Formelsammlung Mathematik 1 und Mathematik 2, Formelsammlungen von Mathematik

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FORMELSAMMLUNG

Für die Studienberechtigungsprüfungen

Mathematik 1 und Mathematik 2

1.1 Termumformungen, Binomischer Satz

Binomische Formeln:

1. Bin. Formel: (a + b)^2 = a^2 + 2 · a · b + b^2
2. Bin. Formel: (a − b)^2 = a^2 − 2 · a · b + b^2
3. Bin. Formel: (a + b) · (a − b) = a^2 − b^2
   • a^2 + b^2 reell nicht zerlegbar.
   • a^3 + b^3 = (a + b) · (a^2 − a · b + b^2 )
   • a^3 − b^3 = (a − b) · (a^2 + a · b + b^2 )
   • an^ − bn^ = (a − b) ·

n∑− 1

k=

an−^1 −k^ · bk

Binomischer Satz:

(a + b)n^ =

n 0

1

an^ b^0 +

n 1

an−^1 b^1 +

n 2

an−^2 b^2 + ... +

n n

1

a^0 bn^ =

∑n k=

n k

an−k^ · bk

• Binomialkoeffizienten:

n k

= (^) k! · (nn!−k)!.

• Fakult¨at: n! = 1 · 2 · ... · n, 0! = 1! = 1.
• F¨ur (a − b)n^ ist das Vorzeichen alternierend: (a − b)^3 = + a^3 − 3 a^2 b + 3 a b^2 − b^3.

Binomischer Satz und pascalsches Zahlendreieck:

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

( a + b )^0 = 1

( a + b )^1 = 1 a^1 + 1 b^1

( a + b )^2 = 1 a^2 + 2 a b^1^1 + 1 b^2

( a + b )^3 = 1 a^3 + 3 a b 2^1 + 3 a b 1^2 + 1 b^3

( a + b )^4 = 1 a^4 + 4 a b^3^1 + 6 a b^2^2 + 4 a b^1^3 + 1 b^4

0 0 1 0

1 1 2 0

2 2

2 1 3 0

3 3

3 1

3 2 4 0

4 1

4 3

4 2

4 4

+

+ +

+ + +

Betrag: |x| =

x^2 =

x falls x ≥ 0 −x falls x < 0 ,,macht x immer positiv”.

1.2 Bruchrechnen

Addition, Subtraktion

a b ±^

x y =^

a · y b · y ±^

x · b y · b =^

a · y ± x · b b · y b, y^6 = 0

◮ Hauptnenner: kgV(b, y), ◮ Br¨uche auf HN erweitern, ◮ Z¨ahler addieren.

Multiplikation ab · xy = ab ··^ xy b, y 6 = 0

◮ ,,Z¨ahler mal Z¨ahler, Nenner mal Nenner”.

Division, Doppelbr¨uche

a b :^

x y =

a bx y

= ab · yx b, x, y 6 = 0

◮ Division durch Bruch: Multiplikation mit dessen Kehrwert.

3 Planimetrie

3.1 Allgemeine Dreiecke

• Winkelsumme: α + β + γ = 180◦
• Dreiecksungleichung: c < a + b (^) a A B

a

c

b b

g

C

• Ahnlichkeit, Strahlens¨¨ atze: Zwei Dreiecke sind ¨ahnlich, wenn sie^ gleiche^ Winkel^ und / oder gleiche Seitenverh¨altnisse haben.
  1. Strahlensatz: ab = (^) dc = ab ++ dc
  2. Strahlensatz: ae = a^ +f^ c

a

b

c

d

e f S

• Sinussatz: (^) sin(aα) = (^) sin(bβ) = (^) sin(cγ) = 2 · R wobei R : Umkreisradius.
• Cosinussatz: c^2 = a^2 + b^2 − 2 · a · b · cos(γ) und zyklisch: bca
• Fl¨ache: A∆ = 12 (Grundseite · H¨ohe) = c^ · 2 h c = b^ · 2 h b = a^ · 2 ha

◮ Zwei Seiten und Zwischenwinkel: A∆ = b^2 ·^ c · sin(α) und zyklisch: bca

◮ Drei Seiten (Heron): A∆ =

s(s − a)(s − b)(s − c) wobei s = 12 (a + b + c).

◮ Drei Winkel und Umkreisradius R: A∆ = 2 R^2 · sin(α) · sin(β) · sin(γ)

3.2 Rechtwinklige Dreiecke

• Satz von Pythagoras: c^2 = a^2 + b^2
• H¨ohensatz: hc^2 = p · q
• Kathetensatz (Satz von Euklid): a^2 = c · q oder b^2 = c · p

a

A B

c = p + q (Hypotenuse)

hc

p q

b

b

C

a

Ankathete (bzgl. a)

Gegenkathete b a^ (bzgl.^ a)

• Trigonometrische Funktionen:

sin(α) = a c cos(α) =^

b c tan(α) =^

a b

3. 3 Vierecke

Allgemeines Viereck Trapez Parallelogramm

A^ a C B

c

b

b

g

d

D d

a (^) a A (^) a B

c

b

b

d g

D

d

a (^) b

h

m

C

A

C

a B

b b

a

b

b a

a

h

D

e f a

◮ α + β + γ + δ = 360◦^ ◮ A = a^ + 2 c· h = m · h ◮ A = a · h = a · b · sin(α)

Rhombus (Raute) Drachenviereck Rechteck

A

C

B

D a a e f

a

b

a b a

a

A (^) a C

B

a

D

a b

d a

c c e f (^) d

A C

D B

b

a

a

b

◮ A =

e · f 2 =^ a

(^2) · sin(α) ◮ A = e^ ·^ f 2 =^ a^ ·^ c^ ·^ sin(α)^ ◮^ A^ =^ a^ ·^ b Quadrat Sehnenviereck Tangentenviereck

d

A

D C

B

a a

a

a

A^ a

C

B

a

c

b b

g

d

D

d (^) f e

A

C

B

a

c

b

g

D

d

b

d

a (^) r

r M

◮ A = a^2 ◮ α + γ = β + δ = 180◦^ ◮ a + c = b + d

◮ d = a ·

2 ◮ a · c + b · d = e · f ◮ A = r · a^ +^ b^ + 2 c^ +^ d

Symmetrieachsen sind in oranger Farbe gekennzeichnet.

4 Stereometrie

4.1 Prinzip von Cavalieri

Zwei K¨orper sind volumengleich, wenn deren Schnittfl¨ache A(x) in jeder H¨ohe x den gleichen Fl¨acheninhalt haben.

x

A ( ) x A ( ) x x

4.2 Prismen und Zylinder (Kongruente, parallele Grund- und Deckfl¨ache)

Gerades Prisma Schiefes Prisma

h M

G

G

M h

G

G

◮ G: Grundfl¨ache; M: Mantelfl¨ache. ◮ h: H¨ohe.

◮ Volumen: V = G · h

◮ Oberfl¨ache: A = 2 · G + M

Quader W¨urfel Zylinder

h (^) G a

b

D M (^) a D

G

d a a

h M

G r

r

◮ V = a · b · h ◮ V = a^3 ◮ V = π r^2 · h

◮ A = 2 (a · b + a · h + b · h) ◮ A = 6 · a^2 ◮ A = 2 · π r^2 + 2π r · h

◮ D =

a^2 + b^2 + h^2 ◮ D = a ·

3 , d = a ·

2 ◮ M = 2π r · h

4.3 Spitze K¨orper

Gerade Pyramiden Schiefe Pyramiden S

h G

M

S

h G

M

◮ G: Grundfl¨ache; M: Mantelfl¨ache. ◮ h: H¨ohe.

◮ Volumen: V =

· G · h

◮ Oberfl¨ache: A = G + M

Gerade, quadratische Gerader Kreiskegel Pyramidenstumpf, Pyramide Kegelstumpf

a

h

S

a 2

a 2

s (^) s : Seitenkante

a : Grundkante h : Höhe

h

a

a : Öffnungswinkel

s : Mantellinie

S

G

2

r

s

a h^ :^ Höhe 2

G

D

h s

S S I II

M II r 1

r 2

◮ V = 13 a^2 · h ◮ V = 13 πr^2 · h ◮ VI = h 3 (G +

GD + D)

◮ A = a^2 + M ◮ A = πr^2 + πrs, M = πrs ◮ VII = πh 3 (r 12 + r 1 r 2 + r 22 )

◮ s =

h^2 + a 2 2 ◮^ s^ =^

h^2 + r^2 ◮ MII = π · s · (r 1 + r 2 )

4.4 Kugel

Sektor

M

h 1

T

P 0

Segment (Kappe) Schicht (Zone)

r 1

r 2

R

h 2

h 3

R

Volumen: V = 43 π · R^3

◮ Segment: V = 13 π · h 12 · (3 R − h 1 )

◮ Schicht: V = 16 π · h 2 · (3 r 12 + 3 r 22 + h 22 )

◮ Sektor: V = 23 π R^2 · h 3

Oberfl¨ache: A = 4 π · R^2

◮ Segment: M = 2 π R · h 1 (Kappe, Haube)

◮ Schicht: M = 2 π R · h 2 (Zone)

◮ Sektor: A = 2 π R · h 3 + π R

2 Rh 3 − h 32

◮ Kugelgleichung einer Kugel mit Mittelpunkt M(u / v / w) und Radius R:

K : ( x - u ) + (^2 y - v ) + (^2 z - w ) 2 = R^2 K x :^2 + y^2 + z^2 + a x + b y + c z + d = 0

Mittelpunktsform (^) ausmultiplizieren Koordinatenform

quadratisch ergänzen

◮ Tangentialebene T an Kugel im Punkt P 0 (x 0 / y 0 / z 0 ):

T : (x − u) · (x 0 − u) + (y − v) · (y 0 − v) + (z − w) · (z 0 − w) = R^2

4.5 Polyeder und Platonische K¨orper

Polyedersatz (Euler): e + f = k + 2 wobei

e : Anzahl Ecken f : Anzahl Fl¨achen k : Anzahl Kanten.

Es gibt genau 5 regul¨are konvexe K¨orper (gleichlange Seiten und gleiche Winkel):

Tetra Vier

eder ( flächner)

Hexa eder ( Sechs flächner)

Okta eder ( Acht flächner)

Dodeka eder ( Zwölf flächner)

Ikosa eder ( Zwanzig flächner)

a a a

a

a

5.2 Trigonomtrische Funktionen

Rechtwinkliges Dreieck: 0 < α < 90 ◦. Einheitskreis: α ∈ R.

P

a

v

u

r

Gegenkathete

Ankathete

Hypotenuse

sin(α) =^

v

r =^

Gegenkathete Hypotenuse

cos(α) = ur = HypotenuseAnkathete

tan(α) = (^) uv = Gegenkathete

Ankathete =^

sin(α) cos(α)

cos( ) x

sin( )

r^ = 1 x^ tan( )

x

1

2

p

P

a

x

v

u

270 °

180 °

1

90 ° p

32 p

Bogenmass: x = α ·

π 180 ◦^

zu α geh¨orende Bogenl¨ange x am Einheitskreis.

◮ Funktionsgraphen:

30 60 90 270 p (^2) p

180 360 a 6 p^3 p^2 p^ x

30 60 90 270 p (^2) p

180 360 6 p^ p 3 p 2

a x

Bogenmass: x = 0 .. 2p

Gradmass: a = 0..360°

76 p 32 p

32 p

210 56 p 116 p

23 p 43 p 53 p

300

150 330

120 240

v 1

• 1

1 2

(^12)

u

• 1

1 2

1 2

y

1

• 1

y ( ) x = tan( ) x

45 90 135 180 225 270 315 4 p^ p 2 34 p^ p^54 p^32 p^74 p

360 a 2 p x 1 u ( ) = cos( ) x^ x

v ( ) = sin( ) x x

◮ Eigenschaften und spezielle Werte:

0 ◦^

= 0 30 ◦^

= π 6 45 ◦^

= π 4 60 ◦^

= π 3 90 ◦^

= π 2 Periode Symmetrie

sin(x) (^0 )

√ 2 2

√ 3 2 1

360 ◦^ = 2. π sin(x + 2π n) = sin(x)

sin(π − x) = sin(x) sin(−x) = − sin(x) cos(x) 1

√ 3 2

√ 2 2

1 2 0

360 ◦^ = 2. π cos(x + 2π n) = cos(x)

cos(2π − x) = cos(x) cos(−x) = cos(x) tan(x) 0

√ 3 3 1

180 ◦^ =. π tan(x + π n) = tan(x) tan(−x) =^ −^ tan(x)

◮ Definitionsbereich: Dsin = Dcos = R Dtan = R{(π 2 + nπ) , n ∈ Z}.

◮ Wertebereich: Wsin = Wcos = [− 1 , 1] Wtan = R.

◮ Umkehrfunktionen:

arcsin(x) manchmal auch sin−^1 (x) arccos(x) manchmal auch cos−^1 (x) arctan(x) manchmal auch tan−^1 (x).

Beziehungen und Eigenschaften trigonometrischer Funktionen

tan(x) = sin(x) cos(x) sin

(^2) (x) + cos (^2) (x) = 1 1 cos^2 (x) = 1 + tan

(^2) (x)

sin(−x) = − sin(x) cos(−x) = cos(x) tan(−x) = − tan(x)

sin(π − x) = sin(x) cos(π − x) = − cos(x) tan(π − x) = − tan(x)

sin( π 2 ± x) = cos(x) cos(π 2 ± x) = ∓ sin(x) tan( π 2 ± x) = ∓ (^) tan(^1 x)

sin(2 x) = 2 sin(x) cos(x) cos(2 x) =

2 cos^2 (x) − 1 cos^2 (x) − sin^2 (x) 1 − 2 sin^2 (x)

tan(2 x) = 2 tan(x) 1 − tan^2 (x)

sin(3 x) = 3 sin(x) − 4 sin^3 (x) cos(3 x) = 4 cos^3 (x) − 3 cos(x) tan(3 x) = 3 tan(x)−tan

(^3) (x) 1 − 3 tan^2 (x)

sin^2 (x 2 ) = 1 − cos(x) 2 cos

(^2) (x 2 ) =^

1 + cos(x) 2 tan

(^2) (x 2 ) =^

1 − cos(x) 1 + cos(x)

sin(x ± y) = sin(x) · cos(y) ± cos(x) · sin(y) tan(x + y) = tan(x) + tan(y) 1 − tan(x) · tan(y)

cos(x ± y) = cos(x) · cos(y) ∓ sin(x) · sin(y) tan(x − y) = tan(x) − tan(y) 1 + tan(x) · tan(y)

sin(x) + sin(y) = 2 · sin

( (^) x + y 2

· cos

( (^) x − y 2

sin(x) − sin(y) = 2 · cos

(x + y 2

· sin

(x − y 2

cos(x) + cos(y) = 2 · cos

( (^) x + y 2

· cos

( (^) x − y 2

cos(x) − cos(y) = − 2 · sin

( (^) x + y 2

· sin

(x − y 2

7 Finanzmathematik

Aufzinsfaktor: q = 1 + 100 p = 1 + i p = Zins (j¨ahrlich) in %, i = 100 p = Zinssatz.

◮ Verzinsung mit Zinseszins: Startkaptial K 0 , Laufzeit n Jahre:

K 0^ × q^ K 1 × q^ K 2 × q^^ Aufzinsen K (^) n - 1 × q Kn

× (^) q^1 × (^) q^1 × (^) q^1 Abzinsen × (^) q^1

Zeit in Jahren (Zinsperioden)

Endwert: Kn = K 0 · qn

Barwert: K 0 = Kn · (^) q^1 n

◮ Unterj¨ahrige Verzinsung:

Linear: mit Zinseszins: Stetig: Kapital KT nach T m Zinsperioden pro Jahr, Kontinuierlich wird ein Tagen ohne Zinseszins: Laufzeit: n Jahre. beliebig kleiner Zins bezahlt:

KT = K 0 + K 0 · i · 360 T Kn·m = K 0 ·

1 + mi

)n · m

KS = lim m→∞ Kn·m = K 0 · ei^ ·^ n

Effektiver Jahreszinssatz:

ieff =

1 + mi

)m

qm = m

qeff K 0 Km

m Zinsperioden pro Jahr

t^ = 0 ×× qqmm^^ × qm^ × qm^ qm = 1 + (^) mi ×× qqmm 1 Jahr

× q eff = × (1 + i eff)

Zeit

◮ Rentenrechnung: Zum Startkapital K 0 werden n Renten R bezahlt:

Vorsch¨ussige Rentenzahlung Nachsch¨ussige Rentenzahlung

K 0 K 1 K 2 Kn - 1 Kn

+R +R +R

× q × q × q

B 0 = Barwert (^) Endwert = En

+R

K 0 K 1 K 2 Kn - 1 Kn

+R +R +R +R

× q × q × q

B 0 = Barwert (^) Endwert = En

Barwert B 0 = Endwert En = Barwert B 0 = Endwert En =

K 0 + (^) qnR− 1 qn− 1 q− 1 K^0 q

n (^) + R q qn−^1 q − 1 K^0 +^

R qn

qn− 1 q− 1 K^0 q

n (^) + R qn−^1 q− 1

⇒ Bei Schuldentilgung heisst R Tilgungsrate oder Annuit¨at.

◮ Ableitungen in der Finanzmathematik:

Marginale Funktion Wachstumsrate Elastizit¨at (Grenzfunktion)

f ′(x) = (^) dxdf r(t) = f ′(t) f (t) =^

d dt ln(f^ (t))^ εf^ (x) =

df f dx x

= x · f ′(x) f (x)

8 Differentialrechnung

Voraussetzung: Gegeben sei eine stetige Funktion f : R → R, x 7 → y = f(x).

• Sekantensteigung, Differenzenquotient: Mittlere ¨Anderungsrate (Steigung) von f im Intervall [x, x + h]:

ms =

∆y ∆x

f (x + h) − f (x) h

= tan(α)

• Tangentensteigung, Differentialquotient: Lokale ¨Anderungsrate (Steigung) von f im Punkt P( x / f (x) ), Definition der 1. Ableitung:

mt = f ′(x) = lim ∆x→ 0

∆y ∆x

df dx

= lim h→ 0

f (x + h) − f (x) h

= tan(ϕ)

y

x x

f x ( )

f ( x + h ) f Tangente

P D x = h

P 1

x + h

ms D^ y^ = ( f^^ x^ +^ h )^ - f x ( )

a

d f Sekante d x

j

f x ( )

8 .1 Ableitungsregeln: Seien y

= f(x), y = u(x) und y = v(x) stetige Funktionen, c eine Konstante.

◮ Additive Konstante: f (x) = u(x) ± c f ′(x) = u′(x)

◮ Multiplikative Konst.: f (x) = c · u(x) f ′(x) = c · u′(x)

◮ Summenregel: f (x) = u(x) ± v(x) f ′(x) = u′(x) ± v′(x)

◮ Produktregel: f (x) = u(x) · v(x) f ′(x) = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)

◮ Quotientenregel: f (x) = u v((xx))

f ′(x) = u′(x) · v(x) − u(x) · v′(x) ( v(x) )^2

◮ Kettenregel: f (x) = u(v(x))

f ′(x) = u′(v) · v′(x) = dudv · (^) dxdv

,, ¨Aussere mal innere Ableitung.”

Bedingungen f¨ur Extrema und Wendepunkte: Zusammenhang zwischen f (x), f ′(x) und f ′′(x):

y

x

y'

y''

x

f konkav f '' ( ) < 0 x

f konvex f '' ( ) x > 0

f konvex f '' ( ) x > 0

f

f fallend f ' ( ) < 0 x

f x

wachsend f ' ( ) ³ 0

f w x

achsend f ' ( ) > 0

W

T

S

Funktion = f = y- Werte von f H

x

1 W 2

f konkav f '' ( ) x < 0

2. Ableitung = f '' = Krümmung von f 1. Ableitung = f' = Tangentensteigung von f

f ''

f'

9 Integralrechnung

Definition: F (x) heisst Stammfunktion von f (x), wenn F ′(x) = f (x) gilt. Zwei verschiedene Stammfunktionen F 1 (x) und F 2 (x) von f (x) unterscheiden sich um h¨ochstens eine additive Konstante: F 2 (x) = F 1 (x) + C. Die Konstante C heisst Integrationskonstante.

• Unbestimmtes Integral = Menge aller Stamm- funktionen:

f (x) dx = {F (x) + C | C ∈ R}

• Bestimmtes Integral, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

A =

∫^ b a

f (x) dx = F (b) − F (a) = [ F (x) ]ba a

y

x b

f

A

x

y^

f ( ) =^

x

dx

|A| : Fl¨ache unter f zwischen den Integrationsgrenzen x = a und x = b, wenn f zwischen a und b keine Nullstellen hat.

9 .1 Integrationsregeln

◮ Konstantenregel:

∫^ b a

( c ·f (x) ) dx = c ·

∫^ b a

f (x) dx

◮ Summenregel:

∫^ b a

( u(x) ± v(x) ) dx =

∫^ b a

u(x) dx ±

∫^ b a

v(x) dx

◮ Orientierung des Integrals:

∫^ b a

f (x) dx = −

∫^ a b

f (x) dx

◮ Anderung der¨ Integrationsgrenzen:

∫^ b a

f (x) dx =

∫^ c a

f (x) dx +

∫^ b c

f (x) dx

◮ ,,Vorzeichen” der Fl¨ache:

f (x) ≥ 0 f¨ur x ∈ [ a, b ] f (x) ≤ 0 f¨ur x ∈ [ a, b ]

∫^ b a

f (x) dx

◮ Fl¨ache zwischen f 1 und f 2 : A =

∫^ b a

| f 2 (x) − f 1 (x) | dx

◮ Partielle Integration: ∫^ b a

u(x) · v′(x) dx = [ u(x) · v(x) ]ba −

∫^ b a

u′(x) · v(x) dx a

y

x

b

f 1

f 2

A

◮ Substitutionsregel: Es sei f (x) = u( v(x) ) eine verkettete Funktion. U( v ) bezeichne eine

Stammfunktion der ¨ausseren Funktion. Dann:

∫^ b a

u(v(x)) · v′(x) dx =

v∫(b)

v(a)

u(v) dv = [ U( v ) ]v v((ba))

10 Stochastik

10 .1 Kombinatorik

Anordnung von Elementen auf Plätzen

n n

Auswahl von Elementen aus insgesamt

k n

Kombinationen Variationen

Elemente dürfen höchstens einmal gewählt werden V = n!

Elemente dürfen beliebig oft gewählt werden

Variation ohne Wiederholung

Variation mit Wiederholung

Alle Elemente Unterscheidbar:

n

P = n!

P = n n ( - 1) × ...× 2 1 ×

Permutation ohne Wiederholung

Permutation mit Wiederholung

, Elemente unterscheidbar:

n 1 n 2

Un

,.. der insge- samt n

P = (^) n! n! n! ... 1 ×^ 2 ×

W

V = n

W (^) k

Reihenfolge beliebig

der Auswahl :

Reihenfolge wichtig

der Auswahl :

Start: Kriterien, welche für eine Stichprobe gelten.

{ a b c } = { a c b } [ a b c ] =[ a c b ]

Elemente dürfen höchstens einmal gewählt werden

Elemente dürfen beliebig oft gewählt werden K = n^ +^ kk -^1

W

Kombination ohne Wiederholung

Kombination mit Wiederholung

K = = ( n - k )! n! k! (× n - k )!

n k

Fakult¨at: n! := 1 · 2 ·... · n

Binomialkoeffizient:

n k

= (^) k! · (nn!−k)!

Symmetrie:

n k

n n − k

Rekursion:

n k

n k + 1

n + 1 k + 1

1 0.2 Wahrscheinlichkeit, Mengenlehre

◮ Stichprobenraum S: Menge aller m¨oglichen Ereignisse (Grundmenge).

◮ Ereignisse A, B, C: Teilmengen von S.

Bsp.: S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }, A = { 0 , 2 , 4 , 6 }, B = { 1 , 2 , 3 , 5 }, 4 ∈ A; 3 ∈/ A.

|A| M¨achtigkeit Anzahl Elemente in A

A ∩ B Schnittmenge A und B A ∪ B Vereinigung A oder B

A = S \A Komplement S ohne A

C ⊂ A Teilmenge C enthalten in A {}, ∅ Leere Menge

B

S A È B

1

3

5

7

A

B

Ç

C

2

4

6

0

A

A = S\A

◮ Laplace-Wahrscheinlichkeit: Alle Elemente in S treten gleichwahrscheinlich auf. Dann:

P (A) = | A | | S | =^

Anzahl Elemente in A Anzahl Elemente in S =^

g¨unstig m¨oglich

10 .4 Binomialverteilung, Bernoulli (diskrete Verteilung)

Stichprobenraum besteht aus genau zwei Elementen: S = {A, A} mit den gleichbleibenden Wahrscheinlichkeiten p(A) = p und p(A) = 1 − p. Das Ereignis A trete bei genau n Wiederho- lungen X mal ein. Dann berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass...

A mindestens einmal eintritt: P (X ≥ 1) = 1 − (1 − p)n

A genau k mal eintritt: P (X = k) =

n k

· p k^ · (1 − p)n−k^0 ≤ k ≤ n

A h¨ochstens x mal eintritt: P (X ≤ x) =

∑^ x

k=

n k

· p k^ · (1 − p)n−k^0 ≤ x ≤ n

Erwartungswert: E(X) = n · p

Standardabweichung: σ =

n · p · (1 − p)

F¨ur σ^2 = n · p · (1 − p) > 9 kann eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden.

10 .5 Normalverteilung (kontinuierliche Verteilung)

• Dichtefunktion:

f (x) = √ 21 π σ e−^

(x − μ)^2 2 σ (^2) = N (μ, σ)

Standard-Normalverteilung:

f (z) = √^12 π e−^

z^2 (^2) = N (0, 1)

f ( ) x

m

s

f ( ) z m = 0 z s (^) z = 1

0 1 2

Normalverteilung N ( , m s ) z -Transformation

Standard-Normal- Verteilung N ( , 0 1 )

z = x^ - s^ m F ( ) x

x

F ( ) z

z m^

• s m^

• s

(^) X Z

Symmetrie: f (μ + x) = f (μ − x) f (−z) = f (+z)

• Verteilungsfunktion: F (−z) = 1 − F (+z)

F (x) = P (X ≤ x) = √^1 2 π σ

∫^ x −∞

e−^

(t − μ)^2 2 σ (^2) dt W’keit, dass h¨ochstens x eintritt.

Standard-Normalverteilung:

F (z) = P (Z ≤ z) = √^1 2 π

∫^ z −∞

e−^ t 22 dt

• σ-Umgebungen bei Normalverteilung:

1 σ-Umgebung 2 σ-Umgebung 3 σ-Umgebung

p(| μ − x | < 1 σ) ≈ 68 .3% p(| μ − x | < 2 σ) ≈ 95 .4% p(| μ − x | < 3 σ) ≈ 99 .7%

10 .6 Statistik: Daten mit einer Variablen

Seien X = {x 1 , x 2 ,... , xk} die Werte einer Stichprobe und n 1 , n 2 ,... , nk deren absolute

H¨aufigkeiten. F¨ur den Umfang der Stichprobe gilt n =

∑k i=

ni = n 1 + n 2 +... + nk.

Die relative H¨aufigkeit ist durch p(xi) = n ni definiert. Insbesondere gilt

∑k i=

p(xi) = 1.

Einzeldaten Gruppendaten (Klassen)

Daten n Werte x 1 , x 2 ,... , xn

k Werte x 1 , x 2 ,... , xk der absolute H¨aufigkeit n 1 , n 2 ,... , nk

Arithmetischer Mittelwert x = E(X) = (^1) n

∑^ n i=

xi x = E(X) = (^) n^1

∑^ k i=

ni xi =

∑k i=

p(xi) xi

Median Der Median x 0. 5 der Werte einer geordneten Stichprobe ist...

• der in der Mitte liegende Wert, falls n ungerade.
• Der Mittelwert beider mittleren Werte, falls n gerade. Modalwert (Modus)

Der Modalwert xM ist der am h¨aufigsten auftretende Messwert.

Spannweite R = xmax − xmin

Varianz∗^ s^2 x = (^) n−^11

∑^ n i=

(xi − x)^2 s^2 x = (^) n−^11

∑^ k i=

ni (xi − x)^2 oder

s^2 x =

∑k i=

p(xi) (xi − x)^2 = E(X^2 ) − ( E(X) )^2

[*] Wenn die Werte x 1 , x 2 ,... , xn eine Population darstellen oder wenn die Varianz innerhalb der Stichprobe gesucht ist, ersetze man den Nenner n − 1 durch n.

Standardabweichung: sx =

s^2 x

Um Stichproben zu vergleichen, dient der Variationskoeffizient V = s xx ·100%

Box plot: Ermittle den Median x 0. 5 , das obere (x 0. 75 ) und das untere (x 0. 25 ) Quartil, die kleinste (xmin) und die gr¨osste (xmax) Stichprobe. Dann

x min x 0.25 x 0.5 x 0.75 x max

kleinste 25% grösste 25% 25% 25% aller Daten aller Daten

Ungleichung von Tschebyschev:

F¨ur eine Stichprobe mit Mittelwert x und Varianz s^2 x gilt f¨ur die Wahrscheinlichkeit p dass ein

Messwert x innerhalb einer ±λ-Umgebung um den Mittelwert liegt: p(| x − x | < λ) ≥ 1 − s^2 x λ^2