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Leistungselektronik - Formelsammlung
- Inhaltsverzeichnis 20. Januar L. Mazzoleni
- 1 Halbleiter - 1.1 Eigenleitung - 1.2 Dotierung - 1.3 pn-Übergang
- 2 Diode - 2.1 Ersatzschaltbild - 2.2 Grundformeln - 2.3 Schaltverhalten und Schaltverluste
- 3 Transistor - 3.1 Bipolarer Transistor - 3.2 Darlington-Transistoren - 3.3 MOSFET - 3.4 IGBT - 3.5 Transistoren im Vergleich
- 4 Thyristoren - 4.1 Thermische Ersatzschaltung - 4.2 Abschaltbarer Thyristor - 4.3 IGCT
- 5 Stromrichterschaltung - 5.1 Gruppierung - 5.2 Kennzeichnung
- 6 Ungesteuerter Gleichrichter - 6.1 M1U - 6.2 B2U - 6.3 B6U
- 7 Gesteuerter Gleichrichter - 7.1 M1C - 7.2 B2C - 7.3 B6C - 7.4 Wechselstromschalter/Wechselstromsteller
- 8 Gleichstromumrichter - 8.1 Buck-Converter - 8.2 Boost-Converter - 8.3 Inverse-Converter - 8.4 Gleichstromschalter/Gleichstromsteller
- 9 Wechselrichter - 9.1 Einphasig
- 10 Grundformeln - 10.1 Leistungen - 10.2 Fourier
- 11 Lösen von Di ff erentialgleichungen - 11.1 Allgemeine Vorgehensweisen - 11.2 Differentialgleichung 1. Ordnung - 11.3 Störgliedtabelle
- 12 Rechnungsbsp
- 13 Idiotenseite
1 Halbleiter
- Metallische Leiter: der Stromtransport wird durch Elektronen erzeugt.
- Isolatoren: der Stromtransport wird durch Ionen erzeugt.
- Halbleiter: die Leitfähigkeit liegt irgendwo zwischen Metallen und Isolatoren. Die wichtigsten Halbleiter sind Si, Ge, CuO 2 und GaAs
- Dotierte Halbleiter: Durch kontrollierte Verunreinigung (Dotierung) der reinen Halbleiterwerkstoffe kann die Leitfähigkeit wesentlich verändert werden.
1.1 Eigenleitung
Durch die thermische Bewegung der Atomem um ihre Ruhelage im Kristallgitter ist es möglich einige Elektronenpaarbindungen aufzubrechen. Auf diese Weise bewegt sich ein gelöstes Elektron frei im Kristallgitter und hinterlässt eine positiv geladene Lücke im Kristallgitter (Loch, Defektelektron)
1.2 Dotierung
Durch eine Dotierung des Halbleitermaterials mit Frem- datomen ist es möglich die Ladungsträgerdichte effizi- ent zu kontrollieren:
1.3 pn-Übergang
1.3.1 Di ff usionsstrom
Der Diffusionsstrom wird durch den Ladungsträge- raustausch zwischen beiden Halbleitergebieten erzeugt und dadurch verschwinden in der Grenzschicht alle freien Ladungsträger. Durch die Elektronenwanderung entsteht im n-Teil des Grenzgebiets die ortsfeste positive Ladung (+). Die ein- diffundierten Elektronen erzeugen im p-Teil des Grenz- gebiets die ortsfeste negative Ladung (-). Die ortsfesten Ladungen erzeugen das elektrische Feld in der Raum- ladungszone und damit auch den Driftstrom. Der Driftstrom ist gegen den Diffusionsstrom gerichtet. Sobald die Ströme gleich sind, ist eine stabile Raumladungszone etabliert.
1.3.2 pn-Übergang mit äusserer Spannung
Die Spannungsquelle ist an den pn-Übergang in Sperrrichtung geschalten. Die Spannung U vergrössert die Breite der Raumladungszone. Der Strom kann nicht über den pn-Übergang fliessen.
3 Transistor
3.1 Bipolarer Transistor
3.1.1 Wirkungsprinzip
Ein Bipolartransistor besteht aus drei dünnen dotierten Halbleiterschichten, d.h. aus zwei pn-Übergängen. Gemäss der Reihenfolge und dem Dotierungstyp der Schichtung werden Bipolartransistoren in npn- und pnp- Typen unterteilt. Als Leistungstransistoren werden überwiegend npn-Transistoren in der Emitter-Schaltung verwendet Wirkungsprinzip Aufbau Schaltzeichen
3.1.2 Schaltverhalten
Im Sättigungsbreich ist der Basisstrom so gross, dass sich in der Basiszone mehr Ladungsträger befinden als für den Kollektorstrom nötig ist.
Die beiden pn-Übergänge sind in die Durchlassrichtung polarisiert. UBE ą UCE und UBC ą 0
Im Verstärkungsbereich gilt: β “
IC
IB
Im Schaltbetrieb werden die Arbeitspunkte I (vorwärts sperrend) und III (Durchlassbetrieb -Sättigung) verwendet.
3.1.3 Kennwerte
UCES Kollektor-Emitter-Sperrspannung Der höchstzulässige Wert der UCES bei Ansteuerung mit einer negativen UBE UCE 0 Kollektor-Emitter-Sperrspannung Der höchstzulässige Wert der UCE bei of- fenem Basisanschluss ICAVM Kollektor-Dauergrenzstrom Der höchstzulässige Wert des Gleichstrom- Mittelwerts bei vorgegebener Temperatur ICRM periodischer Kollektor-Spitzenstrom Der höchstzulässige Wert eines Pulsstromes mit angegebener Periodendauer und Einschaltdauer
3.1.4 Verluste
- Einschaltverluste
- Ausschaltverluste
- Durchlassverluste
- Sperrverluste
3.2 Darlington-Transistoren
Der Stromverstärkungsfaktor der Leistungstransistoren ist relativ klein. Deswegen ist ein starker Basisstrom für diese Transistoren notwendig. Ein Darlington-Transistor löst dieses Problem.
3.2.1 Formeln β “ Kleinsignalverstärkung B “ Grosssignalverstärkung
β 1 “
iC 1 iB 1 , β 2 “
iC 2 iB 2
iE 1 “ iC 1 iB 1 “ p 1 β 1 qiB 1 “ iB 2 iC 2 “ β 2 iB 2 “ β 2 iE 1 “ β 2 p 1 β 1 qiB 1 “ βgesiB 1 βges “ β 2 p 1 β 1 q « β 1 β 2
3.2.2 Aufbau
3.2.3 Vor und Nachteile
- Gleichbleibender Platzbedarf
- höhere Stromverstärkung
- B « B 1 ¨ B 2 im Bereich < 1000
- β « β 1 ¨ β 2 im Bereich <50’
- grosse Phasenverschiebung
- für Hochfrequenzanwendungen ungeeignet
- langsame Schaltzeiten
- doppelte Basis-Emitter-Spannung
Für effiziente Schaltanwendungen eignen sich Darlingtontransistoren wegen diesen Nachteilen kaum.
3.3 MOSFET
Die elektrische Leitfähigkeit des Substrats ist durch ein el. Feld gesteuert. Das el. Feld ruft im Substrat eine Influenzladung hervor. Die Gate-Elektrode ist durch ein Metalloxid vom Substrat isoliert.
S = Source D = Drain G = Gate B = Bulk (Substrat)
UDS ist positiv damit ist der rechte pn-Übergang in Sperrrichtung gepolt. Deswegen kann kein Strom in beide Richtungen fliessen. Ñ Der Transistor ist selbstsperrend. B Sobald eine positive Spannung zwischen G und S angelegt ist, entsteht ein leitfähiger n-Kanal und damit auch ein Strom vom D- zum S-Anschluss.
3.4 IGBT
Der IGBT setzt such aus einem Bipolartransistor T 2 und einem MOSFET T 1 zusammen. n- ist eine schwach dotierte Zone, welche zur Erhöhung der Spannungsfestigkeit verwendet wird.
3.4.1 Eigenschaften
- Über die Kollektor-Emitter-Strecke fällt mindestens die Schleusenspannung ab
- Kleine Durchlassverluste bei hohen Strömen
- In Rückwärtsrichtung nur begrenzt sperrfähig
- Grosse Sperrverluste vorallem beim Abschalten
4 Thyristoren
Ein Thyristor besteht aus vier Halbleiterschichten d.h. aus drei pn-Übergängen Thyristoren sind einschaltbare Bauelemente. Thyristoren sind ¨einschaltbare Dioden¨. Thyristoren werden mit dem Zündimpuls der zwischen Gate (G) und Kathode (K) kurzzeitig anliegt durch- geschaltet.
4.1 Thermische Ersatzschaltung
Thermische Kenngrösse Wärmeleistung P [W] Temperaturunterschied ϑ [K] Wärmewiderstand Rth [K{W] Elektrische Kenngrösse Strom I [A] Spannung [V] Widerstand [V{A, Ω]
4.1.1 Thyristor ohne Kühlung
ϑvJ ´ ϑU “ P ¨ pRth JG ` Rth GUq
4.1.2 Thyrisor mit Kühlung
ϑvJ ´ϑU “ P¨pRth JGRth GKRth KUq
Rth KU “ ∆ϑ P
Beispiel Schaltverluste bei B2C
Spitzenwert des Thyristorstromes pIR “ Up 2 R
Mittelwert des Thyristorstromes ITAV “ (^21) π
πş α
IRm ¨ sinpβq dβ “
pIR 2 π ¨ p^1 `^ cospαqq
Effektivwert des Thyristorstromes ITRMS “
d I^2 RM 2 π
πş α
sin^2 pβq dβ “ pIR 2
b π´α π `^
sinp 2 αq 2 π momentane Verlustleistung: pptq “ uTptq ¨ iTptq Mittelwert der Verlustleistung: PT “ (^1) T
Tş
0
uTptq ¨ iTptq dt “ UT 0 ¨ (^1) T
Tş
0
iTptq dt ` rT ¨ (^1) T
Tş
0
i^2 Tptq dt
PT “ UT 0 ¨ ITAV ` rT ¨ I^2 TRMS
ITAV ist der Mittelwert und ITRMS der Effektivwert des Thyristorstroms
Der Wert für UT 0 kann aus dem Datenblatt des Thyristors herausgelesen werden.
4.2 Abschaltbarer Thyristor
(GTO = Gate-Turn-O ff ) Der GTO schaltet aus, wenn ein ausrei- chend hoher negativer Gate-Strom auftritt. Amplitude des Gate-Stromes muss 20% bis 30% des abzuschaltenden GTO- Stromes betragen.
4.3 IGCT
Integrated Gate-Commutated Thyristor IGCT sind die Weiterentwicklung der GTO. Sie werden hauptsächlich für Mittel- spannungsumrichter eingesetzt.
5 Stromrichterschaltung
5.1 Gruppierung
5.1.1 nach Steuerung
- Ungesteuerte Stromrichter: Das Verhältnis von Eingangs- zu Ausgangsspannung wird durch die Stromrichterschaltung festgesetzt
- Gesteuerte Stromrichter Das Verhältnis von Eingangs- zu Ausgangsspannung wird durch Steuereingriff am Halbleiterschalter verändert.
5.1.2 nach Führung
Link: Kommutierung WIKI
Kommutierung bedeutet die Wechslung des Stromflusses von einem HL-Ventil auf ein Anderes.
- Netzgeführte Schaltung Kommutierungsspannung vom Netzwerk
- Lastgeführte Schaltung Kommutierungsspannung wird durch Lastkreis (z.B. Synchronmotor) gesteuert
- Selbstgeführte Schaltung Kommutierungsspannung wird selbst erzeugt
5.2 Kennzeichnung
Gleichrichter WIKI
6.2 B2U
Im Gegensatz zur M1U-Schaltung wird hier die negative Netzspannung zur Gleichrichtung genutzt. Die Schaltung wird oft mit Glättungskondensatoren betrieben.
Grundgleichungen
U^ ¯OUT “ 2
Up π
6.2.1 Rechnungsbeispiel
Übung 3 - Gleichrichter B2U
Ausgangslage: U 2 “ U 2 m ¨ sinp 2 π f tq
Mittelwert Spannung: UR AV “ (^1) π
πş 0
U 2 m ¨ sinpαq dα “ 2 ¨U π^2 m α “ ωt
Effektivwert Spannung: UR RMS “
d 1 π
πş 0
U^22 m ¨ sinpαq^2 dα “ U?^2 m 2
Mittelwert Strom: IR AV “ UR AV RL “ (^) π^2 U R^2 m “ (^) π^2 I 2 m
Effektivwert Strom: IR RMS “ UR RMS R “ ?U 22 m¨R “ I?^2 m 2
Wirkleistung R: P “ (^) π^1
πş 0
u^2 Rpαq R dα^ “^
U^2 R RMS R “^
1 R
U^22 m 2
Wirkleistung Sekundärseite: P 2 “ U 2 ¨ I 2 “ U 2 ¨ U R^2 “ U 2 ¨ U?^22 mR
6.3 B6U
7 Gesteuerter Gleichrichter
7.1 M1C
Mittelwert U¯OUT “
2 π
πş α
U^ ˆ 2 ¨ sinpβq dβ “
Uˆ 2
2 π
p 1 ` cospαqq
β “ ωt Effektivwert UR RMS “
d U 22 m 2 π ¨
πş α
sinpβq^2 dβ “ U 2 m ¨
b π´α 4 π `^
sinp 2 αq 8 π
7.2 B2C
B2C mit GSM
7.2.1 Rechnungsbeispiel
Mittelwert: UR AV “ (^) π^1
πş α
U 2 m ¨ sinpβq dβ “ U π^2 m p 1 ` cospαqq β “ ωt
Effektivwert: UR RMS “
d 2 U 22 m T ¨
T ş{ 2
α
sinp (^2) Tπ tq^2 dt
d U^22 m π ¨
πş α
sinpβq^2 dβ “ U 2 m ¨
b π´α 2 π `^
sinp 2 αq 4 π
β “ X ¨ t Ñ dβ “ X ¨ dt
Übung 5 - Gesteuerte Gleichrichter B2C mit Fremderregte GSM Siehe FS ElMasch α = Anschnitt-Winkel / Steuerwinkel β = Abschnitt-Winkel durch Induzierte Spg. Ein stabiles Drehmoment ist nur bei α ą β und α ă π ´ β möglich.
7.3 B6C
8 Gleichstromumrichter
Ein Gleichstromumrichter dient zur Änderung von: Polarität, Spannung, Strom.
τ “
L 1
R 1
Ts “ Ton ` To f f
8.1 Buck-Converter
Tiefsetzsteller (Buck-Converter) Ua ă Ue Übung 6 Gleichstrom Umrichter Ñ Buck-Converter DutyCycle D “ V Vout 1 Ton “ DTs To f f “ p 1 ´ DqTs
V 1 “ iL ¨ R 1 ` L 1 ¨ d ditL 0 ă t ă Ton
0 “ iL ¨ R 1 ` L 1 ¨ d ditL Ton ă t ă Ts
iL “ V R^11 ` V R^11 ¨ e
´^ To f f τ (^) ´ 1 1 ´e´^ Ts^ τ
¨ e´^ τt 0 ă t ă Ton
iL “ V R^11 ¨ 1 ´e
´ Ton τ 1 ´e´^ Ts^ τ
¨ e´^
t´Ton τ (^) Ton ď t ď Ts
iLmax “ iLpTonq iLmin “ iLp 0 q “ iLpTsq
To f f “ ´τ ¨ ln i iLminLmax “ ´ L R^11 ¨ ln i iLminLmax
Ton “ ´τ ¨ ln
1 iLmax ¨^
V 1 R 1 ´^1 1 iLmax ¨^
V 1 R 1 ´^ e
´ To f f τ
Vout “ Vin ¨ (^) TonTonTo f f ´ VD ¨ To f f TonTo f f «^ Vin^ ¨^
Ton Ts
8.1.1 Lückbetrieb
Wenn der Rippel der Amplitude zu hoch ist, wird die Spule komplett entladen bevor die Periode zu ende ist. To f f “ Tδ ` To f f 2 Tδ = Diode leitet To f f 2 = Diode sperrt a^1 “ apU (^) VVout^1 ´ 1 q a “ T TonS a^1 “ (^) TTδS ∆i 2 “ V^1 ´ LV out¨ a ¨ TS 0 ă t ă Ton steigend ∆i 2 “ V Lout ¨ a^1 ¨ TS Ton ă t ă Tδ fallend ∆i 2 max “ TS 4 ¨LV 1 für a = (^12) ¯i 2 “ ∆ 2 i^2 a (^) VV^1 out “^ a
2 TsV 1 2 L
V 1 ´Vout Vout Vout “ V 1 2 L¨I^10 D^2 ¨V 1 ¨Ts `^1
8.2 Boost-Converter
Hochsetzsteller (Boost-Converter) Ua ą Ue D “ 1 ´ (^) VVout^1
VOut “ Vin ¨
1 ` (^) TTo f fon
∆iL “ U L^0 ¨ TE “ ´ U^0 LU d¨ pT ´ TEq
uL “ U 0 ´ RLiL 0 ă t ă Ton
uL “ U 0 ´ RLiL ´ Vout Ton ă t ă Ts
u^ ¯L “ (^) T^1 s
Tşon
0
pU 0 ´ RLiLq dt ` (^) T^1 s
Tşs
Ton
pU 0 ´ RLiLq dt
ηpaq “ 1 1 ` RRL 1 p 1 ´^1 aq 2 a “ T Tons
8.2.1 Lückbetrieb
todo
IL Max “ Vin¨TL s¨D 0 ă t ă Ton IL Max ` Vin´V L outTδ“ 0 Ton ă t ă Tδ Iout “ V in^2 ¨D^2 ¨Ts 2 LpVout´Vinq
8.3 Inverse-Converter
Inverswandler, Umkehrung der Polarität
Vout “ ´L ¨
∆IL
∆t
eingeschwungen hkkikkj “ VL ¨ Ton To f f
8.4 Gleichstromschalter / Gleichstromsteller
8.4.1 Gleichstromschalter
Nur Einschalten
U 1 “ pL ` Lσq ¨ diL dt
` R ¨ iL
iLptq “
U 1
R
¨ p 1 ´ e´^
t´ τton q
Ein- und Ausschalten
U 1 “ pL ` Lσq ¨ diL dt
` R ¨ iL ton ď t ď to f f
0 “ L ¨
diL dt ` R ¨ iL to f f ď t
iLptq “
U 1
R
¨ p 1 ´ e´^
t´ τton q ton ď t ď to f f
iLptq “
U 1
R
¨ e´^
t´to f f τ (^) to f f ď t
8.4.2 Gleichstromsteller
U 2 AV “
ton ` to f f
ż (^) te
0
U 1 ¨ dt “
ton ton ` to f f
U 1
Ein-Quadranten-Betrieb
Um 2 “ T TE ¨ UD “ Fp ¨ TE ¨ UD Um 2 = Mittelwert Ausgangsspg. Te = Einschaltzeit T = Periodendauer UD = Zwischenkreisspg. fq = Freq ∆i 2 “ 2 α U LD TEp 1 ´ T TE q α = 0.5 1Q-Betrieb α = 1 MehrQ-Betrieb P “ UDIm 2 T TE i 2 =Ausgangsstrom im 2 = Mittelwert Ausgansstr. L = ind. der Last P = Ausgangsleistung Uac 2 “
b U^22 ´ U^2 m 2 “ UD
b TE T p^1 ´^
TE T q^ Uac^2 =^ Wechselstromkomponente von U ist maximal bei Tastgrad 50%
9 Wechselrichter
9.1 Einphasig
Amplitudenmodulation Um die Amplitude der Ausgangsspannung stufenlos zu verstellen, verwendet man die Pulsbreitenmodulation PWM. Ist die Taktzahl ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz, so spricht man von einer synchronen Taktung, ansonsten von einer asynchronen. Bei asynchroner Taktung treten Schwebungen der Grundfrequenz auf fs “ f 1 ˘ fT, welche zusätzliche Verluste erzeugen. Spätestens wenn die Taktfrequenz nur noch 10 mal höher als die Grundfrequenz ist muss auf synchrone Taktung umgestellt werden.
Schalt- oder Taktzahl q “ f fs 1 Schwebefrequenz fs “ f 1 ˘ fT Signalmodulation Durch die PWM sind die Ausgangssignale rechteckförmig. Um Motoren optimal anzusteuern braucht es sinus- förmige Signale.
Modulation m “ M ¨ sinpω 1 ¨ t 1 ¨ ϕmq
M “
uˆU 0 , 1 UD 2
uˆU 0 , 1 uU 0 , 1
m= Modulationsfunktion M= Modulationsgrad ϕm= Phasenverschiebung der Grundfreq. ω 1 = Kreisfreq der Grundfreq f 1
Aussteuerungsgrad A “
uˆU 0 , 1 2 π UD
0 ď A ď 1 Amax “ π 4
Übung 7 Einphasiger Wechselrichter
τ “ LR T “ (^1) f dt “ (^) NT´ 1
Schaltzeitpunkte tepiq “ pi ´ 1 q ¨ dt tapiq “ tepiq ` k ¨ dt ¨ | sinpω ¨ tepiqq|
Laststrom iLptq “ U R^1 ¨
1 ´ e
tei´t τ
`iLpteiq¨e
tei´t τ (^) t P rtei, tais iLptq “ iLptaiq ¨ e
tai´t τ (^) t P rtai, tei` 1 s
10.2 Fourier
10.2.1 Allgemeine Form
Eine periodische Funktion lässt sich durch eine Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen.
f ptq “ a 0 loomo^2 on Gleichanteil
`
ÿ^8
k“ 1
pak ¨ cospkωtq ` bk ¨ sinpkωtqq looooooooooooooooooomooooooooooooooooooon Wechselanteil
“ fAV `
ÿ^8
k“ 1
loomo^ ckon Amplitude der Harmonischen
¨ sinpkωt ` ϕkq
Die Koeffizienten der Entwicklung von f ptq sind:
a 0 “ (^2) T
Tş 0
f ptqdt
ak “ (^) T^2
Tş
0
f ptq ¨ cospkωtqdt pk “ 0 , 1 , 2 , ...q
bk “ (^2) T
Tş
0
f ptq ¨ sinpkωtqdt pk “ 1 , 2 , 3 , ...q
ck “
b a^2 k ` b^2 k ϕk “ arctanp a bkk q
10.2.2 Orthogonalitätsbeziehungen
Tş 0
cospnωtq ¨ cospmωtqdt “
T, n “ m “ 0 T 2 ,^ n^ “^ m^ ą^0 0 , n , m Tş
0
sinpnωtq ¨ sinpmωtqdt “
T 2 ,^ n^ “^ m 0 , n , m Tş 0
cospnωtq ¨ sinpmωtqdt “
0 , n-m=gerade Zahl 2 m m^2 ´ n^2
, n-m=ungerade Zahl
10.2.3 Komplexe Darstellung der Fourierreihen
f ptq “
ÿ^8
k“´
ck ¨ ejkωt
cn “ c´n “
T
ż^ T
0
f ptq ¨ e´jnωtdt
10.2.4 Umrechnungsformeln
cn “ c´n “
an ´ jbn 2
pn “ 0 , 1 , 2 , 3 ,... wobei b 0 “ 0 q
an “ 2 ¨ Repcnq bn “ ´ 2 ¨ Impcnq
pn “ 0 , 1 , 2 , 3 ,... , b 0 “ 0 q
10.2.5 Fourierreihe für beliebige Periode Gegeben: Periodische Funktion f mit Periode L Reelle Fourierreihe f ptq “ a 0 2
`
ÿ^8
k“ 1
akcos
2 π L
kt
` bksinp
2 π L
kt
a 0 “ (^) L^1
Lş
0
f pαq dα ak “ (^2) L
şL 0
f pαqcos
` (^2) π L kα
dα bk “ (^2) L
şL 0
f pαqsin
` (^2) π L kα
dα
10.2.6 Sätze zur Berechnung der Fourierkoe ffi zienten
Symmetrie
Gerade f ptq “ f p´tq Symetrisch an Y-Achse
bn “ 0 , an “
T
T 2 ż
0
f ptq ¨ cospnωtq dt
X^2
cos(x)
|x|
Ungerade f p´tq “ ´ f ptq Punktsymetrisch am Ursprung
an “ 0 , bn “
T
T 2 ż
0
f ptq ¨ sinpnωtq dt
X^3
sin(x)
x
11 Lösen von Di ff erentialgleichungen
11.1 Allgemeine Vorgehensweisen
11.1.1 Trennung von Variablen / Separation
Form: y^1 “ f pxqgpyq Vorgehen:
- DGL umstellen: y
1 gpyq “^ f^ pxq
- Beidseitig nach x integrieren wobei dx “ dyy 1
- Grenzen anpassen:
ş^ y y 0 “ypx 0 q
1 gpyq dy^ “
xş 0 x
f pxqdx
11.1.2 Lineartermsubstitution
Form: y^1 “ f pax by cq Vorgehen:
- Substitution: z “ ax
by c - Einsetzen in z^1 “ a ` b f pzq
- Separation: z 1 f pzq “^ a^
^ b^ wobei^ z^0 “^ x^0^ y^0
11.1.3 Gleichgradigkeit
Form: y^1 “ f p yx q Vorgehen:
- Substitution: z “ yx
- Einsetzen in z^1 “ (^1) x p f pzq ´ zq
- Separation: z 1 f pzq´z “^
1 x wobei^ z^0 “^
y 0 x 0
11.2 Di ff erentialgleichung 1. Ordnung
11.2.1 Konstante Störung f pxq “ A
- Homogene Lösung mit yh “ 0 berechnen
- Partikuläre Lösung mit yp “ B (= Konstante) berechnen, indem zeitlich abhängige Terme der DGL ignoriert werden
11.2.2 Sinusförmige Störung f pxq “ pA ¨ cos ωx ` B ¨ sin ωxq
- Homogene Lösung mit yh “ 0 berechnen
- Ansatz für Partikuläre Lösung: yp “ C ¨ sinpωtq ` D ¨ cospωtq
- yp in DGL einsetzen, C und D per Koeffizientenvergleich ermitteln
