10. Klasse Grundwissen 10
Bedingte Wahrscheinlichkeit 04
Absolute und relative H¨
aufigkeit →grund62.pdf
Mehrstufige Zufallsexperimente, Pfadregeln, Baumdiagramm →grund97.pdf
Formel von Bayes
Wahrscheinlichkeit von Aunter der Bedingung B:PB(A) = P(A∩B)
P(B)
Beispiel
Ein Bauunternehmer bezieht zum Terrassen-Pflastern 400 Steinplatten, und zwar zu 4
5Stein-
platten I. Wahl (Anteil besch¨
adigter Platten 5 %) und zu 1
5Platten II. Wahl (Anteil besch¨
adig-
ter Platten 15 %). Aus der Gesamt-Lieferung wird zuf¨
allig eine Platte herausgegriffen.
Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt eine besch¨
adigte Platte aus der Lieferung
I. Wahl? Oder anders formuliert: Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich unter der
Bedingung, dass die Platte besch¨
adigt ist, um eine Platte aus der I.-Wahl-Lieferung?
4-Felder-Tafel
Bei einer Aufteilung der Gesamtzahl nach mehreren Merkmalen kann man eine 4-Felder-
Tafel erstellen, wobei die Zeilen bzw. Spalten jeweils mit Merkmal/nicht-Merkmal beschrif-
tet werden und die Zahlen in jeder Zeile bzw. Spalte jeweils addiert werden (bzw. umgekehrt
fehlende Felder auf diese Weise erg¨
anzt werden).
In obigem Beispiel seien
W1:”Die zuf¨
allig gezogene Platte ist aus der I.-Wahl-Lieferung“ und
B:”Die zuf¨
allig gezogene Platte ist besch¨
adigt“.
4-Felder-Tafel mit absoluten H¨
aufigkeiten
B B
W116 304 320
W112 68 80
28 372 400
4-Felder-Tafel mit Wahrscheinlichkeiten
B B
W10,04 0,76 0,80
W10,03 0,17 0,20
0,07 0,93 100 % = 1
(Fett gedruckte Felder werden zuerst ausgef¨
ullt (z. B. 320 = 4
5von 400; im Feld W1∩B: 5 % von 320 = 16
bzw. 5 % von 4
5= 0,05 ·0,80 = 0,04), f¨
ur den Rest entsprechende Zeilen- bzw. Spaltensummen betrachtet.)
L¨
osung der obigen Frage mit absoluten H¨
aufigkeiten: Hat man eine der 28 besch¨
adigten
Platten vor sich, von denen 16 aus der Lieferung I. Wahl stammen, so erkennt man:
PB(W1) = 16
28 =4
7≈57 %.
L¨
osung der obigen Frage mit Wahrscheinlichkeiten und der Formel von Bayes:
PB(W1) = P(W1∩B)
P(B)=0,04
0,07 =4
7≈57 %.
Baumdiagramm
@@
@
B
PW1(B)=0,05
B
0,95
0,04 0,76
W1W1
HHHH
H
4
5
1
5
@@
@
B
0,15
B
0,85 = PW2(B)
0,03 0,17
Bei den Beschriftungen der ¨
Aste der 2. Stufe
Bbzw. Bhandelt es sich um bedingte Wahr-
scheinlichkeiten, z. B. Wahrscheinlichkeit f¨
ur
”besch¨
adigt“ unter der Bedingung ”I. Wahl“:
PW1(B)=0,05 usw.
Die unter den Pfaden stehenden Wahrschein-
lichkeiten werden durch Anwendung der Pfad-
regeln (→grund97.pdf) berechnet (Multi-
plikation der Wahrscheinlichkeiten an den
¨
Asten): P(W1∩B) = P(W1)·PW1(B) =
4
5·0,05 = 0,04 usw.
F¨
ur das aus den Pfaden W1−Bund W1−Bzusammengesetzte Ereignis Bgilt:
P(B) = 0,04 + 0,03 = 0,07.
Mit der Formel von Bayes berechnet man die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit:
PB(W1) = P(W1∩B)
P(B)=0,04
0,07 =4
7≈57 %.
