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Klasse 9: Lösungen
- Beschreibe den Term
unter Verwendung
der mathematischen Fachbegriffe. Berechne den Termwert nachvollziehbar ohne Taschenrechner und erkläre dabei, was man unter „Erweitern“ und „Kürzen“ eines Bruches versteht.
Der Term ist ein Quotient. Der Dividend ist eine Differenz mit dem Minuenden
und dem
Subtrahenden
. Der Divisor ist eine Summe mit dem 1. Summanden
und dem 2.
Summanden
Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren
- Berechne die Größen der Winkel , und ε. Begründe jeweils deine Überlegungen.
Allgemein: Winkelsumme im Dreieck ist 180°
Dreieck ABC gleichschenklig: ( 180 26 ): 2 77
Dreieck DFC gleichschenklig: ( 180 77 ): 2 51 , 5
Dreieck AGD: Winkel ADG 180 128 , 5
180 ADG 26 25,5°
- Zeichne zwei verschiedene Parallelogramme, deren Flächeninhalte jeweils 48 cm^2 betragen. Welchen Radius hat ein flächengleicher Kreis ungefähr? Bei „richtigen“ Parallelogrammen gilt: Grundfläche zugehörige Höhe = 48 cm²
Zum Kreis: r 4cm (FlächeKreis = r² mit 3 cm )
a) Gib jeweils einen möglichst einfachen Term für die Kantenlänge K(x) und den Oberflächeninhalt O(x) der Schachtel an. Berechne K( 15 ). K(x) = 4 (x + 30 + 20) = 4(x + 50) K(15) = 4(15 + 50) = 260
O(x) = 2 ( 20 30 30 x 20 x ) 2 ( 600 50 x )
b) Die Schachtel ist auf der rechten Seite vollständig, auf der Vorderseite nur teilweise grau angestrichen. Gib für x = 10 an, zu wie viel Prozent die Schachteloberfläche nicht angestrichen ist. O(10) = 2200
gesuchter Prozentsatz = 84 , 1 %
- Bestimme jeweils die Lösungsmenge der Gleichung über der Grundmenge Z bzw. Q:
a) 48 x 80 16 6 x 2 8 b) 3 x 5 2 x x 6 x 15 x
c)x ^2 x^ x 2 ^ 3 ^ 2 31 x^2
26 o
ε
ε (^) A (^) B
C
D
F
G
x
zu a) 48x – 80 = 16 + (6x – 2) 8 48x – 80 = 16 + 48x – 16 -80 = 0 falsche Behauptung Also: |L = { } für beide Grundmengen zu b) 3x(5 – 2x) = x (-6x) + 15x 15x – 6x² = -6x² + 15 x 0 = 0 allgemeingültige Aussage Also: |L = G
zu c) x – (2 – x)(x – 2) = -3(-2 -^2
x )
x – 2x + 4 + x² - 2x = 6 + x² -3x + 4 = 6
= x Also: |L = {…} in Z und |L = { -
} in Q
- Laura kauft für 10 € insgesamt 12 Tafeln Schokolade. Die Sorte „Molka“ kostet je Tafel 95 ct, die Sorte „Tritter Sport“ 75 ct. Finde mit Hilfe einer Gleichung heraus, wie viele Tafeln sie von jeder Sorte gekauft hat. Begründe, welche Grundmenge für diese Gleichung sinnvoll ist. x 0,95 + (12 – x) 0,75 = 10 x ist nat ürliche Zahl, da „ganze“ Tafeln! 0,95x + 9 – 0,75x = 10 0,2x + 9 = 10 0,2x = 1 x = 5 Also 5 Tafeln „Molka“ zu je 95 ct und 7 Tafeln „Tritter Sport“ zu 75 ct
- a) In welchen Größen (Seitenlängen, Innenwinkeln) müssen zwei Dreiecke mindestens übereinstimmen, damit sie kongruent sind? sss-Satz (Länge aller drei Seiten) sws-Satz (Länge zweier Seiten und Zwischenwinkel) wsw-Satz (Länge einer Seite und die beiden dieser Seite anliegenden Winkel) Ssw-Satz (Länge zweier Seiten und Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt) b) Erkläre, worin ähnliche Dreiecke übereinstimmen und worin sie sich unterscheiden. Ähnliche Dreiecke stimmen immer in ihren Winkeln überein. Die Seitenlängen müssen nur im Verhältnis übereinstimmen d. h. die Längen müssen nicht übereinstimmen.
- Zeichne ein stumpfwinkliges Dreieck ABC (Ɣ > 90o) sowie diesem Dreieck ma , wα und hb.
Begründe, dass sowohl α als auch β spitze Winkel sein müssen. Berechne die Dreiecksfläche. siehe Unterricht
- Erkläre unter Verwendung einer Skizze den sog. „Thaleskreis“ sowie die zugehörige Beweisidee.
zu a) zu G f(x) : y = 4
x zu G g(x) : y = -3x + 1
zu G k(x) : y = x
zu G n(x) : y = 1,5x - 3
zu b) Schnittpunkt S: 1 , 5 3
x x ; 3 = 2,3x ; x = 1
und y = -
Also: S
- a) Gegeben sind die Punkte A(8 / - 15) und B(2 / - 10). Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung der linearen Funktion h x, deren Graph Gh(x)die beiden gegebenen Punkte enthält. b) Gegeben ist die lineare Funktion f x 1 , 8 x 3. (I) Prüfe durch Rechnung, ob der Punkt Q (-2/ 3) über, auf oder unter dem Graph Gf(x)liegt.
(II) Gib den Funktionsterm g xan, deren Graph Gg(x)zu Gf(x) parallel und durch den Punkt A 3 / 1 , 4 verläuft.
(III) Der Graph Gf(x)schließt zusammen mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks. (IV) Gib an, welche Bedingung die Parameter m und t erfüllen müssen, damit der Graph Gk(x)^ der linearen Funktion^ k^ (x)mxtnicht durch den II. Quadranten des Koordinatensystems verläuft. zu a) y = mx + t I: -15 = m 8 + t II: -10 = m 2 + t t = -10 – 2m in I -15 = 8m + (-10 – 2m)
- 15 = 8m – 10 – 2m
- 15 = 6m – 10
- 5 = 6m
m =
Also: t = -10 – 2
h(x) =
x
zu b) (I) f(-2) = 1,8 (-2) + 3 = -0,6 also: y-Wert von Q ist 3 und somit größer als -0, Folgerung: Q liegt über Gf (II) Parallel d. h. gleiche Steigung: g(x) = 1,8x + t durch A(3|-1,4): -1,4 = 1,8 3 + t -1,4 = 5,4 + t t = -6,8 also: g(x) = 1,8x – 6, (III) y-Achsenabschnitt ist 3 also: Länge der einen Kathete ist 3 Nullstelle: 1,8x + 3 = 0 1,8x = -
x = -
1 also: Länge der anderen Kathete ist
Fläche rechtwinkliges Dreieck: 2 , 5
(IV) Steigung m 0 und t 0
- Gib die Umfangslänge der getönten Fläche (vgl. Abbildung, ein Kästchen ist 1 cm lang) an. Wie viel Prozent der Quadratfläche sind getönt?
U (^) getönte Fläche = 4 3 cm + 2 2 3 cm
21,4cm
getönte Fläche in Prozent = 60 , 7 %
2
2 2
cm
cm cm
- Ermittle rechnerisch die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems: (I) 3 x 8 y 4 ( II ) 16 y 4 2 x I: 3x – 8y = 4 I´: 6x – 16y = 8 II: 16y + 4 = 2x I´+ II: 6x – 16y + 16y + 4 = 8 + 2x 6x + 4 = 8 + 2x 4x = 4 x = 1 in II: 16y + 4 = 2 ; 16y = -2 ; y = -0, |L = {(1;-0,125}
- Bestimme jeweils die Definitonsmenge sowie die Lösungsmenge:
a) 4 x 5
b) 12 x
6 x
4 x
(^) c) x 9
x 3
2 x 6
^2
zu a) D = |R \ {-5} 4
x
; 8 = 4(x + 5) ; 8 = 4x + 20 ; -12 = 4x ; x = -
also: |L = {-3}
zu b) D = |R \ {0}
x x 12 x
Hauptnenner: 12x
21 3 35 2 5 x 7
-7 = 5x – 7 0 = 5x 0 = x |L = { } (siehe Definitionsmenge!)
zu c) D = |R \ {-3;3}
x x x 2 HN: 2 (x² - 9) = 2 (x - 3)(x + 3)
2
x x x
16(x + 3) – 10 2(x – 3) = 40 2 16x + 48 – 20x + 60 = 80 -4x + 108 = 80 28 = 4x x = 7 also: |L = {7}
- Vereinfache die Terme jeweils soweit wie möglich und schreibe dein Ergebnis ohne negative Exponenten.
a)
^2
3
2 x
3 3 x : x
x 1 x b)
2
2 0 4
5 3 8
n a k
k a n
c)
2
m 3
(^32)
m
2 1
c a
40 b : 20 c
a b
zu a)
( 1 )^323254
2
3 x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
zu b) 2 12
6 2 6 12
2 3 6 2
2 0 4
5 3 8
1 k n
a
k a n
ka n
n ak
k a n
