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Formelsammlung: Investition und Finanzierung
Finanzmathematik:
Aufzinsung (exponentielle Verzinsung): 𝐾𝑛 = 𝐾 0 (1 + 𝑖)𝑛
Abzinsung (exponentielle Verzinsung): 𝐾 0 =
𝐾𝑛 (1+𝑖)𝑛
Aufzinsung (linear): 𝐾𝑛 = 𝐾 0 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑛)
Abzinsung (linear): 𝐾 0 =
𝐾𝑛 (1+𝑖 ∙ 𝑛)
Laufzeitermittlung (exponentiell): 𝑛 =
ln(𝐾𝑛)− ln(𝐾 0 )
ln(1+𝑖) =^
ln(∝) ln(1+𝑖) mit ∝ dem Grad der Vervielfachung
Laufzeitermittlung (linear): 𝑛 =
𝐾𝑛−𝐾 0 𝑖∙𝐾 0
Konformer Zinssatz: 𝑖𝑚 = 𝑚√(1 + 𝑖)^ − 1
Effektiver Zinssatz: 𝑖∗^ = (1 +
𝑖
Unterjährige Verzinsung: 𝐾𝑛,𝑚 = 𝐾 ∙ (1 + 𝑚𝑖)𝑚∙𝑛
Stetige Verzinsung: 𝐾𝑛,∞ = 𝐾 ∙ 𝑒𝑖∙𝑛
Rentenrechnung:
RBF (nachschüssig, endlich): 𝑅𝐵𝐹 =
(1+𝑖)𝑛− (1+𝑖)𝑛∙ 𝑖
RBF(nachschüssig, ewig): 𝑅𝐵𝐹∞ =
1 𝑖
Rentenbarwert: 𝑅 0 = 𝑟 ∙ 𝑅𝐵𝐹(𝑖, 𝑛)
RBF(vorschüssig, endlich): 𝑅𝐵𝐹′^ =
(1+𝑖)𝑛−
(1+𝑖)𝑛^ ∙ (1 + 𝑖)
RBF(vorschüssig, ewig): 𝑅𝐵𝐹∞′^ = 1+𝑖𝑖
Tilgungsrechnung:
Annuität: 𝐴𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝑍𝑡
Restschuld: 𝐾𝑡+1 = 𝐾𝑡 − 𝑇𝑡
Zinsen: 𝑍𝑡+1 = 𝑖 ∙ 𝐾𝑡
Endfällige Tilgung ohne Zinssammlung:
Tilgung: 𝑇𝑡 = {
Zinsen: 𝑍𝑡 = 𝑖 ∙ 𝐾 0
Ratentilgung:
Tilgung: 𝑇𝑡 =
𝐾 0 𝑛
Zinsen: 𝑍𝑡 = (𝑛−𝑡+1𝑛 ) 𝐾 0 ∙ 𝑖
Annuitätentilgung:
Annuität: 𝐴𝑡 = 𝐴 = 𝐾 0 𝑅𝐵𝐹(𝑖,𝑛)
Zinsen: 𝑍𝑡 = 𝑖 ∙ (𝐾 0 − (𝐴 − 𝑖 ∙ 𝐾 0 ) (1+𝑖)
𝑡−1− 𝑖 )
Investitionsrechnung:
Statische Methoden der Investitionsrechnung:
Kalkulatorische Abschreibung: 𝐴𝑓𝐴 =
𝐼 0 −𝐿𝑛 𝑛
Durchschnittliche Kapitalbindung: ∅𝐾𝐵 =
𝐼 0 +𝐿𝑛 2
Kalkulatorische Zinsen: 𝑍𝑘𝑎𝑙𝑘^ = 𝑖 ∙ ∅𝐾𝐵
Periodengewinn: ∅𝐺 = ∅𝐸 − ∅𝐶
Rendite: 𝑅 =
∅𝐺 ∅𝐾
Statische Amortisationsdauer: 𝑡𝐴 =
𝐼 0 −𝐿𝑛
∅𝐺+𝐴𝑓𝐴 ;^ 𝑡𝑠𝑡𝑎𝑡^ =^
𝐼 0 1/𝑛 ∑ 𝑛𝑡=1𝐶𝐹𝑡
Statisch mit kalkulatorischen Zinsen: 𝑡𝑠𝑡𝑎𝑡 =
𝐼 0 1/𝑛 ∑ 𝑛𝑡=1 𝐶𝐹𝑡−𝑍𝑘𝑎𝑙𝑘
Liquidität 3. Grades: 𝐿𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑖𝑡ä𝑡 3. 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑒𝑠 = 𝑈𝑚𝑙𝑎𝑢𝑓𝑣𝑒𝑟𝑚ö𝑔𝑒𝑛𝑘𝑢𝑟𝑧𝑓𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒𝑠 𝐹𝐾
Mit UV = Umlaufvermögen und FK= Fremdkapital
Aktien & Dividenden etc.
Unternehmensanteil (Nennwertaktie): 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 = 𝑁𝑒𝑛𝑛𝑤𝑒𝑟𝑡 𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒 𝐺𝑒𝑧𝑒𝑖𝑐ℎ𝑛𝑒𝑡𝑒𝑠 𝐾𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
Unternehmensanteil (Stückaktie): 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 = 1 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒𝑛
Rechnerischer Nennwert: 𝑅𝑒𝑐ℎ𝑛𝑒𝑟𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒𝑟 𝑁𝑒𝑛𝑛𝑤𝑒𝑟𝑡 = 𝐺𝑟𝑢𝑛𝑑𝑘𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒𝑛𝑎𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙
Dividende pro Aktie: 𝐷 = 𝐴𝑢𝑠𝑠𝑐ℎü𝑡𝑡𝑢𝑛𝑔𝑠𝑏𝑒𝑡𝑟𝑎𝑔𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒𝑛𝑎𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙
Dividendenrendite: 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑡𝑒 = 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜 𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒𝑛𝑘𝑢𝑟𝑠
Kapitalrendite: 𝐾𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑡𝑒 = 𝑁𝑒𝑢𝑒𝑟 𝐾𝑢𝑟𝑠−𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟 𝐾𝑢𝑟𝑠𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟 𝐾𝑢𝑟𝑠
Grundkapital: 𝐺𝑟𝑢𝑛𝑑𝑘𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝑒𝑛𝑛𝑒𝑛𝑤𝑒𝑟𝑡 ∙ 𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒𝑛𝑎𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙
Marktkapitalisierung: 𝑀𝑎𝑟𝑘𝑡𝑘𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔 = 𝐾𝑢𝑟𝑠 ∙ 𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒𝑛𝑎𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙
Bezugsverhältnis: 𝐵𝑉 = (^) 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑗𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟 𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒𝑛𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒𝑛𝑎𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑣𝑜𝑟ℎ𝑒𝑟
Theoretischer neuer Aktienkurs: 𝐾𝑛𝑒𝑢^ = 𝑛
𝑎𝑙𝑡∙𝐾𝑎𝑙𝑡+ 𝑛𝐸𝑚𝐾𝐸𝑚 𝑛𝑎𝑙𝑡+ 𝑛𝐸𝑚
Wert des Bezugsrechts: 𝐵𝑅 = 𝐾𝑎𝑙𝑡^ − 𝐾𝑛𝑒𝑢
Bid-Ask- Spread: 𝑆𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 = (^) (𝐴𝐴+−𝐵𝐵)/ 2
mit B = höchster Bid A = niedrigster Ask
Anleihen, Rendite & Risiko:
Fairer Preis einer Anleihe: 𝑃 = ∑^
𝐶𝐹𝑡 (1+𝑟)𝑡
𝑇 𝑡=
Stückzinsen: 𝑍𝑆𝑡ü𝑐𝑘^ =∝∙ 𝑘 ∙ 𝑁
Anteiliger Kupon act/act: ∝= 𝑡 𝑇^1 1
+ 𝑡 𝑇^2
2 Mit t 1 = Anz. Tage ab Kupontermin im letzten Jahr ; T 2 = Anz. Tage im letzten Jahr ; t 2 = Anz. Tage bis zum Kauftermin im aktuellen Jahr; T 2 = Anz. Tage im aktuellen Jahr
Preis-clean: 𝑝𝑐𝑙𝑒𝑎𝑛^ = 𝑐𝑙𝑒𝑎𝑛 𝐾𝑢𝑟𝑠 ∙ 𝑁
Preis-dirty: 𝑝𝑑𝑖𝑟𝑡𝑦^ = 𝑝𝑐𝑙𝑒𝑎𝑛^ + 𝑍𝑆𝑡ü𝑐𝑘
Macaulay Duration: 𝐷𝑚𝑎𝑐 = 1 𝑃 0 ∑^
𝑡 ∙ 𝐶𝐹𝑡 ( 1 +𝑖)𝑡
𝑛 𝑡= 1
Modifizierte Duration: 𝐷𝑀𝑜𝑑 =
𝐷𝑚𝑎𝑐 (1+𝑟)
Effektivverzinsung Nullkuponanleihe: 𝑦𝑡 = √ 𝐶𝐹𝑇 𝐶𝐹 0
𝑡 − 1
Terminzinssatz: 1 + 𝑓𝑛 = (1+𝑦𝑛)𝑛 (1+𝑦𝑛−1)𝑛− Mit der Effektivverzinsung 𝑦𝑛eines Zero Bonds mit Fälligkeit in n Jahren
Erwartungswert Zufallsvariable: 𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝑝𝑖
Varianz einer Zufallsvariable: 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸((𝑋)^2 ) − (𝐸(𝑋))^2
Risikoprämie: 𝑅𝑃 = 𝐸(𝑋) − 𝐶𝐸
Mit CE = Sicherheitsäquivalent
Arithmetischer Durchschnitt: 𝑅̅ = 1 𝑇 ∑ 𝑇𝑡=1 𝑅𝑡mit 𝑅𝑡 = 𝑊𝑒𝑟𝑡𝑡 𝑊𝑒𝑟𝑡𝑡−1^ − 1
Geometrischer Durchschnitt: 𝑅̅𝑔 = (𝑊𝑒𝑟𝑡 𝑊𝑒𝑟𝑡𝑡 0
1/𝑇 − 1
Varianz: 𝜎^2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑅)^ = (^) 𝑇−^11 ∑^ 𝑇 𝑡= 1 (𝑅𝑡 − 𝑅̅ )^2
Standardabweichung: 𝜎 = √𝜎^2 = √𝑉𝑎𝑟(𝑅)
Portfoliotheorie:
Rendite des Portfolios (allgemein): 𝜇𝑃 = ∑ 𝑛𝑖=1 𝜇𝑖 ∙𝜆𝑖
Rendite des Portfolios (2 Aktien): 𝜇𝑃 = 𝜆 1 ∙ 𝜇 1 + 𝜆 2 ∙ 𝜇 2
mit 𝜆𝐴 = 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒 𝐴 𝑢𝑛𝑑 𝜆𝐵 = 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒 𝐵
Varianz des Portfolios (allgemein): 𝜎𝑝^2 = ∑^ 𝑛𝑖=1∑^ 𝑛𝑗=1𝜆𝑖 ∙ 𝜆𝑗 ∙ 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖, 𝑅𝑗)
Varianz des Portfolios (2 Aktien) 𝜎^2 𝑃 = 𝜆 12 ∙ 𝜎 12 +(1 − 𝜆 1 )^2 ∙ 𝜎 22 + 2 𝜆 1 ∙ (1 − 𝜆 1 ) ∙ 𝜎 1 ∙ 𝜎 2 ∙ 𝜌1,
Standardabweichung (naives Portfolio): 𝜎𝑝 = √𝑠
2 𝑛 + 𝑐(1 −^
1 𝑛)
Korrelationskoeffizient : 𝜌1,2 = 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝜎 1 ∙𝜎^12 ,𝑅^2 )
CAPM: 𝜇𝑖 = 𝑟𝑓 + (𝜇𝑚 − 𝑟𝑓) ∙ 𝛽𝑖
