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Formelsammlung:
Physik II für Naturwissenschaftler
Stand: 16. Juli 2015
4 Elektrizität und Magnetismus
4.1 Ladung und Ladungserhaltung
- Ladung q = n(±e) mit Elementarladung
e = 1, 6 · 10
− 19
C = 1, 6 · 10
− 19
As
4.2 Coulomb-Gesetz
bei ~x 1
durch die Ladung q 2
bei ~x 2
(Fernwirkungsprinzip)
F 12 =
q 1 q 2
4 πε 0
~x 1 − ~x 2
|~x 1
− ~x 2
3
mit Permittivität des Vakuums
ε 0
− 12
C
2
Nm
2
- Gesamtkraft auf q 1 ausgeübt durch viele Ladungen q 2 , q 3 ,...
F 1 =
F 12 +
F 13 +... (lineare Superposition)
E (Nahwirkungsprinzip) der Ladungen q 1 , q 2... q N wirkend auf q bei ~x
E(~x) =
F
q
N ∑
i =
q i
4 πε 0
~x − ~x i
|~x − ~x i
3
- Feldlinien: - Dichte = Maß für E = |
E|
- Tangenten = Richtung von
E (von + nach -)
- Feldlinien stehen senkrecht auf Leitern und verschwinden darin
- Elektrischer Dipol: Ladungen ±q im Abstand l - Dipolmoment p = ql - Fernfeld (Betrag) im Abstand r l
E =
4 πε 0
p
r
3
+q −q
l
4.3 Elektrisches Potential
- Definition des Potentials φ im Punkt ~x
φ(~x) = −
~x ∫
∞
E(~x
′
)·d~x
′
Interpretation: q φ(~x) = Arbeit, um Ladung q im Feld
E von ∞ nach ~x zu bringen
- Einheit [φ] = 1 J/C = 1 V (Volt) - Energien werden jetzt oft in Elektronenvolt angegeben:
1 eV = e · 1 V
− 19
C · 1 V
− 19
J
- Potential einer Punktladung Q (Quelle) bei ~x 1
φ(~x) =
4 πε 0
Q
|~x − ~x 1 |
- Potential von N Punktladungen Q i
bei ~x i
(Superposition)
φ(~x) =
4 πε 0
N ∑
i =
Q
i
|~x − ~x i
- Energieerhaltungssatz für eine Ladung q im Potential φ an zwei Punkten ~x 1
und ~x 2
Eges = Ekin,1 + q φ(~x 1 )
= E
kin,
) = const.
- Elektrische Spannung zwischen den Punkten ~x 1
und ~x 2
U = φ(~x 2
) − φ(~x 1
E und Potential φ = φ(x, y, z)
E = −
∂φ/∂x
∂φ/∂y
∂φ/∂z
= − grad φ
⇒ Feldlinien stehen senkrecht auf Äquipotentialflächen φ = const.
P =
dW
dt
= U I
- Kirchhoff’sche Regeln - Knotenregel
∑
k
I
in
k
∑
k
I
out
k
- Maschenregel ∑
k
U
k
- Anwendung der Kirchhoff’schen Regeln
bb
b
I
1
I
2
I
2
I
3
RA
R
B
Ub
U
a
- Identifiziere alle Knoten und wähle die Richtungen (beliebig) der Ströme I k.
- Bilanziere die Ströme für jeden Knoten. Für den oben gewählten Knoten bedeutet
dies:
I
1 ︸︷︷︸
in
= I
2
+ I
3 ︸ ︷︷ ︸
out
- Wähle genügend Maschen (jedes Bauteil muss mindestens in einer Masche vorkom-
men) und einen Umlaufsinn (beliebig) für jede Masche.
- Bilanziere die Potentialdifferenzen U k
im Umlaufsinn. Im obigen Beispiel wäre die
Maschenregel:
∑
k
U
k
= U
a
− U
b
+ I
3
R
B
− I
2
R
A
Ergebnis: Aus Knoten- und Maschenregel folgen mindestens n Gleichungen für n
Unbekannte.
- Beispiel: RC-Kreis (Ladevorgang) - Maschenregel:
R
dQ
dt
Q
C
= U 0 (DGL 1. Ordnung)
R
U
0
C
I
- Lösung:
Q(t) = U 0
C
(
1 − e
− t/RC
)
I(t) =
Q(t) =
U
0
R
e
− t/RC
mit typischer Zeitkonstante τ = RC (Ladezeit).
- Zusammenschalten von Widerständen (Zweipole) - Serienschaltung
Rges = R 1 + R 2 R 1
R
2
- Parallelschaltung
Rges
R 1
R 2
R
1
R
2
4.6 Magnetfelder
- Kraft auf Probestrom I im Magnetfeld
B
F = I~s ×
B („Drei-Finger-Regel“ wegen Kreuzprodukt)
mit ~s als stromdurchflossene Leiterlänge im Magnetfeld
- Einheit [
B] = 1
N
Am
= 1 T (Tesla)
- Lorentz-Kraft auf Punktladung q im
E- und
B-Feld
F
L
= q
(
E + ~v ×
B
)
durch einen Stromfaden Id~x 2
bei ~x 2
(Biot-Savart-Gesetz):
d
B =
μ 0
4 π
Id~x 2
×
~x 1
− ~x 2
|~x 1
− ~x 2
3
- Serienschaltung
L
ges
= L
1
+ L
2 L 1
L
2
- Parallelschaltung
Lges
L 1
L 2
L
1
L 2
4.8 Elektromagnetische Schwingungen
R
C
L
- Maschenregel:
Q + 2κ
Q + ω
2
0
Q = 0
- Eigenfrequenz ω 0
LC
- Dämpfungskonstante κ = R/(2L) - Lösung: gedämpfte Oszillation (κ < ω 0
, Kondensator anfangs geladen)
Q(t) = Q 0
e
− κt
cos(ωt)
mit Frequenz ω =
√
ω
2
0
− κ
2
4.9 Elektromagnetische Wellen (Fernfelder)
E = E
0
~e cos(kx − ωt)
B = B
0
~e
′
cos(kx − ωt)
- Wellenlänge λ = 2π/k mit Wellenzahl k - Kreisfrequenz ω = 2π/T mit Periodendauer T - Dispersionrelation ω = ck
- Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum: Lichtgeschwindigkeit
c =
0
μ 0
8
m/s
′ ⊥ x-Achse (Ausbreitungsrichtung)
- Licht: elektromagnetische Wellen im Spektralbereich
λ = 400 nm... 750 nm
(violett)... (rot)
5 Wellenoptik
- Beobachtbar: Mittlere Intensität
I ∼
T
T ∫
0
dt
E
2
- Superposition zweier harmonischer Wellen (j = 1, 2 )
E
j
= E
0
~e j
cos(kr j
− ωt)
liefert mittlere Intensität
I ∼
T
T ∫
0
dt
(
E
1
E
2
) 2
- Sich ergebendes Zweistrahl-Interferenzmuster
I = I 0 [1 + (~e 1 ·~e 2 ) cos(k∆r)]
mit Gangunterschied ∆r = r 1
− r 2
- Maxima bei ∆r = ±nλ - Minima bei ∆r = ±
(
n +
1
2
)
λ
- Beugung am Gitter mit Spalten im Abstand s - Hauptmaximum ±m-ter Ordnung
bei
s sin θ ± m
= ±mλ m = 0, 1 , 2 ,... sin θ
I
−3 −2 −1 0 1 2 3
- Achtung: Einzelne Hauptmaxima eventuell unterdrückt durch Minima der Einzel-
spalte mit endlicher Breite b an den Stellen b sin θ± j = ±jλ; j = 0, 1 , 2 ,...
6 Quantenphysik
- Planck’sches Wirkungsquantum
¯h =
h
2 π
− 34
2 π
Js = 1, 05 · 10
− 34
Js
