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Formelsammlung – Nichtlineare Strukturanalysen
Geometrische Nichtlinearität
Verschiebungsgrößenverfahren Theorie II. Ordnung
Vorgehen
1. Geometrisch bestimmtes Grundsystem inklusive Überzähliger bestimmen
Vereinfachen des Ausgangssystems Berechnung nur am halben System unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften: → Ersatzauflager in der Symmetrieachse wählen: → Zustandslinien beider Lastfälle ergänzen und superponierten! Pendelstützen durch vikale und horizontale Kräfte ersetzen:
- Vertikale Kraft: Sij
- Horizontale Kraft: Sij/l
Gelenkfigur zeichnen Knoten, Auflager mit Gelenken ersetzen:
- Freiheitsgrade der Gelenkfigur entsprechen den unabhängigen Verschiebungen: n = Auflager + 3 (Stäbe-Knoten) – NB Sonst: Bei komplexeren Systemen mittels kinematischer Ketten mit Polplan ermitteln
- Verdreh- Festhaltungen an Zusätzlichen Gelenken (nicht Auflagern) anbringen → Summe unabhängige Verschiebungen und Verdrehungen ergeben Anzahl Überzähliger Achtung: Bei Wegfedern werden diese durch Überzählige entgegengesetzt zur Feder ersetzt und ihre Steifigkeit mit dem K-Wert verrechnet Zerlegung in und Identifikation der Grundelemente Mögliche Grundelemente: GE 1: GE 2a: GE 2b: GE 3: → Jedem Teilsystem (Stab) eins zuordnen!
2. Stabkennzahlen und Vorwerte berechnen
Prüfen ob Näherungswerte verwendbar sind Theorie II.Ordnung: Stabkräfte abschätzen über Knotengleichgewichte am vereinfachten System (oder gegeben)
- Für αik ≤ 1,0 Theorie I. Ordnung ausreichend! ( α = 0 für A-D)
- Für αik ≤ 2,50 Theorie II. Ordnung mit Näherungswerten Näherung:
- GE 1: A‘, B‘ und D‘ bestimmen C‘ = 0!
- GE 2a: C‘ bestimmen A‘, wenn Streckenlast B‘ = D‘ = 0!
- GE 2b: C‘ bestimmen A‘, wenn Streckenlast B‘ = D‘ = 0!
- GE 3: A‘ = B‘ = C‘ = D‘ = 0! → Achtung: Bei Druck und Zug aufpassen
3. Steifigkeitsmatrix bestimmen
Zeichnen des ausgelenkten Grundsystems
- Antragen der Verformungsgrößen und Bestimmen der Winkel und Strecken! (Geometrie)
- Antragen der Schnittgrößen in positiver Richtung
- Antragen von Längs-/Abtriebskräften Pij → Rechtwinklig zur Stabachse! → Für Rotationsverdrehungen und Verschiebungen Rotationsverdrehung: Berechnung der Schnittgrößen mittels Tabellen (Mij) → Achtung: Auslenkungs- und Verschiebungsrichtung sowie Ausrichtung der Auflager beachten Berechnung der Steifigkeiten der Unbekannten (Kij) Verdrehungsgrößen: Über Momentengleichgewicht am Knoten bestimmen ∑ (^) 𝑀 = 0 : 𝐾𝑖𝑗 + ∑ (^) 𝑀𝑖𝑗^ 𝑗^ + 𝑀𝑓 = 0 → Achtung: Für Mischwerte aus mehreren Einheitszuständen Gleichung aus i-Zustand verwenden mit den Werten aus dem j-Zustand! Verschiebungsgrößen: Über PvV bestimmen 𝐾𝑖 𝑗 * 1 =^ ∑^ ±^ 𝑀𝑖𝑗 𝑗 ∗ 𝜑𝑖𝑗 → Momente aus Rotation oder Verschiebung mit Winkel aus Verschiebung Verschiebung: Berechnung der Schnittgrößen mittels Tabellen (Mij) → Achtung: Auslenkungs- und Verschiebungsrichtung sowie Ausrichtung der Auflager beachten Berechnung der Steifigkeiten der Unbekannten (Kij) Verdrehungsgrößen: Über Momentengleichgewicht am Knoten bestimmen ∑ 𝑀 = 0 : 𝐾𝑖𝑗 + ∑ 𝑀𝑖𝑗 𝑗 + 𝑀𝑓 = 0 → Achtung: Für Mischwerte aus mehreren Einheitszuständen Gleichung aus i-Zustand verwenden mit den Werten aus dem j-Zustand!
Verschiebungsgrößen: Über PvV bestimmen 𝐾𝑖^ 𝑗^ * 1 = ∑ ± 𝑀𝑖𝑗^ 𝑗^ ∗ 𝜑𝑖𝑗 + 𝐹𝑓^ 𝑗^ ∗ 𝑤𝑖𝑗^ 𝑗^ + 𝑁𝑖𝑗^ 𝑗^ 𝑢𝑖𝑗 + 𝑀𝐹^ 𝑗^ ∗ 𝜑𝑖𝑗 ± Pij wij
- Pij = 𝑆𝑖𝑗 ∙ 𝑤𝑖𝑗 𝑙𝑖𝑗 Zug gegen Verschiebung (+), Druck mit Verschiebung (-)
- Wegfederkräfte: Ff = cf wij → entgegen Verschiebung antragen
- Momentenfeder: Mf = cm l
- Für EA ≠ ∞ : Nij = EA uij/lij entgegen der Verlängerung antragen → Wenn Verschiebung und Verdrehungen entgegen der Steifigkeiten gerichtet ist (-) → Momente aus Rotation oder Verschiebung mit Winkel aus Verschiebung Steifigkeitsmatrix 𝐾 = [
𝐾𝑛^1 𝐾𝑛^1 𝐾𝑛^ 𝑛
] → Achtung: Symmetrisch?
4. Lastvektor bestimmen
Zeichnen des Lastzustands auf Grundsystem
- Antragen der Belastungen und Berechnen der Winkel und Strecken! (Geometrie)
- Antragen der Schnittgrößen in positiver Richtung
- Antragen von Längs-/Abtriebskräften Sij → rechtwinklig zur Stabachse! Berechnung der Schnittgrößen mittels Tabellen → Achtung: Lastrichtung sowie Ausrichtung der Auflager beachten Berechnung der Festhaltekräfte (Zi^0 ) Lastzustand Verschiebungen Über PvV bestimmen → Wenn Verschiebung und Verdrehungen entgegen der Steifigkeiten gerichtet ist (-) 𝑍𝑖^0 * 1 + ∑^ 𝑀𝑖𝑗^0 ∗ 𝜑𝑖𝑗 + 𝐹𝑖𝑗^0 ∗ 𝑤𝑖𝑗^ 𝑖^ + Sij wij = 0 → Momente und Lasten aus Lastfall und Winkel aus Verschiebungsfigur Verdrehungen Über Momentengleichgewicht am Knoten bestimmen ∑ 𝑀 = 0 : 𝑍𝑖^0 + ∑ 𝑀𝑖𝑗^0 = 0
6. Momente, Querkräfte und Stablängskräfte bestimmen
Momente berechnen 𝑀 = 𝑀^0 + ∑ 𝑟𝑛^ ∙ 𝑀𝑛 → Vorzeichen am linken Rand umdrehen! Transversal-/Querkräfte berechnen 𝑉 = 𝑉^0 + ∑ 𝑟𝑛^ ∙ 𝑉𝑛 Stablängskräfte berechnen/prüfen → Aus Gleichgewichten an Knoten je Stab bestimmen und mit anfangs angenommenen Werten vergleichen → Iteration, wenn nicht ungefähr gleich! (Neue, von vorn)
Stabilitätsuntersuchungen mit dem Verschiebungsgrößenverfahren
Vorgehen lineare Eigenwertanalyse
1. Geometrisch bestimmtes Grundsystem inklusive Überzähliger bestimmen
Vereinfachen des Ausgangssystems Berechnung nur am halben System unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften: → Ersatzauflager in der Symmetrieachse wählen: → Zustandslinien beider Lastfälle ergänzen und superponierten! Pendelstützen durch vikale und horizontale Kräfte ersetzen:
- Vertikale Kraft: Sij
- Horizontale Kraft: Sij/l
Tabellarische Aufstellung der Vorwerte in Abhängigkeit von αik Stab 1 2 … n Grundelement A‘ B‘ C‘ D‘
3. Berechnung der Einheitszustände in Abhängigkeit der Vorwerte A‘, B‘, C‘ und D‘
Zeichnen des ausgelenkten Grundsystems
- Antragen der Verformungsgrößen und Bestimmen der Winkel und Strecken! (Geometrie)
- Antragen der Schnittgrößen in positiver Richtung
- Antragen von Längs-/Abtriebskräften Pij → Rechtwinklig zur Stabachse! → Für Rotationsverdrehungen und Verschiebungen Rotationsverdrehung: Berechnung der Schnittgrößen mittels Tabellen (Mij, Vij) → Achtung: Auslenkungs- und Verschiebungsrichtung sowie Ausrichtung der Auflager beachten Berechnung der Steifigkeiten der Unbekannten (Kij) Verdrehungsgrößen: Über Momentengleichgewicht am Knoten bestimmen ∑ (^) 𝑀 = 0 : 𝐾𝑖𝑗 + ∑ (^) 𝑀𝑖𝑗^ 𝑗^ + 𝑀𝑓 = 0 → Achtung: Für Mischwerte aus mehreren Einheitszuständen Gleichung aus i-Zustand verwenden mit den Werten aus dem j-Zustand! Verschiebungsgrößen: Über PvV bestimmen 𝐾𝑖^ 𝑗^ * 1 = ∑ ± 𝑀𝑖𝑗^ 𝑗^ ∗ 𝜑𝑖𝑗 → Momente aus Rotation oder Verschiebung mit Winkel aus Verschiebung Verschiebung: Berechnung der Schnittgrößen mittels Tabellen (Mij Vij) → Achtung: Auslenkungs- und Verschiebungsrichtung sowie Ausrichtung der Auflager beachten
Berechnung der Steifigkeiten der Unbekannten (Kij) Verdrehungsgrößen: Über Momentengleichgewicht am Knoten bestimmen ∑ 𝑀 = 0 : 𝐾𝑖𝑗 + ∑ 𝑀𝑖𝑗^ 𝑗^ + 𝑀𝑓 = 0 → Achtung: Für Mischwerte aus mehreren Einheitszuständen Gleichung aus i-Zustand verwenden mit den Werten aus dem j-Zustand! Verschiebungsgrößen: Über PvV bestimmen 𝐾𝑖 𝑗 * 1 =^ ∑^ ±^ 𝑀𝑖𝑗 𝑗 ∗ 𝜑𝑖𝑗 + 𝐹𝑓 𝑗 ∗ 𝑤𝑖𝑗 𝑗
- 𝑁𝑖𝑗 𝑗 𝑢𝑖𝑗 + 𝑀𝐹 𝑗 ∗ 𝜑𝑖𝑗 ± Pij wij λ
- Pij = 𝑆𝑖𝑗 ∙ 𝑤𝑖𝑗 𝑙𝑖𝑗 Zug gegen Verschiebung (+), Druck mit Verschiebung (-)
- Wegfederkräfte: Ff = cf wij → entgegen Verschiebung antragen
- Momentenfeder: Mf = cm l
- Für EA ≠ ∞ : Nij = EA uij/lij entgegen der Verlängerung antragen → Wenn Verschiebung und Verdrehungen entgegen der Steifigkeiten gerichtet ist (-) → Momente aus Rotation oder Verschiebung mit Winkel aus Verschiebung
4. Aufstellen der Steifigkeitsmatrix in Abhängigkeit der Vorwerte
𝐾 = [
𝐾𝑛^1 𝐾𝑛^1 𝐾𝑛^ 𝑛
] → Achtung: Symmetrisch?
5. Berechnung der Normalkräfte nach Theorie I. Ordnung
Vorwerte nach Theorie I. Ordnung bestimmen 𝐴′^ = 4 𝐵′^ = 2 𝐶′^ = 3 𝐷′^ = 6 Steifigkeitsmatrix aufstellen 𝐾 = [
𝐾𝑛^1 𝐾𝑛^1 𝐾𝑛^ 𝑛
]
6. Aufstellen der Steifigkeitsmatrix in Abhängigkeit von λ
Vorwerte in Abhängigkeit von λ bestimmen → Berechnete Stabkräfte einsetzen! 𝛼𝑖𝑘 = 𝑙𝑖𝑘 ∗ √ 𝜆 𝑆𝑖𝑘 𝐸𝐼𝑖𝑘^ →^ Achtung:^ Bei^ Druck^ (-)^ und Zug^ aufpassen Näherung: Einträge der Steifigkeitsmatrix aufteilen 𝐾 = [
𝐾𝑛^1 𝐾𝑛^1 𝐾𝑛^ 𝑛
] → Achtung: Symmetrisch? → Aufteilen der Matrix in elastische und geometrische Steifigkeiten
7. Berechnen des kritischen Lastfaktors
Globale Berechnung (Knickfigur) Aufstellen der charakteristischen Gleichung → Für eine 2 x 2 Matrix: Hauptdiagonale multiplizieren – Nebendiagonale multiplizieren → Für eine 3 x 3 und mehr Matrix: Sarrus Regel Lösen der charakteristischen Gleichung → Determinanten-Gleichung wie bei p-q-Formel umformen und mittels Taschenrechner oder Handrechnung lösen → In Steifigkeitsmatrix einsetzen und Werte ausrechnen
Lokale Berechnung (Knickfigur) Aufstellen und Lösen der charakteristischen Gleichung 𝑃𝑘𝑟𝑖𝑡 = 𝐹𝑘𝑟𝑖𝑡 ∙ 𝜆 → 𝜆 = 𝑃𝑘𝑟𝑖𝑡 𝐹𝑘𝑟𝑖𝑡 → In Steifigkeitsmatrix einsetzen und Werte ausrechnen
8. Postprocessing
Berechnen der Eigenformen global (Knickfigur) → 1. Wert für Δr muss gewählt werden! Δr 1 = 1, 𝛥𝑟 2 = − 𝐾 11 𝐾 12 → 𝛥𝑟 = [
]
Eigenvektor normieren: 𝛥𝑟𝑁^ = 𝛥𝑟 |𝛥𝑟| =^ 1 √𝛥𝑟 12 + 𝛥𝑟 22
∙ [
]
→ graphische Darstellung der Eigenform! Verformungen nach Theorie II. Ordnung → Betreffende Steifigkeitsmatrix für λ-Wert und gewählte Stablängskräfte bestimmen (siehe Schritt 6) → mit Z konstant! → Verdrehung in rad! Verschiebung in horizontalen und vertikalen Anteil aufteilen!
Tabellarische Ermittlung der Vorwerte: Stab 1 2 … n Grundelement S α A‘ B‘ C‘ D‘
3. Steifigkeitsmatrix bestimmen
Zeichnen des ausgelenkten Grundsystems
- Antragen der Verformungsgrößen und Bestimmen der Winkel und Strecken! (Geometrie)
- Antragen der Schnittgrößen in positiver Richtung
- Antragen von Längs-/Abtriebskräften Pij → Rechtwinklig zur Stabachse! → Für Rotationsverdrehungen und Verschiebungen Rotationsverdrehung: Berechnung der Schnittgrößen mittels Tabellen (Mij) → Achtung: Auslenkungs- und Verschiebungsrichtung sowie Ausrichtung der Auflager beachten Berechnung der Steifigkeiten der Unbekannten (Kij) Verdrehungsgrößen: Über Momentengleichgewicht am Knoten bestimmen ∑ 𝑀 = 0 : 𝐾𝑖𝑗 + ∑ 𝑀𝑖𝑗 𝑗 + 𝑀𝑓 = 0 → Achtung: Für Mischwerte aus mehreren Einheitszuständen Gleichung aus i-Zustand verwenden mit den Werten aus dem j-Zustand! Verschiebungsgrößen: Über PvV bestimmen 𝐾𝑖^ 𝑗^ * 1 = ∑ ± 𝑀𝑖𝑗^ 𝑗^ ∗ 𝜑𝑖𝑗 → Momente aus Rotation oder Verschiebung mit Winkel aus Verschiebung Verschiebung: Berechnung der Schnittgrößen mittels Tabellen (Mij) → Achtung: Auslenkungs- und Verschiebungsrichtung sowie Ausrichtung der Auflager beachten
Berechnung der Steifigkeiten der Unbekannten (Kij) Verdrehungsgrößen: Über Momentengleichgewicht am Knoten bestimmen ∑ 𝑀 = 0 : 𝐾𝑖𝑗 + ∑ 𝑀𝑖𝑗^ 𝑗^ + 𝑀𝑓 = 0 → Achtung: Für Mischwerte aus mehreren Einheitszuständen Gleichung aus i-Zustand verwenden mit den Werten aus dem j-Zustand! Verschiebungsgrößen: Über PvV bestimmen 𝐾𝑖 𝑗 * 1 =^ ∑^ ±^ 𝑀𝑖𝑗 𝑗 ∗ 𝜑𝑖𝑗 + 𝐹𝑓 𝑗 ∗ 𝑤𝑖𝑗 𝑗
- 𝑁𝑖𝑗 𝑗 𝑢𝑖𝑗 + 𝑀𝐹 𝑗 ∗ 𝜑𝑖𝑗 ± Pij wij
- Pij = 𝑆𝑖𝑗 ∙ 𝑤𝑖𝑗 𝑙𝑖𝑗 Zug gegen Verschiebung (+), Druck mit Verschiebung (-)
- Wegfederkräfte: Ff = cf wij → entgegen Verschiebung antragen
- Momentenfeder: Mf = cm l
- Für EA ≠ ∞ : Nij = EA uij/lij entgegen der Verlängerung antragen → Wenn Verschiebung und Verdrehungen entgegen der Steifigkeiten gerichtet ist (-) → Momente aus Rotation oder Verschiebung mit Winkel aus Verschiebung Steifigkeitsmatrix 𝐾 = [
𝐾𝑛^1 𝐾𝑛^1 𝐾𝑛^ 𝑛
] → Achtung: Symmetrisch?
4. Lösen des Eigenwertproblems mittels Determinante
Charakteristische Gleichung (𝐾 (𝜆) − 𝑤𝑖 ∙ 𝜆) ∙ 𝜙 = 0 Lösen der charakteristischen Gleichung det(𝐾 (𝜆) − 𝑤𝑖 ∙ 𝜆) = 0 → nach wi auflösen
5. Fallunterscheidung
- Wenn alle wi > 0: Stabilitätslast noch nicht erreicht, Lastfaktor λ erhöhen! Neu!
- Wenn alle wi < 0: Stabilitätslast bereits überschritten, Lastfaktor λ verringern! Neu!
- Wenn ein wi = 0 und alle anderen wi > 0: Knicklast erreicht, weiter mit 6!
2. Wahl eines geeigneten statisch bestimmten Hauptsystems
Vereinfachen des Ausgangssystems Berechnung nur am halben System unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften: → Ersatzauflager in der Symmetrieachse wählen: → Zustandslinien beider Lastfälle ergänzen und superponierten! Pendelstützen durch vikale und horizontale Kräfte ersetzen:
- Vertikale Kraft: Sij
- Horizontale Kraft: Sij/l Grad der statischen Unbestimmtheit bestimmen → System versagt bei der Bildung von n+1 Fließgelenken → Statisch Unbestimmte (Momente) an Stellen vermuteter Fließgelenkt setzen → Statisch bestimmtes Grundsystem!
3. Berechnung des Lastzustands
Momentenverlauf bestimmen → In Abhängigkeit von λ → Oder mit λ = 1
4. Berechnung der Einheitszustände
Momentenverläufe für Mi bestimmen → Je eingesetzter Unbestimmter einen Zustand mit Mi
5. Kraftgrößen ermitteln
Formänderungsbeiwerte bestimmen → Mit den Integraltafeln! In Abhängigkeit von EI, wenn EI = konst.! Elastizitätsgleichung aufstellen → Auflösen via Taschenrechner
6. Überlagerung der Schnittgrößenverläufe
→ Graphische Darstellung
7. Skalieren der Schnittgrößen
→ Das erste Fließgelenk entsteht dort wo das größte Moment auftritt → größte auftretende Schnittgröße entspricht der plastischen Schnittgröße 𝑀𝑝𝑙 = 𝑀𝑚𝑎𝑥,𝑔 1 ∗ 𝜆 1 → 𝜆 1 =? → Neuen Schnittgrößenverlauf zeichnen 1 M
8. Änderung des Systems
→ Statisch Unbestimmte im Fließgelenk wird durch plastische Schnittgröße ersetzt → Behandlung wie ein normales Gelenk!
9. Berechnung der Einheitszustände
Momentenverläufe für Mi bestimmen → Je eingesetzter Unbestimmter einen Zustand mit Mi → Zustände müssen bei richtiger Wahl der Unbestimmten nicht neu berechnet werden! → Wegfallen der Unbekannten am Fließgelenk in der Elastizitätsgleichung
