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I. Physikalisches Institut B
Dr. Thorsten Siedenburg
Kommentierte Formelsammlung – in der Klausur wird die unkommentierte ausgeteilt
Formelsammlung Physik für Maschinenbau und Wirtschaftsingenieurswesen WS 2014/
Konstanten :
g =9,
m
s
2
ϱ
Luft
kg
m
3
v
ph
Luft
o
C )= 343
m
s
ϱ
Wasser
kg
m
3
v
ph
Wasser
m
s
v
ph e.m.
vakuum
= c = 2,998⋅ 10
8 m
s
Kräfte : ∣
F
Schwer
∣
= M ⋅ g ; F
Hang
=sin( α)⋅ F
Schwer
; F
Feder
=− D ⋅ x ; F
Reib
=−γ⋅ x ˙ ; F = ˙ p = M ⋅ v ˙ für p = M ⋅ v mit M = const.
F
Schwer
: Schwerkraft auf Erdoberfläche
F
Hang
: Hang-Abtriebs-Kraft - Schwerkraft-Komponente parallel zu Hang
F
Feder
:Rückstellkraft der um x ausgelenkten Feder mit Federkonstante D
F
Reib
: viskose Reibungskraft −⋅ v mit viskoser Reibungskraft-Konstante
Differentialgleichungen aus KräfteAnsatz
M ⋅ a = M
x = F
gesamt
⇒ Lösung x(t) für Anfangsbedingungen x 0
, v 0
DGL:
M
x = F
0
− x ˙
x t = x
0
v
0
t
F
0
M
t
2
für
= 0 x
0
= x 0 v
0
x 0
F
0
=const. Freier Fall
τ= M / γ x t = x
0
v ∞
t − v ∞
− v
0
1 − e
− t /
für
0 v
∞
= F
0
/ Endgeschw.
beschleunigte Bewegung mit Reibung
Endgeschwindigkeit v ∞
wird asymptotisch erreicht,
wenn beschl. Kraft durch Reibung kompensiert wird (F reib
+F
0
Mit v ∞
und F 0
(z.B. F Schwer
oder F Hang
ist γ = M/τ und damit τ bestimmt
Geschwindigkeit: v t = x ˙ t = v
∞
− v
∞
− v
0
e
− t /
M x ¨= F
0
− D x − x ˙
⇒ x t = x
r
x
0
− x
r
⋅cos
0
t
v
0
0
⋅sin
0
t für
= 0 x
r
= F
0
/ D Ruhelage
ω
0
2
= D / M freie ungedämpfte Schwingung Auslenkung in Ruhelage durch
ω
0
2
= g / L (Faden-Pendel) Schwerkraft, dann:
0
2
= g / x
r
ω
d
2
=ω
0
2
2 τ
2
x
d
t = x
r
e
−
t
2
[ A
1
cos
d
t A
2
sin
d
t ]
für
d
2
freie gedämpfte Schwingung
x
ap
t = x
r
[ x
0
− x
r
t
v
0
t ] e
−
t
2
für
d
2
aperiodischer Grenzfall (schnellstmögliche Rückkehr in Ruhelage)
x
kr
t = x
r
e
−
t
2
A
1
e
−
d
2
t
A
2
e
−
−
d
2
t
für
d
2
Kriechfall
RHEINISCH
WESTFÄLISCHE
TECHNISCHE
HOCHSCHULE
AACHEN
M
x =− D x − x ˙ F
0
cos t
x ( t )= x
d
( t )+
∣
A
c
∣
cos(ω t +φ) für
d
T
= 2 f Erzwungene Schwingung mit externer Anregungs-Kreisfrequenz ω
x d
: Einschwing-Vorgang - für Anfangsbedingungen
Periodendauer : T |Ac|: Amplitude nach Einschwing-Vorgang
Frequenz : f = 1 / T
mit
∣
A
c
∣
(ω)=
F
0
/ M
( ω
0
2
−ω
2
2
+(ω /τ)
2
und tan φ(ω)=
−ω/ τ
ω
0
2
−ω
2
Güte Q =ω
0
τ
Kreisfrequenz ω = 2π f ∣
A
c
∣
max. für =
r
0
2
2
∣
A
c
∣
0 = F
0
/ D
∣
A
c
∣
0
∣
A
c
∣
0 ⋅ Q
maximal-Amplitude; Anregungs-Amplitude; Resonanz-Überhöhung
M ¨ x
1,
=− D x
1,
− d x
1,
− x
2,
⇒ x
1,
t =[ A
S
cos
0
t A
S
sin
0
t ]±[ A
A
cos
A
t A
A
sin
A
t ] mit
A
2
0
2
2d
M
d: Federkonstante der Kopplung Schwach gekoppelte Schwingung von Pendel-1 und Pendel-
Fundamentalschwingungen gleichsinn.:
0
gegensinn.:
A
; Schwebung: ½
A
0
für [ x
1
0 = x
0
; x
2
0 = v
1
0 = v
2
0 = 0 ]: x
1
t = x
0
⋅cos
A
0
t ⋅cos
A
0
t
Schwebung: Amplitude variiert harmonisch:
A ( t )= x
0
⋅cos(
ω
A
−ω
0
t )
∂ t
2
S x , t = v
ph
2
∂ x
2
S x ,t ⇒
S x , t = S
0
⋅ f t ± kx − mit v
ph
= / k in ∓ x Richtung z.B. f =cos
Wellengleichung Wellenfunktion (Lösung der Wellengleichung)
Arbeit/Energie/Leistung: W = ∫
dW = ∫
F ⋅
ds ; E
kin
=½ M v
2
; E
pot
= M g h ; E
Feder
=½ D x
2
; P = dW / dt =
F ⋅⃗ v
W: Arbeit ; E: Energie ; P: Leistung ; kinetische; im Schwerefeld; x=0: Feder entspannt; Arbeit/Zeit
elastische Wellen :
v
ph
ω
k
2 π / T
2 π /λ
=λ f =
κ ϱ
mit
κ
= [ Festkörper: E =
F / A
Δ L / L
; Flüssigkeit: K (Wasser: 2 ⋅ 10
9
Pa );
Seil/Draht-Querwelle: F / A ; Gas: p
A
f+
f
mit p
A
=ϱ R
S
T (Luft R
S
J
Kg ⋅ K
) ]
v ph
: Phasengeschw. ϱ: Dichte E: Elastizitatsmodul f: Freiheitgrade F/A: Kraft/Querschnittsfläche
Oberflächen Wellen :
v
ph
g
ϱ
tanh
2 z
Wasser: = 7 ⋅ 10
− 2
N / m
γ: Oberflächenspannungskonstante
λ = 1,7cm: 1. und 2. Term in Wasser gleich groß
λ>>1,7cm: Schwerewelle 1.Term dominiert
λ<<1,7cm: Oberflächenspannungswelle 2.Term dominiert
Wassertiefe z>>λ (x>>1): tanh(x) ≈ 1 ; z<< λ (x<<1): tanh(x) ≈ x
GruppenGeschw .:
v
gr
d ω
dk
= v
ph
−λ⋅ dv
ph
/ d λ = v
ph
λ
n
dn
d λ
) für v
ph
= c / n ( λ) Cauchy: n (λ )= A + B /λ
2
Ausbreitungsgeschw. einer Überlagerung (reales Wellenpaket) Parametrisierung für optische Gläser
Ausbreitung :
2D: s (⃗ r , t )=α
0
√
r
0
/∣⃗ r ∣cos(ω t − k ∣⃗ r ∣−ϕ) ; 3D: s (⃗ r , t )=α
0
( r
0
/∣⃗ r ∣) cos( ω t − k ∣⃗ r ∣−ϕ)
Amplitude
α
0
im Abstand r 0
zur Quelle
Intensität I prop. zu AmplitudenQuadrat dann: I 2D
∝ 1/r I 3D
∝ 1/r
2
Polarisation :
tan
1Br
= n
2
/ n
1
; Malus: I
T
= I
0
⋅cos
unter BrewsterWinkel α 1Br
einfallender Strahl wird vollständig polarisiert reflektiert
Malus : Intensität eines linear polarisierten Strahls hinter Polarisationsfilter,
um Winkel φ ggü. DurchlassRichtung (I
T
=I
0
) verdreht
Rechtwinkl.Dreieck: a
2
b
2
= c
2
sin = a / c cos = b / c tan = a / b =sin /cos
Winkelfunktionen: 1 rad = 180
o
sin 0
o
=cos 90
o
= 0 ; sin 30
o
=cos 60
o
=½; sin 45
o
=cos 45
o
=½ 2 ; sin 60
o
=cos 30
o
=½ 3 ; sin 90
o
=cos 0
o
sinα = −sin (−α) = cos( 90
o
−α) = −sin (α+ 180
o
); cos
2
α+sin
2
α= 1 ;
sin α
√
1 −cos
2
α = 1 / √
1 + 1 / tan
2
α
cosα = cos(−α) = sin ( 90
o
−α) = −cos(α+ 180
o
); cos
2
α−sin
2
α=cos 2 α ;
cosα
= √ 1 −sin
2
α = 1 /√ 1 +tan
2
α
tan α = sin α / cosα = −tan (−α) = tan (α + 180
o
) = 1 /tan ( 90
0
−α) ;
tan α
√
1 /sin
2
α – 1 = √
1 /cos
2
α – 1
cos(α±β)=cosα cos β∓sin α sinβ ; sin (α±β)=sinα cosβ±cos α sin β; sin 2 α= 2 sin α cos α
coscos= 2 cos
cos
; cos−cos=− 2 sin
sin
sin sin = 2 cos
sin
; sin −sin = 2 sin
cos
A
1
⋅cos t A
2
⋅sin t = A ⋅cos t − mit A =
A
1
2
A
2
2
; tan = A
2
/ A
1
; A
1
= A ⋅cos ; A
2
= A ⋅sin
Kreis/Kugel: U Kreis
= 2 r ; A
Kreis
= r
2
; A
Kugel
= 4 r
2
; V
Kugel
= 4 / 3 r
3
Fourier: f t = f t T =
a
0
∑
n = 1
∞
a
n
cos n t ∑
n = 1
∞
b
n
sin n t =
a
0
∑
n = 1
∞
A
n
cos n t −
n
für Grundfrequenz =
T
a
n
T
∫
t
0
t
0
f ( t ) cos( n ω t ) dt ; b
n
T
∫
t
0
t
0
f ( t ) sin( n ω t ) dt ; A
n
e
− i ϕ
n
T
∫
t
0
t
0
f ( t ) e
− i n ω t
dt ; A
n
√
a
n
2
n
2
; ϕ
n
= 2 atan
b
n
A
n
n
SI-Präfixe für 10
X
d = 10
− 1
; c = 10
− 2
; m = 10
− 3
; μ = 10
− 6
; n = 10
− 9
; p = 10
− 12
; f = 10
− 15
; a = 10
− 18
h = 10
; k = 10
; M = 10
; G = 10
; T = 10
; P = 10
; E = 10
