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Wirtschaftswissenschaften Mathematik für Betriebswirte II
Formelsammlung
Folgen und Reihen
De nitionen
Bezeichnung De nition
Folge (an)n∈N 0 a : D −→ R, n 7 → an := a(n) mit D ⊆ N 0
n-te Partialsumme von (an)n∈N 0 sn =
∑^ n
k=
ak
Reihe (sn)n∈N 0
Wichtige Folgen & Reihen
Bezeichnung Explizite Folgendarstellung Partialsumme
Arithmetische Folge mit an+1 − an = d ∀n ∈ N 0
an+1 = a 0 + (n + 1)d sn =
∑^ n
k=
(a 0 +kd) = (n+1)
a 0 +
nd 2
Geometrische Folge mit an+ an =^ q^ ∀n^ ∈^ N^0 ;^ q^ ∈^ R^ \ {^0 }
an+1 = qn+1a 0 sn = a 0
∑^ n
k=
qk^ =
a 0 1 −q
n+ 1 −q q^6 = 1 a 0 (n + 1) q = 1
Eigenschaften einer Folge an mit a, c ∈ R
Beschränkt |an| ≤ c ∀n ∈ N 0 Nach unten beschränkt an ≥ c ∀n ∈ N 0 Nach oben beschränkt an ≤ c ∀n ∈ N 0
Monoton wachsend an ≤ an+1 ∀n ∈ N 0 Monoton fallend an ≥ an+1 ∀n ∈ N 0
Konvergent mit Grenzwert a ∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N 0 : |an − a| < ε ∀n ≥ n 0
Rechenregeln für konvergente Folgen mit lim n→∞ an = a, lim n→∞ bn = b und c ∈ R
- lim n→∞ (an ± bn) = lim n→∞ an ± lim n→∞ bn = a ± b
- lim n→∞ acn =
lim n→∞ an
)c = ac^ , falls an > 0 , a > 0
( lim n→∞ an
) = ca^ , falls c > 0
- lim n→∞ (anbn) = lim n→∞ an lim n→∞ bn = ab
- lim n→∞ can = c lim n→∞ an = ca
- lim n→∞
an bn
lim n→∞ an lim n→∞ bn
a b
, falls bn 6 = 0, b 6 = 0
Konvergenzkriterien für Reihen
Eine Reihe
k=0 ak^ heiÿt absolut konvergent, wenn die Reihe^
k=0 |ak|^ konvergent ist.
Konvergenzkriterium
Quotientenkriterium
∣ ak a+1k
∣ ≤ q 0 < q < 1 ; ak 6 = 0 ; ∀k ≥ k 0 ; k 0 ∈ N 0
Wurzelkriterium k
|ak| ≤ q 0 < q < 1 ; ∀k ≥ k 0 ; k 0 ∈ N 0
Wirtschaftswissenschaften Mathematik für Betriebswirte II
Dierenzierbarkeit im Rn
Häufungspunkt und Grenzwert
Bezeichnung De nition
Häufungspunkt x 0 ∈ Rn^ x 0 ∈ Rn^ heiÿt Häufungspunkt der Menge D ⊆ Rn, wenn zu jedem ε > 0 unendlich viele x ∈ D mit ||x − x 0 || < ε existieren.
Isolierter Punkt x 0 ∈ Rn^ Ist x 0 kein Häufungspunkt der Menge, aber gilt x 0 ∈ D, dann wird x 0 als isolierter Punkt bezeichnet.
Grenzwert c ∈ R Ist x 0 ein Häufungspunkt, dann sagt man, dass die Funktion f für x → x 0 gegen den Grenzwert c ∈ R konvergiert, wenn für jede Folge (xk)k∈N ⊆ D mit xk 6 = x 0 für alle k ∈ N und lim k→∞ xk = x 0 stets lim k→∞ f (xk) = c gilt.
Stetigkeit
Bezeichnung De nition
Stetigkeit Eine Funktion f : D ⊆ Rn^ → R heiÿt stetig an der Stelle x 0 , wenn x 0 kein Häufungspunkt der Menge D ist oder falls x 0 ein Häufungspunkt der Menge D ist und die Funktion f für x → x 0 gegen den Grenzwert f (x 0 ) konvergiert, d.h. wenn limx→x 0 f (x) = f (x 0 ) gilt.
Kurvendiskussion in R
Sei f : D ⊆ R → R eine reellwertige, geeignet oft dierenzierbare Funktion, d.h. der Grenzwert
lim ∆x→ 0
f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) ∆x (Dierentialquotient) existiert, sowie ε > 0. Dann gilt:
Bezeichnung De nition Bedingungen
Supremum c von f c ist die kleinste obere Schranke von f
In mum c von f c ist die gröÿte untere Schranke von f
globale Minimalstelle x 0 x 0 ∈ D mit f (x 0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ D f ′(x 0 ) = 0 ∧ f ′′(x) > 0
globale Maximalstelle x 0 x 0 ∈ D mit f (x 0 ) ≥ f (x) ∀x ∈ D f ′(x 0 ) = 0 ∧ f ′′(x) < 0
lokale Minimalstelle x 0 x 0 ∈ D mit f (x 0 ) ≤ f (x) f ′(x 0 ) = 0 ∧ f ′′(x 0 ) > 0 ∀x ∈ D ∩ {x ∈ Rn^ : ||x − x 0 || < ε}
lokale Maximalstelle x 0 x 0 ∈ D mit f (x 0 ) ≥ f (x) f ′(x 0 ) = 0 ∧ f ′′(x 0 ) < 0 ∀x ∈ D ∩ {x ∈ Rn^ : ||x − x 0 || < ε}
Wendestelle x 0 ∃ε > 0 mit f ∈ [x 0 − ε, x 0 ] streng konvex f ′′(x 0 ) = 0 ∧ f ′′′(x 0 ) < 0 konvex / konkav und f ∈ [x 0 , x 0 − ε] streng konkav
Wendestelle x 0 ∃ε > 0 mit f ∈ [x 0 − ε, x 0 ] streng konkav f ′′(x 0 ) = 0 ∧ f ′′′(x 0 ) > 0 konkav / konvex und f ∈ [x 0 , x 0 − ε] streng konvex
Sattelstelle x 0 f ′(x 0 ) = 0 ∧ f ′′(x 0 ) = 0 ∧ f ′′′(x 0 ) 6 = 0
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Partielle Dierentiation
Es sei f : D ⊆ Rn^ → R eine reellwertige Funktion auf einer oenen Menge D, die geeignet oft partiell dieren- zierbar ist.
Bezeichnung De nition
Partielle Dierentiation f heiÿt an der Stelle x bzgl. der i-ten Variablen xi partiell dierenzierbar, wenn der Grenzwert
lim
∆x→ 0
f (x + ∆x · ei) − f (x)
∆x
∂f (x)
∂xi
existiert.
Gradient an der Stelle x gradf (x) =
∂f (x)
∂x 1 ,... ,^
∂f (x) ∂xn
)T
Stationäre Stelle x 0 gradf (x 0 ) = 0
Hesse-Matrix an der Stelle x Hf (x)=
∂^2 f (x) ∂x^21
∂^2 f (x)
∂x 1 ∂x 2...^
∂^2 f (x) ∂x 1 ∂xn
∂^2 f (x) ∂x 2 ∂x 1
∂^2 f (x)
∂x^22...^
∂^2 f (x) ∂x 2 ∂xn
∂^2 f (x) ∂xn∂x 1
∂^2 f (x)
∂xn∂x 2...^
∂^2 f (x) ∂x^2 n
Tangentialhyperebene t(x) = f (x 0 ) + gradf (x 0 )T^ (x − x 0 )
Totales Dierential df df = gradf (x 0 )T^ dx =
∑n i=
∂f (x 0 ) ∂xi dxi an der Stelle x 0
Implizite Funktion
Es seien D ⊆ Rn^ eine oene Menge und f : D × (a, b) ⊆ Rn+1^ → R eine stetig partiell dierenzierbare Funktion mit
f (x 0 , y 0 ) = 0 und
∂f (x 0 , y 0 ) ∂y
Dann ist die implizite Funktion g : U → (a 0 , b 0 ) stetig partiell dierenzierbar und für ihre partiellen Ableitungen gilt
∂g(x) ∂xi
∂f (x,g(x)) ∂xi ∂f (x,g(x)) ∂y
für alle i = 1,... , n.
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Optimierung
Es sei f : D ⊆ Rn^ → R eine partiell dierenzierbare Funktion, g 1 ,... , gk : D ⊆ Rn^ → R stetig partiell dierenzierbare Funktionen und λ der Lagrange-Multiplikator.
Optimierung gradf (x 0 ) = 0 ∧ Hf (x 0 ) / Hf (x) negativ de nit ohne Nebenbedingung ⇒ lokales / globales Maximum bei x 0
gradf (x 0 ) = 0 ∧ Hf (x 0 ) / Hf (x) positiv de nit ⇒ lokales / globales Minimum bei x 0
Lagrange Funktion L(λ 1 ,... , λk, x) := f (x) +
∑k p=1 λpgp(x)
Jacobi-Matrix Jg (x 0 )=
∂g 1 (x 0 )
∂x 1...^
∂g 1 (x 0 ) ∂xn
∂gk (x 0 )
∂x 1...^
∂gk (x 0 ) ∂xn
Approximationsverfahren
Taylor-Formel
Taylorpolynom n-ten Grades der Funktion f um den Entwicklungspunkt x 0 :
Tn;x 0 (x) =
∑^ n
k=
f (k)(x 0 ) k!
(x − x 0 )k^ = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) +
f ′′(x 0 ) 2!
(x − x 0 )^2 +... +
f (n)(x 0 ) n!
(x − x 0 )n
Der Approximationsfehler entspricht dem n-ten Restglied
Rn;x 0 (x) = f (x) − Tn;x 0 (x).
Newton-Verfahren und Sekantenverfahren
Sei f : R → R eine stetig dierenzierbare Funktion.
Newton-Verfahren xn+1 = xn −
f (xn) f ′(xn)
mit f ′(xn) 6 = 0
Vereinfachtes Newton-Verfahren xn+1 = xn − f (xn) f ′(x 0 )
mit f ′(x 0 ) 6 = 0
Sekantenverfahren xn+1 =
f (xn)xn− 1 − f (xn− 1 )xn f (xn) − f (xn− 1 )
Ableitungen und Stammfunktionen elementarer Funktionen
f (x) = F ′(x) F (x) + C =
f (x) dx Bemerkungen
a ax + C
xc^ c+1^1 xc+1^ + C R für c ∈ N 0 R \ { 0 } für c ∈ {− 2 , − 3 ,.. .} R+ für c > 0 R+ \ { 0 } für c < 0 mit c 6 = − 1 1 x ln^ |x|^ +^ C^ x^6 = 0 ex^ ex^ + C
erx^1 r erx^ + C r 6 = 0
ax^ ln(^1 a) ax^ + C a > 0 , a 6 = 1
xx(1 + ln(x)) xx^ + C x > 0
ln(x) x(ln(x) − 1) + C x > 0
loga(x) (^) ln(xa) (ln(x) − 1) + C a > 0 , x > 0
sin(x) − cos(x) + C
cos(x) sin(x) + C
tan(x) − ln | cos(x)| + C x 6 = (2k + 1) π 2 , k ∈ Z
cot(x) ln | sin(x)| + C x 6 = kπ, k ∈ Z 1 sin^2 (x) −^ cot(x) +^ C^ x^6 =^ kπ, k^ ∈^ Z 1 cos^2 (x) tan(x) +^ C^ x^6 = (2k^ + 1)^
π 2 , k^ ∈^ Z √^1 1 −x^2 arcsin(x) +^ C^ |x|^ <^1 1 1+x^2 arctan(x) +^ C
