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Grundlagen der Elektrotechnik
- Formelsammlung GET Prof. Dr. rer. nat. L. Brabetz - 10. Mai Dr. Oliver Haas
- 1 Formelzeichen und Einheiten Inhaltsverzeichnis
- 2 Zehnerpotenzen und Vorsatzzeichen
- 3 Magnetisches Feld
- 3.1 Permeabilität
- 3.2 Kraft auf Strom durchflossene Leiter
- 3.3 Lorentz-Kraft
- 3.4 Das Gesetz von Biot-Savart
- 3.5 Magnetische Flussdichte
- 3.6 Magnetische Feldstärke, Durchflutung
- 3.7 Magnetischer Fluss
- 3.8 Magnetischer Kreis
- 3.9 Induktivität
- 3.10 Wicklungssinn, Stromfluss und magnetische Kopplung
- 3.11 Magnetische Energie
- 3.12 Induktionsgesetz
- 4 Maxwellsche Gleichungen
- 5 Wechselstromrechnung
- 5.1 Zeitabhängige Funktionen
- 5.2 Methode der komplexen Amplituden
- 5.3 Kirchhoffsche Gesetze für komplexe Ströme und Spannungen
- 5.4 Ohmsches Gesetz im Wechselstromkreis
- 5.5 Reihen- und Parallelschaltung
- 5.6 Impedanz, Admittanz von Widerstand, Kondensator und Spule
- 5.7 Resonanzfrequenzen
- 5.8 Grenzfrequenz
- 5.9 Leistungen im Wechselstromkreis
- 5.10 Leistungsanpassung
- 5.11 Ortskurven
Grundlagen der Elektrotechnik
Prof. Dr. rer. nat. L. Brabetz
Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik II
A Mathematische Ergänzungen 12
A.1 Rechenregeln für komplexe Rechnungen.................... 12
A.2 Sinus- und Cosinus-Funktionen......................... 12
A.3 Alternative Winkel-Berechnung......................... 13
A.4 Kreuzprodukt.................................. 14
B Linien- und Flächenelemente 15
B.1 Linienelemente.................................. 15
B.2 Flächenelemente................................. 15
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3 Magnetisches Feld
3.1 Permeabilität
μ = μ 0
· μ r
, μ 0
= 4π · 10
− 7
Vs
Am
μ 0
: magnetische Feldkonstante, μ r
: relative Permeabilität.
3.2 Kraft auf Strom durchflossene Leiter
Für die Kraft zwischen zwei mit Strom durchflossenen Leitern gilt
F =
μ I 1
I
2
l
2 π%
, vektoriell über magnetische Flussdichte
F
j,k
= I
j
l ×
B(I
k
F j,k : Kraftwirkung auf Leiter j, die vom Magnetfeld des Leiters k ausgeübt wird.
Vorzeichen der vektoriellen Länge
l hängt von der Stromrichtung in Leiter j ab und die
Richtung von
B wird durch die Stromrichtung in Leiter k vorgegeben.
3.3 Lorentz-Kraft
Für die Kraft auf eine Ladung Q, die sich mit der Geschwindigkeit ~v durch ein Magnetfeld
bewegt, gilt
F
m
= Q (~v ×
B). (3)
3.4 Das Gesetz von Biot-Savart
Die Grundgleichung des Gesetzes von Biot-Savart lautet:
magnetische Feldstärke magnetische Flussdichte
H =
I
4 π
∫
L
d~s × ~r
0
r
2
B =
μ I
4 π
∫
L
d~s × ~r
0
r
2
H =
I
4 π
∫
L
d~s × ~r
r
3
B =
μ I
4 π
∫
L
d~s × ~r
r
3
wobei der Abstandsvektor ~r definiert wird durch ~r =
R −
R
′ , mit
R: Ortsvektor, der auf den Aufpunkt zeigt (Am Aufpunkt wird H bzw. B ermittelt)
R
′ : Ortsvektor des Quellpunktes (Position des Linienelements während der Integration)
d~s: vektoriellem Linienelement in Richtung des Stromes I
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3.5 Magnetische Flussdichte
Feldbeschreibung der magnetischen Flussdichte in Zylinder-Koordinaten( %, ϕ, z )
Magnetfeld bildet konzentrischen Kreis um den Leiter mit Radius %. Die magnetische Fluss-
dichte
B zeigt je nach Stromrichtung in bzw. gegen die Richtung des Einheitsvektors ~e ϕ
B = ±B ϕ ~e ϕ = ±
μI
2 π%
~e ϕ. (6)
Feldbeschreibung der magnetischen Flussdichte in kartesischen Koordinaten
B(x, y) = ±
μI
2 π
−(y − y 0
)~e x
)~e y
(x − x 0 )
2
2
(x 0
; y 0
): Leitermittelpunkt, (x; y): Ort an dem das Feld berechnet wird.
Wahl des Vorzeichens erfolgt abhängig von der Stromrichtung:
⊙
⊗
Überlagerung magnetischer Felder durch vektorielle Addition
B
ges
B
1
B
2
B
n
3.6 Magnetische Feldstärke, Durchflutung
Materialgleichung
B = μ
H , (9)
Magnetische Feldstärke eines geraden, zylinderförmigen, mit Strom durchflossenen Leiters
(idealisiert)
außerhalb: H a
I
2 π%
innerhalb: H i
I%
2 πr
2
%: Radius der Feldlinie, r: Radius des Leiterquerschnitts, I: Stromstärke.
Durchflutungssatz
∮
L
H · d~s =
∫
A
J · d
A = Θ. (11)
Elektrische Durchflutung
N Windungen: Θ = N I allg. für N Leiter: Θ =
N ∑
k =
I
k
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3.10 Wicklungssinn, Stromfluss und magnetische Kopplung
Wicklungssinn und Stromflussrichtung bestimmen die magnetische Kopplung.
N
1
N
1
N
1
N
1
N
2
N
2
N
2
N
2
I
1
I
1
I
1
I
1
I
1
I
1
F
,F
11
21
F
,F
11
21
F
,F
12
22
F
,F
12
22
I
2
I
2
I
2
I
2
I
2
I
2
a b
L
1
L
1
L
2
L
2
M M
Gegensinnige Wicklungen
Negative magnetische Kopplung Positive magnetische Kopplung
Gleichsinnige Wicklungen
Zusammenhang zwischen Wicklungssinn, Stromflussrichtung, magnetischer Kopplung und
Darstellung im elektrischen Ersatzschaltbild. Die Richtungen der magnetischen Teilflüsse
bestimmen die magnetische Kopplung. Bsp. (a) ist negativ, (b) positiv magnetisch gekoppelt.
3.11 Magnetische Energie
Allgemein wird die magnetische Energie berechnet über
w m
∫ Be
0
H · d
B und W m
∫ V
0
w m
dV. (19)
wobei w m
die magnetische Energiedichte und W m
die magnetische Energie ist. Für den Fall
eines homogenen Feldes im betrachteten Volumen V und μ = konst. gilt auch
w m
2 μ
B
2
e
, w m
μ
H
2
e
, w m
H
e
B
e
, W
m
= V w m
Energie für eine einfache Spule mit konstanter Eigeninduktivität L
W
m
L I
2
, W m
N Φ I. (21)
N : Windungszahl, Φ: magn. Fluss, I: Stromstärke.
3.12 Induktionsgesetz
Lenzsche Regel: Die Induktionswirkung ist ihrer Ursache entgegengerichtet.
u(t) = −N
dΦ
dt
u: induzierte el. Spannung, N : Windungszahl, Φ: magn. Fluss.
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4 Maxwellsche Gleichungen
Erste Maxwellsche Gleichung: Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz
rot
H =
J +
D
∂t
∮
L
H · d~s =
∫
A
(
J +
D
∂t
)
· d
A. (23)
Zweite Maxwellsche Gleichung: Faradaysches Induktionsgesetz
rot
E = −
B
∂t
∮
L
E · d~s = −
∫
A
B
∂t
· d
A. (24)
Dritte Maxwellsche Gleichung: Gaußsches magnetisches Gesetz
div
B = 0 ,
∮
A
B · d
A = 0. (25)
Vierte Maxwellsche Gleichung: Gaußsches elektrisches Gesetz
div
D = ρ ,
∮
A
D · d
A =
∮
V
ρ dV = Q. (26)
J: Stromdichte,
D: elektrische Flussdichte,
E: elektr. Feldstärke, ρ: Raumladungsdichte.
5 Wechselstromrechnung
5.1 Zeitabhängige Funktionen
Periodische Funktionen sind allgemein definiert durch
f (t) = f (t + k T ) , mit der Periodendauer T und k ∈ Z. (27)
Definition der Kreisfrequenz ω bei sinusförmigen Funktionen
ω =
2 π
T
, ω = 2πf , f =
T
Beispiel: allgemeine Beschreibung einer Sinusfunktion mit Amplitude ˆa, Kreisfrequenz ω und
Nullphasenwinkel ϕ 0
a(t) = ˆa sin(ωt + ϕ 0
Mittelwertbildung bei periodischen Funktionen
Integration über die Zeit t:
Arithmetischer Mittelwert Gleichrichtwert Effektivwert
f =
T
∫ T
t =
f (t) dt |f | =
T
∫ T
t =
|f (t)| dt F =
√
T
∫ T
t =
f
2 (t) dt (30)
Integration über den Winkel ωt (Substitution t 7 → ωt)
f =
2 π
∫ 2 π
ωt =
f (ωt)dωt |f | =
2 π
∫ 2 π
ωt =
|f (ωt)| dωt F =
√
2 π
∫ 2 π
ωt =
f
2 (ωt)dωt (31)
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5.5 Reihen- und Parallelschaltung
Reihenschaltung komplexer Impedanzen und Admittanzen
Z =
∑
k
Z
k
Y
∑
k
Y
k
Parallelschaltung komplexer Impedanzen und Admittanzen
Y =
∑
k
Y
k
Z
∑
k
Z k
5.6 Impedanz, Admittanz von Widerstand, Kondensator und Spule
Ohmscher Widerstand Kondensator, Kapazität Spule, Induktivität
u R = R · i R u C =
j ωC
i C , i C = C
d
dt
u C u L = j ωL i L , u L = L
d
dt
i L
Z
R
= R
R
= R Z
C
= R
C
j ωC
Z
L
= R
L
= j ωL
R
R
= R R
C
= 0 R
L
X
R
= 0 X
C
ωC
X
L
= ωL
Y
R
= G
R
= G Y
C
= G
C
= j ωC Y L
= G
L
j ωL
G
R
= G G
C
= 0 G
L
B
R
= 0 B
C
= ωC B L
ωL
R =
G
X
C
B C
X
L
B
L
5.7 Resonanzfrequenzen
5.7.1 Phasenresonanz
Bei Phasenresonanz verschwindet der Imaginärteil einer komplexen Funktion (hier am Bei-
spiel der Impedanz Z), d. h. es gilt
={Z(ω 0
)} = 0 sowie ϕ Z
(ω 0
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5.7.2 Betragsresonanz
Bei der Betrags- oder Amplitudenresonanz nimmt der Betrag einer komplexen Funktion (hier
am Beispiel der Impedanz Z) einen Extremwert (Minimum oder Maximum) an, d. h. es gilt
dZ(ω)
dω
∣
∣
∣
∣
ω = ω 0
5.8 Grenzfrequenz
Die Grenzfrequenz f g
oder Grenzkreisfrequenz ω g
tritt auf, wenn für die Beträge einer
komplexen Funktion gilt
Funktionswert bei ωg
Maximum der Fkt.
bzw.
Funktionswert bei ωg
Minimum der Fkt.
Ist der Extremwert rein reell oder rein imaginär gilt außerdem (Bsp.: beim Reihenresonanz-
kreis ist Z min
= R)
<{Z(ω g )} = |={Z(ω g )}| , ϕ(ωg) = arctan(±1) = ±
π
5.9 Leistungen im Wechselstromkreis
Kompl. Scheinleistung: S = U I
∗
= P + j Q S = I
2
Z , S = U
2
Y
∗
(42)
Wirkleistung: P = U I cos(ϕ) P = <{S} = S cos(ϕ) (43)
Blindleistung: Q = U I sin(ϕ) Q = ={S} = S sin(ϕ) (44)
Einheiten: [S] = VA , [P ] = W , [Q] = VAr.
Wichtig: Die Leistung der Quellen ist negativ: Sq = −U 0 I
∗
0
5.10 Leistungsanpassung
Das Maximum der Wirkleistung tritt auf, wenn zwischen Innenimpedanz Z i
und Lastimpe-
danz Z a
gilt
Z
a
= Z
∗
i
5.11 Ortskurven
Ortskurve = Darstellung der Abhängigkeit einer Funktion von einem Parameter in der kom-
plexen Ebene. Die Ortskurve wird beschrieben durch einen komplexen Zeiger, der vom Ur-
sprung auf einen Punkt in der komplexen Ebene zeigt. Durch Variation der abhängigen
Größe beschreibt dieser Zeiger eine Kurve in der komplexen Ebene.
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A Mathematische Ergänzungen
A.1 Rechenregeln für komplexe Rechnungen
Definition: es sei Z eine beliebige komplexe Zahl und Z
∗ ihre Konjugiertkomplexe mit
Z = R + j X = Z · e
j ϕZ
und Z
∗
= R − j X = Z · e
− j ϕZ
(48)
dann gilt
Z + Z
∗
= 2<{Z} = 2R , Z − Z
∗
= j 2={Z} = j 2X , Z · Z
∗
= Z
2
. (49)
Für den Betrag und den Phasenwinkel gilt
|Z| = Z =
R
2
2 , ϕ Z = arctan
(
={Z}
<{Z}
)
= arctan
(
X
R
)
Multiplikation und Division zweier komplexer Zahlen Z 1
und Z 2
Z 1 Z 2 = Z 1 Z 2 · e
j( ϕ 1 + ϕ 2 )
=
√
(R
2
1
+ X
2
1
)(R
2
2
+ X
2
2
) · e
j( ϕ 1 + ϕ 2 )
, (51)
= (R
1
)(R
2
) = R
1
R
2
− X
1
X
2
X
2
+ R
2
X
1
Z 1
Z
2
Z 1
Z
2
· e
j( ϕ 1 − ϕ 2 )
=
√
R
2
1
+ X
2
1
√
R
2
2
+ X
2
2
· e
j( ϕ 1 − ϕ 2 )
, (53)
(R
1
(R 2 + j X 2 )
R
1
R
2
+ X
1
X
2
X
1
− R
1
X
2
R
2
2
+ X
2
2
A.2 Sinus- und Cosinus-Funktionen
Wichtige Funktionswerte
α α (rad) sin α cos α
◦ 0 0 1
◦ π
6
1
2
1
2
◦ π
4
1
2
1
2
◦ π
3
1
2
1
2
◦ 5 π
12
1
4
1
4
◦ π
2
◦ 7 π
12
1
4
1
4
◦ 2 π
3
1
2
1
2
◦ 3 π
4
1
2
1
2
◦ 5 π
6
1
2
1
2
◦ π 0 − 1
◦ 3 π
2
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Symmetrien
sin(−x) = − sin x = sin(x + π) (55)
cos(−x) = cos x (56)
Gegenseitiger Zusammenhang
sin(x) = cos
(
π
− x
)
und cos(x) = sin
(
π
)
sin
2
x + cos
2
x = 1 , sin
2
x =
(
1 − cos 2x
)
, cos
2
x =
(
1 + cos 2x
)
sin x =
1 − cos
2 x für 0 < x < π
1 − cos
2 x für π < x < 2 π
cos x =
1 − sin
2 x für 0 < x <
π
2
3 π
2
< x < 2 π
1 − sin
2 x für
π
2
< x <
3 π
2
Ableitungen
sin
′
x = cos x (60)
cos
′
x = − sin x (61)
Additionstheoreme
sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y) (62)
cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y) (63)
sin x ± sin y = 2 sin
(
x ± y
)
· cos
(
x ∓ y
)
cos x + cos y = 2 cos
(
x + y
)
· cos
(
x − y
)
cos x − cos y = −2 sin
(
x + y
)
· sin
(
x − y
)
sin x · sin y =
[
cos(x − y) − cos(x + y)
]
cos x · cos y =
[
cos(x − y) + cos(x + y)
]
sin x · cos y =
[
sin(x − y) + sin(x + y)
]
A.3 Alternative Winkel-Berechnung
Z = |Z| · e
j ϕ
, ϕ = 2 arctan
(
={Z}
<{Z} + |Z|
)
, −π < ϕ < π (70)
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B Linien- und Flächenelemente
B.1 Linienelemente
Weg auf Radius r ds = dr (80)
Weg auf Kreisbogen ds = r dϕ (81)
B.2 Flächenelemente
Rechteck (x, y) dA = dx dy (82)
Kreisfläche dA = % dϕ d% (83)
Zylindermantel dA = % dϕ dz (84)
Kugeloberfläche dA = r
2
sin ϑ dϕ dϑ (85)
j
j
dj
J
dJ
r dJ
J
J
r
r
r
r sinJ
r sinJ dj
x
x
x
y
y
y
z
z
z d A
d A
d A
d%
% dj
j
n
x
x
y
y
z
d A
d A
A
Zylindermantel
A
Kreis
A
Kugel
% dj
d z
j
