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1 Lineares Gleichungssystem LGS
Das LGS Ax = b kurz (A|b) mit A ∈ K
m×n , x ∈ K
n , b ∈ K
m hat
m Gleichungen und n Unbekannte.
1.1 Elementare Zeilen/Spaltenumformungen(EZF/ESF)
A ∈ K
m×n hat m Zeilen zi ∈ K n und n Spalten sj ∈ K m
- Vertauschen zweier Zeilen/Spalten
- Multiplikation einer Zeile mit einemλ 6 = 0
- Addition eines λ-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
1.2 Rang einer Matrix
r = rg = Rang (Anzahl der Nichtnullzeilen)
1.3 L¨osbarkeitskriterium eines LGS
- genau dann l¨osbar, wenn: rg(A) = rg(A|b))
- wenn l¨osbar, n − rg(A) = Anzahl der frei w¨ahlbaren Parameter
- eindeutig l¨osbar, wenn rg(A) = n
1.4 Das homogene LGS
- (A|0) hat stets die triviale L¨osung 0
- Summe und Vielfache der L¨osungen von (A|0) wieder L¨osungen
2 Rechnen mit Matrizen
Die Matrix A = (aij ) ∈ K
m×n hat m Zeilen mit Index i und n
Spalten mit Index j
2.1 Rechenregeln
Merke: Zeile vor Spalte! (Multiplikation, Indexreihenfolge, etc...)
A + B = B + A 2) (A+B)+C = A+(B+C)
A + 0 = A/A + (−A) = 0 4) (λ · μ)A = λ(μ · A)
1 · A = A 6) (λ + μ)A = λA + μA
λ(A + B) = λA + λB 8) (A · B) · C = A · (B · C)
A · (B + C) = AB + AC 10) En · A = A = A · En
Multiplikation von A ∈ K
m×r und B ∈ K
r×n : AB ∈ K
m×n
Multiplikation nicht kommutativ! A · B 6 = B · A
2.2 Transponieren
Falls A = (aij ) ∈ K
m×n gilt: A
= (aji) ∈ K
n×m
1) (A + B)
= A
- (A · B)
= B
· A
- (λA)
= λA
- (A
)
= A
A ∈ K
n×n ist symmetrisch, falls A = A
(⇒ diagbar)
A ∈ K
n×n ist schiefsymmetrisch, falls A = −A
A ∈ K
n×n ist orthogonal(Spaltenvektoren=OGB), falls:
AA
= En A
= A − 1 det A = ± 1
A ∈ C
n×n ist hermitesch, falls A = A
(kmplx. konj. u. transp.)
2.3 Inverse Matrix
f¨ur die inverse Matrix A − 1 von A ∈ K n×n gilt:
- A − 1 A = En 2) (A − 1 ) − 1 = A
3) (AB)
− 1 = B
− 1 A
− 1
- (A
)
− 1 = (A
− 1 )
A ∈ R
n×n ist invertierbar, falls: det(A) 6 = 0 ∨ rg(A) = n
Berechnen von A
− 1 nach Gauß:
AA
− 1 = En ⇒ (A|En)
EZF −→ (En|A
− 1 )
2.4 Determinante von A ∈ K n×n : det(A) = |A|
A 0
C D
= det
A B
0 D
= det(A) · det(D)
- obere/untere 4 -Matrix: det(A) = λ 1 ·... · λn
(Multiplikation der Koeffizienten der Diagonalen)
• A = B · C ⇒ |A| = |B| · |C|
)
- Hat A zwei gleiche Zeilen/Spalten ⇒ |A| = 0
• |A| =
n ∑
i=
i+j · aij · |Aij | Entwcklng. n. iter Zeile.
- det(λA) = λ n det(A)
- Ist A invertierbar, so gilt: det(A
− 1 ) = (det(A))
− 1
- A ist invertierbar, wenn det(A) 6 = 0
- Vertauschen von Zeilen/Spalten ¨andert Vorzeichen von |A|
- det(AB) = det(A) det(B) = det(B) det(A) = det(BA)
Vereinfachung f¨ur Spezialfall A ∈ K
2 × 2
A =
a b
c d
∈ K
2 × 2 ⇒ det(A) = |A| = ad − bc
2.5 Rang einer Matrix A
A ∈ K m×n mit r lin. unabh¨angige Zeilen und l Nullzeilen:
Rang von A: rg(A) = m − l = r
Zeilenrang (A): Bringe A auf ZSF ⇒ Zeilenrang(A) = rg(A)
Zeilenraum (A): ZA = Zeilen ungleich 0
Spaltenrang: Bringe Matrix auf Spaltenstufenform
Kern: ker(A) = {v ∈ R
n | Av = 0} dim(ker(A)) = n − r
Bild: A T ⇒ EZF ⇒ Zeilen ( 6 = 0) bilden die Basis vom Bild. Die (lin.
unabh¨angigen) Spalten von A bilden eine Basis vom Bild.
3 Vektorr¨aume
Eine nichtleere Menge V mit zwei Verkn¨upfungen + und · heißt K-
Vektorraum ¨uber dem K¨orper K.
3.1 Untervektorr¨aume
Eine Teilmenge U eines K−Vektorraums V heißt Untervektorraum
(UVR) von V , falls gilt:
1) U 6 = ∅ ( 0 ∈ U )
u + v ∈ U ∀u, v ∈ U
λu ∈ U ∀u ∈ U, ∀λ ∈ K
Wegen (3.) enth¨alt ein UVR U stets den Nullvektor 0. Daher zeigt
man (1.) meist, indem man 0 ∈ U nachweist.
Triviale UVR: U = { 0 } mit B = ∅ U = V mit B U
= B
V
3.2 Lineare Unabh¨angigkeit
Vektoren heißen linear unabh¨angig, wenn aus:
λ 1 ~v 1 + λ 2 ~v 2 +... + λn~vn = ~ 0 folgt, dass λ 1 = λ 2 = λn = 0
3.3 Basis (Jeder VR besitzt eine Basis!)
Eine Teilmenge B heißt Basis von V , wenn gilt:
- 〈B〉 = V (B erzeugt V )
- B ist linear unabh¨angig
3.4 Dimension n := |B| ∈ N 0 Dimension von V dim(V ) = n
Mehr als n Vektoren sind stets linear abh¨angig.
F¨ur jeden UVR U ⊂ V gilt: dim(U ) < dim(V )
3.5 Orthogonalit¨at I
Skalarprodukt 〈v, w〉
′ , w〉 = λ · 〈v, w〉 + 〈v
′ , w〉
- Symmetrisch: 〈v, w〉 = 〈w, v〉
- Positiv definit: 〈v, v〉 ≥ 0
Skalarprodukt bez¨uglich symmetrischer, quadratischer und positiv defini-
te Matrix A ∈ R n×n ⇒ 〈v, w〉 A = v T Aw
kanonisches Standardskalarprodukt: 〈v, w〉 = v
T w
Skalarprodukt Polynomfunktion < p(x), q(x) >=
´^1
0
p(x)q(x) dx
In euklidischem Vektorraum gilt:
Merke: Nullvektor steht auf allen Vektoren senkrecht.
- L¨ange/Norm von v: ||~v|| =
< ~v, ~v >
- Abstand von v und w: d(v, w) = ‖v − w‖ = ‖w − v‖
- Winkel: 〈~v, ~w〉 = v · w · cos φ φ = arccos
〈v,w〉 ‖v‖‖w‖
- Orthogonalit¨at (v⊥w): 〈~v, ~w〉 = 0
- Normierung auf L¨ange 1: 1 ‖v‖
· v
Cauchy-Schwarz-Ungleichung: |〈v, w〉| ≤ ‖v‖ · ‖w‖
Orthogonalsystem: ∀ 〈v, w〉 ∈ B mit v 6 = w : v⊥w
Orthogonalbasis: wenn B Orthogonalsystem und Basis
Orthonormalsystem: wenn B Orthogonalsystem und ‖v‖ = 1 ∀v ∈ B
Orthonormalbasis (ONB): wenn B Orthonormalsystem und Basis
Orthogonale Zerlegung eine Vektors v l¨angs a:
v = va + v a⊥^ mit va =
〈v,a〉 〈a,a〉 · a und v a⊥^ = v − va
Bestimmen einer Linearkombination bzgl. einer ONB:
B = {b 1 ,... , bn} ⇒ λ i = 〈v, b i
Spiegelungsmatrizen: ∀a ∈ R
n { 0 }
Ha = En −
a
· a
· aa>
3.6 Orthogonalit¨at II
Orthonormalisierungsvefahren Gram-Schmidt: aus Basis{v 1 ,... , vn}
- b 1 =
v 1 ‖v 1 ‖
(Vektor mit vielen 0en oder 1en)
- b 2 =
c 2 ‖c 2 ‖
mit c 2 = v 2 − 〈v 2 , b 1 〉 · b 1
- b 3 =
c 3 ‖c 3 ‖ mit c 3 = v 3 − 〈v 3 , b 1 〉 · b 1 − 〈v 3 , b 2 〉 · b 2
Vektorprodukt ~a × ~b =
a 2 b 3 − a 3 b 2
a 3 b 1 − a 1 b 3
a 1 b 2 − a 2 b 1
(^) ~a,~b ∈ R^3
~a ×
b ⊥ ~a,
b (~a ×
b = 0 ⇔ ~a;
b linear unabh¨angig.)
‖a × b‖
2
2 = ‖a‖
2 · ‖b‖
2 a × a = 0
||~a × ~b|| = ||~a|| · ||~b|| · sin
](~a;~b)
= Fl¨ache des Parallelogramms
Graßmann-Identit¨at: ~u × (~v × w~) ≡ ~v · (~u · w~) − w~ · (~u · ~v)
Spatprodukt:
- [a, b, c] := 〈~a × ~b, ~c〉 = det(a, b, c)
- |[a, b, c]| =̂ Volumen des Spates
- [a, b, c] > 0 ⇒ a, b, c bilden Rechtssystem
- [a, b, c] = 0 ⇒ a, b, c linear unabh¨angig
Orthogonale Projektion in UVR:
Normiere Basis von U nach Gram-Schmidt.
n − r linear unabh¨angige Vektoren, die ⊥ zu {b 1 ,... , br } sind
3)u = 〈b 1 , v〉 b 1 + 〈b 2 , v〉 b 2... ⇒ u⊥ = v − u
Abstand von v zu U : ‖u ⊥
Das lineare Ausgleichsproblem: (Methode der kleinsten Quadrate)
Experiment: (t 1 , y 1 ),... , (tn, yn)
f 1 : R → R, f 1 (x) = 1 f 2 : R → R, f 2 (x) = x
⇒ A =
f 1 (t 1 ) f 2 (t 1 )
f 1 (tn) f 2 (tn)
b =
y 1
yn
A
Ax = A
b → LGS l¨osen nach x
f : R → R, f (x) = x 1 f 1 (x) +... + xnfn(x)
4 QR-Zerlegung einer Matrix
A = QR Q
Q = En und R = (
R, 0)
(Dreiecksmatrix)
- Spalte s = (s 1 ,... , sn) > von A kein Vielfaches von e 1
a = s − α 1 e 1
s 1 < 0 : α 1 = + ‖s‖
s 1 > 0 : α 1 = − ‖s‖
- Spalte s = (0, s 2 ,... , sn)
von A kein Vielfaches von e 2
a = s − α 2 e 2 6 = 0;
s 2 < 0 : α 2 = + ‖s‖
s 2 > 0 : α 2 = − ‖s‖
H 1 = Ha = En −
2 a>·a
· aa> und A 2 = H 2 H 1 A
→ A = QR mit Q = H 1 ,... , Hr und R = Ar
→ x durch R¨uckw¨artssubstitution aus Rx = Q
b mit A = QR
L¨osen des linearen Ausgleichsproblem mit QR-Zerlegung:
reduzierte QR-Zerlegung von A → A =
Q
R →
Rx =
Q
b
5 Folgen (an)n
explizite Folge: (an) mit an = a(n)
rekursive Folge: (an) mit a 0 = f 0 , a n+ = a(an)
5.1 Monotonie
Im Wesentlichen gibt es 3 Methoden zum Nachweis der Monotonie:
- an+1 − an ≷ (=)0 (streng) monoton steigend/ fallend
an+
an
≷ (=)1 (streng) monoton steigend/ fallend
- Vollst¨andige Induktion
5.2 Konvergenz
(an) ist Konvergent mit Grenzwert a : |an − a| < ∀n ≥ N 0
Eine Folge konvergiert gegen eine Zahl a: (an)
n→∞ −→ a
Es gilt:
- Der Grenzwert a einer Folge (an) ist eindeutig.
- Ist (an) Konvergent, so ist (an) beschr¨ankt
- Ist (an) unbeschr¨ankt, so ist (an) divergent.
- Monotoniekriterium: an beschr¨ankt und monoton → an konver.
Regeln f¨ur konvergente Folgen (an)
n→∞ −→ a und (bn)
n→∞ −→ b:
(an + bn)
n→∞ −→ a+b (anbn)
n→∞ −→ ab (
an bn
n→∞ −→ a b
(λan)
n→∞ −→ λa (
an)
n→∞ −→
a (|an|)
n→∞ −→ |a|
an 6 bn
n→∞ −→ a 6 b an 6 cn 6 bn
n→∞ −→ (cn) → a
Grenzwertbestimmung bei rekursiv definierten Folgen:
- Zeige, dass (an) konvergiert durch Beschr¨anktheit und Monotonie
- Aufstellen und L¨osen der Fixpunktgleichung
→ Ersetzen der an + 1, an durch a in Rekursionsvorschrift
- Schließe Kandidaten aus, sodass nur einer ¨ubrig bleibt
6 Reihen
∞ ∑
n=
n
Harmonische Reihe
∞ ∑
n=
q
n
1 − q
Geometrische Reihe
∞ ∑
n=
n+
n
= konv.
Alternierende harmonische Reihe
6.1 Konvergenz- und Divergenzkriterien ∑ ∞ n= an divergiert, falls an 6 → 0 oder
Minorante:∃
∞ n= bn(div) ∧ an ≥ bn ∀n ≥ n 0 ∑ ∞ n=
n an konvergiert falls (an) monoton fallende Nullfolge
oder Majorante: ∃
∞ n= bn = b ∧ an ≤ bn ∀n ≥ n 0
Absolute Konvergenz (
∞ n= |an| = a konvergiert), falls:
- Majorante: ∃
∞ n= bn = b ∧ |an| ≤ bn ∀n ≥ n 0
- Quotienten und Wurzelkriterium:
r := lim n→∞
an+
an
∨ r := lim n→∞
n
|an|
Falls
r < 1 ⇒
n= an konvergiert absolut
r > 1 ⇒
∞ n= an divergiert
r = 1 ⇒
∞ n= an keine Aussage m¨oglich
Dreiecksungleichung:
∞ n= an
∞ n= ‖an‖
Cauchyprodukt:
(
∞ n= an)(
∞ n= bn) =
∞ n=
k l= albn−l)
mit cn = (
k l= albn−l) UND a,b absolut konvergent
→ c konvergent (
∞ n= cn) = (
∞ n= an)(
∞ n= bn)
7 Potenzreihen f (x) =
∞ n=
an · (x − a)
n
Konvergenz: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
a n+ (x−a) n+
an(x−a) n
a n+ an
∣ |x^ −^ a|^
n→∞ → q · |x − a|
Falls
|x − a| <
1 q /R konvergiert absolut
|x − a| > 1 q
/R divergiert
|x − a| = 1 q /R keine Aussage m¨oglich
Konvergenzradius: R = 1 q
R = lim n→∞
an an+
= lim n→∞
1 n
|an|
f¨ur R=0 : K(f )={a} oder R=∞ : K(f )=R
→ ansonsten untersuche f an den R¨andern mit Konvergenzkriterien
cosh =
e x +e −x
2 sinh =
e x −e −x
2
arccosh(x) = ln(x +
x 2 − 1) arcsinh(x) = ln(x +
x 2
tanh = sinh cosh coth = cosh sinh
exp(x) =
∑^ ∞
n=
n!
x
n cos(x) =
∑^ ∞
n=
n x 2 n
(2n)!
1 − x
∑^ ∞
n=
x
n sin(x) =
∑^ ∞
n=
n x 2 n+
(2n + 1)!
WiSe MW 2013/2014 Jonathan Erhard ([email protected]) unter Verwendung der Vorlage von www.latex4ei.de Stand: 12. Juni 2014 um 15:52 Uhr 1
8 Funktionen
Eine Funktion f ist eine Abbildung, die jedem Element x einer Definiti-
onsmenge D genau ein Element y einer Wertemenge W zuordnet.
f : D → W, x 7 → f (x) := y
Verkettung/Komposition: g ◦ f = g(f (x))
Injektiv: f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2
Surjektiv: ∀y ∈ W ∃x ∈ D : f (x) = y
(Alle Werte aus W werden angenommen)
Bijektiv: f ist injektiv und surjektiv ⇒ f umkehrbar
Umkehrabbildung: f (x) = y → x = g(y) → y = x und g = f − 1
Identit¨at: Idx : X → X Id(x) = x immer bijektiv
8.1 Grenzwerte und Stetigkeit f : [a, b] → R, f 7 → f (x)
lim x→a
f (x) = c, lim x→a
g(x) = d → lim x→a
λf (x) + μg(x) = λc + μd
lim x→a
f (x) = f ( lim x→a
x)||f, g stetig → f + g, λf, f g, f g
, f ◦ g
stetig
Regel von L’Hospital: (Falls ∃ ein Grenzwert)
lim x→a
f (x) g(x)
[
0 0
]
[
∞ ∞
]
= lim x→a
f ′ (x)
g ′ (x)
Satz von Maximum und Minimum: ∃ Stellen xmax, xmin ∈ [a, b] :
fmin = f (xmin) 6 f (x) 6 f (xmax) = fmax
Zwischenwertsatz: ∀y ∈ [f (a), f (b)] ∃x ∈ [a, b] : f (x) = y
Nullstellensatz: ist f (a) < 0 und f (b) > 0 (oder umgekehrt) so gilt:
∃xˆ[a, b] : f (ˆx) = 0
Fixpunktsatz: f : [a, b] → [a, b] stetig → ∃xˆ : f (ˆx) = ˆx
9 Differentiation
f diffbar, falls f stetig und lim h→ 0
f (x 0 +h)−f (x 0 ) h
= f ′ (x) exist.
f differenzierbar → f stetig f stetig 6 → f differenzierbar
Tangentengleichung: y = f (x 0 ) + f
′ (x 0 )(x − x 0 )
Mittelwertsatz: Falls f diffbar, dann ∃x 0 : f ′ (x 0 ) =
f (b)−f (a) b−a
9.1 Anwendungen der Differentiation
Numerische Differentiation (Erhalten der Werte der Ableitungsfkt.)
f ′ ≈
f (x 1 )−f (x 0 ) h
f ′′ ≈
f (x 2 )− 2 f (x 1 )+f (x 0 ) h
Newton-Verfahren: mit tol > 0 und gesuchter Nullstelle x∗
Solange |xn+1 − xn| 6 tol und |f (xn+1)| 6 |f (xn)| :
xn+1 = xn −
f (xn) f ′(xn)
mit Startwert x 0
Taylorpolynom: Tm,f,a(x) =
m k=
f (k) (a) k! (x − a)
k
Taylorreihe: T f,a (x) =
∞ k=
f (k) (a) k!
(x − a)
Restglied: Rm+1(x) = f (x) − Tm,f,a(x)
Bestimmung von Taylorreihen: Taylorformel ∨ bekannte Taylorreihen
differenzieren bzw. integrieren ∨ bekannte Taylorreihen einsetzen ∨
Koeffizientenvergleich
Polynom- und Splineinterpolation
(bei n + 1 St¨utzstellen (x 0 , y 0 ),... , (xn, yn))
- Lagrange’sche Interpolationsformel:
f (x) =
n i= yi
n j=0,j 6 =i
x−x l xi−xj
- Interpolationspolynom nach Newton:
f (x) = anx
n +... + a 1 x + a 0
- Ansatz: f (x) = λ 0 + λ 1 (x − x 0 ) + λ 2 (x − x 0 )(x − x 1 ) +
... + λn(x − x 0 )... (x − xn− 1 )
Bestimme λ 0 ,... , λn mit f (xi) = yi
λ i einsetzen in 1) → Erhalten der a i
- Bestimmung der kubischen Splineinterpolation:
s an den St¨utzstellen (x 0 , y 0 ), ..., (xn, yn) durch n Polynome:
si(x) = ai + bi(x − xi) + ci(x − xi)
2
3
Koeffizientenbestimmung: c 0 = 0 = cn
restliche ci aus LGS mit hi = xi+1 − xi
wobei ri = 3
yi+1−yi
hi
yi−yi− 1
hi− 1
; i = 1, ..., n − 1
a i = y i b i
y i+ −y i h i
2 c i +c i+ 3
d i
c i+ −c i 3 h i
10 Integration I (Fl¨achenbestimmung)
f stetig→integrierbar f integrierbar→|f | integrierbar
10.1 Integrationsregeln:
b a f (x)dx = F (b) − F (a)
λf (x) + μg(x) dx = λ
f (x) dx + μ
g(x) dx
b a f (x)dx| 6
b a |f (x)|dx
f (x) 6
g(x)
b a
f (x)dx = −
a b
f (x)dx
10.2 Integrationsmethoden
- Anstarren + G¨ottliche Eingebung
- Partielle Integration:
uv ′ = uv −
u ′ v
f (g(x) ︸ ︷︷ ︸
t
) g
′ (x) dx ︸ ︷︷ ︸
dt
f (t) dt
- Logarithmische Integration:
g ′ (x) g(x)
dx = ln |g(x)|
11 Integration II
11.1 numerische Integration
n¨aherungsweise Bestimmung eines bestimmten Integrals:
Unterteile das Intervall [a, b] in Teilintervalle [xi, xi + 1]
Ersetze f auf jedem Teilintervall durch einfach zu integrierende Fkt.
Erhalte den N¨aherungswert:
f (x)dx =
∑n− 1
i=
´ xi+ xi p i (x)dx
11.2 Besondere Regeln
Newton-Cotes-Formel: ¨aquidistante Teilintervalle Breite h
h =
(b−a) n
x i = a + ih
Trapezregel: (Grad 1)
T (h) = h
1 2 f (x 0 ) + f (x 1 ) + ... + f (xn− 1 ) + 1 2 f (xn)
Simpsonregel:
S(h) = h 6
(f (x 0 ) + 4f
x 0 +x 1 2
x n− 1 +xn
2
11.3 Rotationsk¨orper
Volumen: V = π
b a f (x) 2 dx
Oberfl¨ache: O = 2π
b a
f (x)
1 + f ′(x)^2 dx
11.4 unbestimmtes Integral
b¨´ose
ok
f (x)dx = lim b→b¨ose
´^ b
ok
f (x)dx
Majoranten-Kriterium: |f (x)| ≤ g(x) und
∞ a g(x)dx
→
∞ a f (x)dx existiert dann auch
Cauchy-Hauptwert:
−∞
f (x)dx = lim b→∞
´^ b
−b
f (x)dx
12 Differentialgleichungen
12.1 Separierbare DGL: x˙(t) = f (t)g(x)
- Separation: dx g(x)
= f (t)dt
- Integration:
dx g(x)
f (t)dt + c
Aufl¨osen nach x = x(t)
L¨osung f¨ur g(x) = 0 ?? → ¨Uberpr¨ufen
12.2 Lineare DGL 1. Ordnung: x˙(t) + a(t)x(t) = s(t)
- homogene L¨osung der separierbaren DGL x˙(t) + a(t)x(t) = 0
→ x h (t) = ce −
´ a(t)dt
- Variation der Konstanten
→ partikul¨are L¨osung xp(t) = c(t)e −
´ a(t)dt
→ in inhomogene DGL einsetzen → c(t) und xp(t)
- Allgemeine L¨osung: xa = xp + xh
12.3 Lineare homogene DGL mit konst. Koeffizienten:
anx (n)
- a n− 1 x (n−1)
- ... + a 1 x˙ + a 0 x = 0
- Charakteristische Gleichung: Ersetze x (n) durch λ n →
anλ
n
Bestimme L¨osungen der charakteristischen Gleichung
n-linear unabh¨angige L¨osungen {x 1 , ..., xn}:
· doppelte Nst mit m = m i w¨ahle: e λt , te λt , ..., t m− 1 e λt
· komplexe Nst λ = a + ib = λi mit m = mi
→ streiche
λ : e
at cos(bt), e
at sin(bt)
- n linear unabh¨angige L¨osungen
→ allgemeine L¨osung xh(t) = c 1 x 1 (t) + ... + cnxn(t)
Wronski-Determinante: W (t) = det(Matrix der L¨osungen) 6 = 0
Entscheidung ob die L¨osungen unabh¨anging sind
12.4 Inhomogene lin. DGL mit konst. Koeffizienten
anx (n)
- a n− 1 x (n−1)
- ... + a 1 x˙ + a 0 x = s(t)
Bestimme L¨osungsmenge L 0 der zugeh¨origen homogenen DGL
partikul¨are L¨osung mit VdK oder Ansatz vom Typ der rechten Seite
L = xp + L 0
- VdK f¨ur n = 2 : a 2 x¨ + a 1 x˙ + a 0 x = s(t):
Ansatz: xp = c 1 (t)x 1 + c 2 (t)x 2
Erhalte c˙ 1 , c˙ 2 aus:
c ˙ 1 x 1 + ˙c 2 x 2 = 0 und c˙ 1 x˙ 1 + ˙c 2 x˙ 2 =
s(t) a 2
- Integration von c˙ 1 , c˙ 2 → c 1 und c 2 →
L¨osung xp = c 1 x 1 + c 2 x 2
- Ansatz vom Typ der rechten Seite: ”
xp ist vom Typ s(t)“
f¨ur s(t) = (b 0 + b 1 t + ... + bmt
m )e
at cos(bt) oder
s(t) = (b 0 + b 1 t + ... + bmt m )e at sin(bt) :
xp(t) = [(A 0 + ... + Amt m )cos(bt) + (B 0 + ... +
Bmt
m )sin(bt)]e
at f¨ur p(a + ib) 6 = 0
xp(t) = t r [(A 0 + ... + Amt m )cos(bt) + (B 0 + ... +
Bmt
m )sin(bt)]e
at f¨ur a + ib r-fache Nst
12.5 Die (euler-)homogene DGL: x˙ = φ
x t
- Substitution: z = x t
→ separierbare DGL z˙ = 1 t
(φ(z) − z)
- L¨osen der separierbaren DGL:
dz φ(z)−z
= ln |t| + c → aufl¨osen
nach z(t)
- R¨ucksubstitution
12.6 Eulersche DGL: a 2 tx¨ + a 1 t x˙ + a 0 x = s(t)
charakteristische Gleichung: p(α) = a 2 α(α − 1) + a 1 α + a 0 = 0
Faktorisiere: p(α)
Erhalte n unabh¨angige L¨osungen: x h (t) = c 1 x 1
· einfache Nst: t
α
· doppelte Nst: t
α , t
α ln t
· komplexe Nst: a + ib = α = αi → t α sin(b ln(t)), t α cos(b ln(t))
- Bestimme durch VdK die partikul¨are L¨osung
12.7 Bernoulli’sche DGL: x˙ = a(t)x(t) + b(t)x α (t); α ∈ R{ 0 , 1 }
- durch Substitution z(t) = [x(t)] 1 −α → 1 1 −α
z˙ = az + b
L¨ose diese lineare DGL 1. Ordnung → z(t)
R¨ucksubstitution: x(t) = z
1 1 −α
- AWP und AB liefert c
12.8 Potenzreihenansatz:
x
(n)
- an− 1 (t)x(n − 1) + ... + a 1 (t) ˙x + a 0 (t)x = s(t)
- Entwickeln aller Funktionen a 0 (t), ..., an− 1 (t), s(t) in Taylorreihen
um a :
x (n)
∞ k= c
an− 1
k
(t−a) k x (n−1) +...+
∞ k= c
a 0 k
(t−a) k x = ∑ ∞ k= c
s k (t − a)
k
setze die x(t) in die DGL ein
Zusammenfassung gleicher Koeffizienten vor Potenzen durch Indexver-
schiebung
- Koeffizientenvergleich
12.9 Numerik gew. DGL / AWP: x˙ = f (x, t) mit x(t 0 ) = x 0
Unterteilen des Intervalls [t 0 , t] in St¨utzstellen t k = t 0 + kh
mit Schrittweite h =
t−t 0 n expliziter Euler: xk+1 = xk + hf (tk , xk )
impliziterEuler: xk+1 = xk + hf (tk+1, xk+1)
Mittelpunktsregel: xk+1 = xk + hf
t k +t k+ 2
x k +x k+ 2
2-stufige RKV: x k+ = x k
h 2
, x k
h 2
f (t k , x k
4-stufige (klassische) RKV: xk+1 = xk +
h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
mit k 1 = f (tk , xk ) k 2 = f (tk + h 2
, xk + h 2
k 1 )
k 3 = f (t k
h 2
, x k
h 2
k 2 ) k 4 = f (t k
13 Allgemeines
13.1 Vollst¨andige Induktion
Behauptung: f (n) = g(n) f¨ur n 0 ≤ n ∈ N
IA: n = n 0 : Zeige f (n 0 ) = g(n 0 ) =wahr.
IV: Behauptung gilt f¨ur ein beliebiges n ∈ N (Sei f (n) =wahr)
IS: n → n + 1: Zeige f (n + 1) = f (n) =wahr
... = g(n + 1)
13.2 Werte von π
x 0 π/ 6 π/ 4 π/ 3 π/ 2 π
3 2 π 2 π
sin 0
1 2
1 √ 2
√ 3 2
cos 1
√ 3 2
1 √ 2
1 2
tan 0
√ 3 3
3 0 0
13.3 Besondere Ableitungen und Integrationen
F (x) f (x) f
′ (x)
f
′ (x)
f (x)
ln|f (x)|
f (x)
· f
′ (x)
q + 1
x
q+ x
q qx
q− 1
x 3
x
x
x ln(x) − x ln(x) 1 x
e
x e
x e
x
a x
ln(a)
a
x a
x ln(a)
− cos(x) sin(x) cos(x)
sin(x) cos(x) − sin(x)
− ln | cos(x)| tan(x)
cos 2 (x)
ln | sin(x)| cot(x)
sin 2 (x)
x arcsin(x) +
1 − x 2 arcsin(x)
1 − x 2
x arccos(x) −
1 − x 2 arccos(x) −
1 − x 2
x arctan(x) −
ln
∣1 +^ x
2
∣ arctan(x)^
1 + x^2
WiSe MW 2013/2014 Jonathan Erhard ([email protected]) unter Verwendung der Vorlage von www.latex4ei.de Stand: 12. Juni 2014 um 15:52 Uhr 2
