(1-v*n)/i;

Endwert der vorschüssigen Rente

(%i10) E = R((r*n-i)/d);

d ist der Diskontsatz, d = i/(1+i)

Barwert der vorschüssigen Rente

(%i11) B=R(1-v*n)/d;

Äquivalenzprinzip

ÄQUIVALENZPRINZIP

Das ist das Grundprinzip von Geldgeschäften:

Leistung = Gegenleistung (bezogen auf denselben Zeitpunkt)

ANWENDUNG

  • Rentenumwandlung
  • Investitionsrechnung
  • Tilgungsplan

(%i12) kill(all);

Betriebsoptimum

Das Betriebsoptimum ist jene Ausbringungsmenge, bei der die Durch- schnittskosten am kleinsten werden. Die kleinsten Durchschnitts- kosten heißen auch langfristige Preisuntergrenze. Die Durchschnitts- kosten nennt man auch Stückkosten. Die Berechnung des Betriebsoptimums ist eine Extremwertaufgabe

Allgemein für Kostenfunktion

(%i1) K(x);

Allgemein für Durchschnittskosten

(%i2) DK(x):=K(x)/x;

Wir müssen die erste Ableitung NULL setzen, das ist die notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwerts!

(%i3) ab:diff(DK(x),x);

(%i4) l:solve(ab=0);

Das ist die allgemeine Lösung für das Betriebs- optimum: Grenzkosten = Durchschnittskosten

Minimum der Durchschnittskosten

= langfristige Preisuntergrenze

Wenn man das Betriebsoptimum in die Durchschnittskosten einsetzt, erhält man das Minimum der Durchschnittskosten. Dieses nennt man auch langfristige Preisuntergrenze.

Grenzkosten

Die Grenzkosten geben an, wie sich die Kosten ändern, wenn sich die Ausbringungsmenge im Durchschnitt um EINS ändert.

Die Grenzkosten sind die Ableitung der Gesamtkosten.

(%i5) K(x);

(%i6) GK(x):='diff(K(x),x);

Kostenkehre

Die Kostenkehre, ist der Wendepunkt der Kostenkurve. In der Kostenkehre haben die Grenzkosten ein Minimum.

Kostenfunktion

(%i7) K(x);

Man muss die zweite Ableitung der Kostenfunktion NULL setzen

(%i8) ab2:'diff(K(x),x,2);

(%i9) l:solve(ab2=0,x);

Umsatz bei linearer Nachfragefunktion

(%i13) p(x):=a*x+b;

(%i14) U(x):=p(x)*x;

(%i15) U(x);

(%i16) expand(%);

Ergebnis: wenn eine lineare Nachfragefunktion gegeben ist, dann ist die Umsatzfunktion eine quadratische Funktion

Umsatz bei quadratischer Nachfragefunktion

(%i17) p(x):=ax2+bx+c;

(%i18) U(x):=p(x)*x;

(%i19) U(x);

(%i20) expand(%);

Bei einer quadratischen Nachfragefunktion ergibt sich eine Umsatzfunktion dritten Grades.

(%i21) kill(all);

Umsatzmaximale Menge

(%i1) p(x);

(%i2) U(x):=p(x)*x;

Man muss die erste Ableitung bestimmen

(%i3) ab:diff(U(x),x);

Wenn man diese Ableitung NULL setzt, erhält man die umsatzmaximale Menge.

Umsatzmaximaler Preis

Wenn man die umsatzmaximale Menge in die Nachfrage- funktion einsetzt, erhält man den umsatzmaximalen Preis.

Maximaler Umsatz

Wenn man die umsatzmaximale Menge in die Umsatz- funktion einsetzt, dann erhält man den maximalen Umsatz.

Defintion: Gewinn

Gewinn = Erlös - Kosten Gewinn = Umsatz - Kosten

(%i4) G(x):=E(x)-K(x);

(%i5) G(x):=U(x)-K(x);

Cournotsche Menge

Die Counotsche Menge ist jene Menge, für die der Gewinn maximal wird. Das ist also die gewinnmaximale Menge.

Wenn man die Cournotsche Menge in die Nachfragefunktion einsetzt, erhält man den Cournotschen Preis. Der sogenannte Cournotsche Punkt hat zwei Koordinaten: die Cournotsche Menge xC und den Cournotschen Preis pC.

Wenn man den Cournotschen Preis in den Gewinn einsetzt, erhält man den maximalen Gewinn.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsverteilung

(%i11) n:6;

Zufallsvariable

(%i12) X:makelist(x[i],i,1,n);

Absolute Häufigkeiten

(%i13) H:makelist(h[i],i,1,n);

(%i14) N:sum(h[i],i,1,'n);

Relative Häufigkeiten = Wahrscheinlichkeiten

(%i15) P:H/N;

Beispiel: Schularbeitenstatistik

Die österreichische Notenskala ist in diesem Beispiel die Zufallsvariable X

(%i5) X:[1,2,3,4,5];

Häufigkeiten: Es gab 2 mal "Sehr gut" 3 mal "Gut" 6 mal "Befriedigend" 4 mal "Genügend" 5 mal "Nicht genügend"

(%i6) H:[2,3,6,4,2];

Die Länge der Liste bestimmen als Obergrenze für den Summationsindex

(%i7) n:length(H);

(%i8) N:sum(H[i],i,1,n);

(%i9) P:H/N;

Der Erwartungswert

(%i10) m:sum(P[i]*X[i],i,1,n);

(%i11) X1:(X-m)**2;

Die Varianz

(%i12) v:sum(P[i]*X1[i],i,1,n);

Die Streuung (Standardabweichung)

(%i13) s:sqrt(v);

Additionssatz

(%i14) "W(A oder B) = W(A) + W(B)";

Additionssatz auf eine Verteilung angewendet

(%i15) 'sum(W(x[k]),k,1,'n)=1;

Kumulierte Verteilung

(%i16) W(x<=k)='sum(W(x[i]),i,1,k);

(%i17) kill(all);

Komplementärereignis

(%i8) "W(A')=1-W(A)";

(%i9) kill(all);

Differentialrechnung

Potenzregel

(%i1) f(x):=x**n;

(%i2) 'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

Regel vom konstanten Faktor

(%i3) f(x):=c*u(x);

(%i4) 'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

Summen- und Differenzregel

(%i5) f(x):=u(x)+v(x);

(%i6) 'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);