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1 Differentialgleichungen
1.1 Substitution
ݕ ᇱ^ ݂ൌ ܿ ݕ ⋅ ܾ ݔ ⋅ ܽሺ ሻ^ ݕ ᇱ^ ݂ൌ ቀ
Substitution ܿ ݕ ⋅ ܾ ݔ ⋅ ܽൌ ݑ ൌ ݑ
ݔ ⇒^ ݑ ⋅ ݔ ൌ ݕ
Differentiation ݑ ᇱ^ ݕ ⋅ ܾ ܽൌ ᇱ^ ݕ ᇱ^ ൌ ݑ ݔ⋅ ݑ ᇱ
Einsetzen (^) ݑ ᇱ^ ݀ൌ݀ݑ ݔ ݂⋅ ܾ ܽൌ^ ሻݑሺ^
ݑ ⋅ ݔ ݑ ᇱ^ ݂ൌ ሻݑሺ
1.2 ࢟ ᇱ^ ࢍ ൌ ࢟⋅ ࢇ ሺ ࢞ሻ, ࢇ്
Störfunktion ሻ࢞ሺࢍ Lösungsansatz ࢟ ሻ࢞ሺ
- Konstante Funktion ݕ ܿൌ^
- Lineare Funktion ݕ ܿൌ (^) ଵ ܿ ݔ ⋅ (^)
- Quadratische Funktion ݕ ܿൌ^ ଶ ݔ ⋅^ ଶ^ ܿ^ ଵ ܿ ݔ ⋅^
- Polynom vom Grad ݊ ݕ ܿൌ (^) ݔ ⋅ ^ ⋯ ܿ (^) ଵ ܿ ݔ ⋅ (^)
- ݃ ሺݔሻ ൌ ܣ⋅ sinሺ ߱⋅ ݔ ሻ ݕ ܥ ൌଵ ⋅ sinሺ ߱⋅ ݔ^ ሻ ܥଶ ⋅ cosሺ ߱⋅ ݔ^ ሻ
- ݃ ሺݔሻ ൌ ܤ⋅ cosሺ ߱⋅ ݔሻ oder
- ݃ ሺݔሻ ൌ ܣ⋅ sinሺ ߱⋅ ݔ ሻ ܤ⋅ cosሺ ߱⋅ ݔሻ ݕ ܥ ൌଵ ⋅ sinሺ ߱⋅ ݔ߮^ ሻ
8. ݃ ݁⋅ ܣ ൌ ሻݔሺ ௫^ ݕ ൌ ൝
݁⋅ ܥ ്ܾ௫^ ܽെ
für ݁⋅ ݔ ⋅ ܥ ܾ௫^ ܽെ ൌ
1.3 ࢟ ᇱᇱ^ ࢟⋅ ࢇ ᇱ^ ࢈⋅ ࢟ൌ ࢍሺ ࢞ሻ, ࢇ്
Charakteristische Gleichung ߣଶ^ ܽ⋅ ߣ ܾൌ 0
1. Fall ߣଵ് ߣ (^) ଶ reell ܥ ൌ ሻݔሺݕଵ ݁⋅ ఒ^ భ^ ௫^ ܥ ଶ ݁⋅ ఒ^ మ^ ௫ 2. Fall ߣଵ ߣ ൌ (^) ଶ reell ܥሺ ൌ ሻݔሺݕଵ ܥ ଶ ⋅ ݔሻ ⋅݁ ఒ^ భ^ ௫ 3. Fall ߣଵ,ଶ ݆߱േ ߙ ൌ konjugiert komplex ݁ൌ ሻݔሺݕ ఈ௫^ ܥሺଵ ݔ߱sinሺ ሻ ܥଶ ⋅ cosሺݔ߱ ሻ
Störfunktion ሻ࢞ሺࢍ Lösungsansatz ࢟ ሻ࢞ሺ
- Polynom vom Grad݊
݃ ܲൌ ሻݔሺ (^) ሻݔሺ^ ݕ^ ܳቐ ൌ
്ܾሻݔሺ^0
ܳ⋅ ݔ (^) ሻݔሺ ܾfür ൌ 0,്ܽ 0 ݔ ଶ^ ܳ⋅ (^) ܽ ሻݔሺ ൌ ܾൌ 0 ܳ ሻݔሺ: Polynom vom Grad݊
- Exponentialfunktion
݃ ݁ൌ ሻݔሺ ௫
(1) ܿ ist keine Lösung der char. Gl. ݕ ݁⋅ ܣ ൌ ௫
(2) ܿ ist einfache Lösung der char. Gl. ݕ ݁⋅ ݔ ⋅ ܣ ൌ ௫
(3) ܿ ist doppelte Lösung der char. Gl. ݕ ൌ ܣ⋅ ݔ ଶ^ ݁⋅ ௫
- Trigonometrische Funktion
݃ ሺݔሻ ൌ sinሺݔߚሻ ݃ ሺݔሻ ൌ cosሺݔߚሻ ݃ ሺݔሻ ൌܽ sin ሺݔߚሻ ܾ cosሺݔߚሻ
(1) ݆ ߚ ist keine Lösung der char. Gl. ݕ ൌ ܣ⋅ sinሺߚ ݔሻ ܤ⋅ cosሺߚ ݔሻ ݕ ൌ ܥ⋅ sinሺ ݔ ߚ߮ ሻ
(2) ݆ ߚ ist eine Lösung der char. Gl. ݕ ൌ ݔ⋅ ሾ ܣ⋅ sinሺߚ ݔሻ ܤ⋅ cosሺߚ ݔሻሿ ݕ ൌ ܥ⋅ ݔ⋅ sinሺ ݔ ߚ߮ ሻ
- ݃ ܲൌ ሻݔሺ (^) ݁⋅ ሻݔሺ ௫^ ⋅ sinሺߚ ݔሻ
݃ ܲൌ ሻݔሺ (^) ݁⋅ ሻݔሺ ௫^ ⋅ sinሺߚ ݔሻ ܲ ሻݔሺ: Polynom vom Grad݊
(1) ܿ ߚ ݆ ist keine Lösung der char. Gl. ݕ ݁ൌ ௫^ ܳሾ (^) ሺݔሻ ⋅ sinሺݔߚሻ ܴ (^) ሺݔሻ ⋅ cosሺݔߚሻሿ ܳ ܴ,ሻݔሺ (^) ሻݔሺ: Polynome vom Grad݊
(2) ܿ ߚ ݆ ist eine Lösung der char. Gl. ݕ ݁ ݔ ൌ ௫^ ܳሾ (^) ሺݔሻ ⋅ sinሺݔߚሻ ܴ (^) ሺݔሻ ⋅ cosሺݔߚሻሿܳ
ܴ,ሻݔሺ^ ሻݔሺ:^ Polynome^ vom^ Grad݊
Korrespondenzen der Laplacetransformation
Bildfunktion ሻ ࢙ሺࡲ^ Originalfunktion ࢌሻ࢚ሺ
1 ሻݐሺߜ
1 ݏ
ݏ ଶ^
2 ݐ^
ଶ
1 ݏ ^ ሺ ݊ൌ 1, 2, 3, …^ ሻ^
ܽെ ݏሺ ሻଶ^ ݁⋅ ݐ^
௧
1 ܽെ ݏሺ ሻଷ
2 ݐ ⋅^
ܽെ ݏሺ ሻ^ ሺ ݊ൌ 1, 2, 3, …^ ሻ^
ሺ ݊െ 1 ሻ! ݁⋅^
௧
1 ݏ ଶ^ ܽ ଶ
ܽሻ ݐܽsinሺ
1 ݏሺݏ ଶ^ ܽ4 ଶ^ ሻ
sin ଶ^ ሻ ݐܽሺ ܽ2 ଶ ݏ ݏ ଶ^ ܽ ଶ^ cosሺݐܽ ሻ 1 ܾെ ݏሺ ሻଶ^ ܽ ଶ
݁ ௧^ ⋅ sinሺ ݐܽሻܽ
ݏ ଶ^ ܽ2 ଶ
ݏሺݏ ଶ^ ܽ4 ଶ^ ሻ cos^
ܾെ ݏሺ ሻଶ^ ܽ ଶ^ ݁
௧ (^) ⋅ cosሺݐܽ ሻ
1 ݏሺ ଶ^ ܽ ଶ^ ሻଶ
sinሺ ݐܽሻ െݐ ܽ cos ሺݐܽ ሻ ܽ2 ଷ ݏ ݏሺ ଶ^ ܽ ଶ^ ሻଶ
ݐ⋅ sinሺݐܽ ሻ ܽ ݏ ଶ ݏሺ ଶ^ ܽ ଶ^ ሻଶ
sinሺ ݐܽሻ ݐ ܽ cos ሺݐܽ ሻ ܽ ݏ ଷ ݏሺ ଶ^ ܽ ଶ^ ሻଶ^ cosሺ ݐܽሻ െ
ܽ2ሻݐܽsinሺ ݐ
3 Fouriertransformation
Definition / Berechnung
߱ሺܨ ሻ ൌ ݂න ሺݐሻ ⋅ eି ఠ ௧^ ݐd
ାஶି
ஶ
ߨ2߱ሺܨන^ ሻ ⋅ e^
ఠ ௧ (^) ߱d
ାஶି
ஶ
Reelle Berechnung bei symmetrischen Funktionen
݂ ሻݐሺ gerade ݂ ሻݐሺ ungerade
߱ሺܨ^ ሻ ൌ 2 න݂ ሺݐሻ ⋅ cosሺ߱ ݐሻ
ஶ
ݐd ߱ሺܨ^ ሻ ൌ െ2 ݆න݂ ሺݐሻ ⋅ sinሺ߱ ݐሻ
ஶ
ݐd
Rechenregeln
Originalbereich Bildbereich
Linearität ܿ ଵ ݂⋅ (^) ଵ ܿ ሻݐሺ (^) ଶ ݂⋅ (^) ଶ ሻݐሺ ܿ ଵ ܨ ⋅ଵ ߱ሺ^ ܿ ሻ (^) ଶ ܨ ⋅ଶ ߱ሺ^ ሻ
Ähnlichkeitssatz ݂ ሻ ݐ ܽሺ ሺ്ܽ 0, reellሻ
|ܽ | ܽ߱ቀ ܨ ⋅^ ቁ
Verschiebung ݂ ݐ െ ݐሺ ሻ^ ݐሺ reellሻ^ ି݁ ఠ ௧^ బ^ ሻ߱ሺܨ⋅
Dämpfung ݁ ఠబ^ ௧^ ݂⋅ ሻݐሺ ߱െ ߱ሺܨ (^) ሻ
Faltung
ஶି
ஶ
ܨଵ ߱ሺ^ ሻ ⋅ ܨଶ ሻ߱ሺ
Multiplikation ݂ ଵ ݂⋅ ሻݐሺ (^) ଶ ሻݐሺ
ߨ2ܨ නଵ^
ାஶି
݀ஶ
Ableitung
݂^ ᇱ^ ݂ሻݐሺ
݆߱ሺ ሻ ଶ^ ߱ሺܨ⋅ ሻ ߱െ ൌ ଶ^ ߱ሺܨ⋅ ሻ
݆߱ሺ ሻ^ ߱ሺܨ⋅ ሻ
Integration (^) ݂න ݑ݀ሻݑሺ
௧ି
ஶ
Vertauschung ݂ ߱ሺܨ⊶ ሻݐሺ ሻ ⇒ ݂⋅ ߨ2 ⊶ ሻݐሺܨ ሻ߱ሺെ
