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Prof. Dr. Moritz Kaßmann
Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2016 Universität Bielefeld
Klausur Funktionalanalysis (240051)
1. Termin am 11. August 2016
Aufgabe 1 (15 Punkte)
Sei (an) eine Folge von Zahlen an ∈ R mit |an| ≤
1 n^3
für jedes n ∈ N. Sei A die Familie von Funktionen
fn : [0, 1] → R, definiert durch fn(x) =
n=
an sin(nx) für n ∈ N. Zeigen Sie, dass dann jede Folge (gn) in A
eine Teilfolge (gn k ) besitzt, welche gleichmäßig auf [0, 1] konvergiert.
Hinweis: Es bietet sich an, einen berühmten Satz anzuwenden.
Lösung. Sei n ∈ N beliebig. Es gilt dann
|gn(x)| ≤
n
sin(nx)
n 3
n
nx
n 3
n
n 2
π
2
d.h. ∀n ∈ N : ‖gn‖∞ ≤
π 2
6
Wir zeigen nun, dass die Folge (gn) gleichgradig stetig ist. Sei dazu ε > 0. Setze δ =
6 π 2 ε. Dann gilt für alle
x, y ∈ [0, 1] mit |x − y| < δ und alle n ∈ N
|gn(x) − gn(y)| ≤
n
sin nx − sin ny
n 3
n
|x − y|
n 2
π
2
|x − y| < ε.
Da offensichtlich für jedes n ∈ N die Funktion gn in C([0, 1]) liegt, sind alle Voraussetzungen des Satzes von
Arzela-Ascoli erfüllt. Dieser liefert die Existenz einer Teilfolge (gn k ), die gleichmäßig auf [0, 1] konvergiert.
Aufgabe 2 (5+5+10 Punkte)
Sei Ω ⊂ R
d offen.
(a) Definieren Sie, was man unter einer schwachen Ableitung ∂
α v einer Funktion v ∈ L
1 loc
(Ω) versteht.
(b) Geben Sie die Definition von H
1 (Ω) = W
1 , 2 (Ω) an.
(c) Beweisen Sie, dass der durch
‖u‖
2
Ω
u
2
Ω
|∇u|
2
normierte Vektorraum H
1 (Ω) = W
1 , 2 (Ω) sowohl ein Banach- als auch ein Hilbertraum ist.
(Es muss nicht mehr gezeigt werden, dass ‖ · ‖ eine Norm definiert. Ferner darf ohne Beweis verwendet
werden, dass L
2 (Ω) ein Banachraum ist.)
Lösung.
(a) Seien u, v ∈ L
1 loc (Ω) und α ein Multiindex (d.h. α = (α 1 ,... , αn) mit αi ∈ N 0 und |α| =
n i= αi).
Dann heißt u α-te schwache Ableitung von v, falls für jede Funktion ϕ ∈ C
∞ c (Ω) gilt:
Ω
v ∂
α ϕ = (−1)
|α|
Ω
uϕ (1)
In diesem Fall schreibt man häufig ∂
α v anstelle von u.
(b) Wir bezeichnen mit H
1 (Ω) = W
1 , 2 (Ω) den Raum aller Funktionen f ∈ L
2 (Ω), deren schwache partielle
Ableitungen ∂if für alle i = 1, ..., d existieren und für die ∂if ∈ L
2 (Ω) für alle i = 1, ..., d gilt.
(c) Die Norm wird induziert durch
〈u, v〉 =
Ω
uv +
Ω
(∇u, ∇v),
wobei (·, ·) das Standardskalarprodukt ist. Die Linearität und die Symmetrie von 〈·, ·〉 sind offensichtlich.
Die Definitheit folgt aus
〈u, u〉 = 0 ⇔
Ω
u
2 = 0 = −
Ω
|∇u|
2 ⇔ u = 0 fast überall.
Wir müssen noch die Vollständigkeit zeigen. Sei (un) eine Cauchy-Folge in H
1 (Ω). Dann folgt aus der
Normdefinition, dass (un) und (∂iun) für i = 1, ..., d Cauchy-Folgen in L
2 (Ω) sind. Da L
2 (Ω) vollständig
ist, existieren die Grenzwerte u ∈ L
2 (Ω) von (um) und u
i ∈ L
2 (Ω) von (∂ium) für i = 1, ..., d. Wir
zeigen nun u
i = ∂iu für i = 1, ..., d. Seien dazu ϕ ∈ C
∞ c (Ω)^ und^ i^ ∈ {^1 , ..., d}^ beliebig. Dann gelten
∫
Ω
un∂iϕ
n→∞ −→
Ω
u∂iϕ,
Ω
∂iunϕ
n→∞ −→
Ω
u
i ϕ.
Dies ist einsehbar durch Anwendung der Dreiecksungleichung für Integrale sowie der Hölder-Ungleichung:
Ω
un∂iϕ −
Ω
u∂iϕ
Ω
|un − u||∂iϕ|
≤ ‖un − u‖L 2 ‖ ‖∂iϕ‖L 2 ︸ ︷︷ ︸ <∞
n→∞ −→ 0
und analog für die zweite Konvergenz. Daraus folgern wir nun
Ω
u∂iϕ = lim n→∞
Ω
un∂iϕ = − lim n→∞
Ω
∂iunϕ = −
Ω
u
i ϕ,
d.h. ui = ∂iϕ.
Also haben wir gezeigt, dass (un) in der Norm ‖ · ‖ gegen die Funktion u ∈ H
1 (Ω) konvergiert.
Damit ist H
1 (Ω) ein Hilbertraum, insbesondere also auch ein Banachraum.
Aufgabe 3 (5+10+5+5 Punkte)
Seien X ein Banachraum, (xn) eine Folge in X und x ∈ X.
(a) Es gelte xn → x. Zeigen Sie, dass dann auch gilt xn ⇀ x.
(b) Es gelte xn ⇀ x. Beweisen Sie, dass es ein c ≥ 1 gibt mit ‖xn‖ ≤ c für alle n ∈ N.
(c) Beweisen Sie: Falls (fn) eine Folge in X
′ ist und f ∈ X
′ mit ‖fn − f ‖X′ → 0 und xn ⇀ x, so gilt
fn(xn) → f (x).
(d) Geben Sie ein Beispiel für einen Banachraum X, eine Folge (xn) in X und ein x ∈ X an, so dass nicht
gilt ‖xn − x‖ → 0 , wohl aber xn ⇀ x.
Lösungsvariante 1. Betrachte die Funktionen fn =
x −
1 2
2
1 n
2
. Es gilt fn ∈ C
1 ([0, 1]). Wir werden
zeigen, dass (fn) gegen die Funktion f (x) = |x −
1 2
| konvergiert. Es gilt
‖fn − f ‖∞ = max x∈[0,1]
x −
2
n
2
x −
n
n→∞
−→ 0.
Das letzte Gleichheitszeichen kann wie folgt begründet werden:
n
x −
n
x −
x −
n
x −
n
x −
2
n
2
−
x −
n
Da aber f /∈ C
1 ([0, 1]), haben wir mit (fn) eine Cauchy-Folge gefunden, die nicht in C
1 ([0, 1]) konvergiert.
Folglich ist der Raum nicht vollständig.
Lösungsvariante 2. Wir zeigen, dass der Operator
D : (C
1 ([0, 1]), ‖ · ‖∞) → (C([0, 1]), ‖ · ‖∞)
abgeschlossen ist und benutzen den Satz vom abgeschlossenen Graphen.
Sei dazu fn eine gegen f ∈ C
1 ([0, 1]) konvergierende Folge mit Folgengliedern in C
1 ([0, 1]) und f
′ n → g ∈
C([0, 1]). Wir müssen zeigen, dass g = f
′ gilt. Aus dem Hauptsatz der Analysis folgt für x ∈ (0, 1]:
∫^ x
0
g(s) ds =
∫^ x
0
lim n→∞
f
′ n(s)^ ds
= lim n→∞
∫^ x
0
f
′ n(s)^ ds
= lim n→∞
(fn(x) − fn(0))
= f (x) − f (0).
Wir haben benutzt, dass bei gleichmäßiger Konvergenz Integral und Grenzwert vertauschbar sind.
Ableiten nach x liefert f
′ (x) = g(x) für alle x ∈ (0, 1]. Aus der Stetigkeit von g folgt schließlich auch
f
′ (0) = g(0).
Die Abgeschlossenheit von D ist gleichbedeutend damit, dass der Graph von D abgeschlossen ist.
Weil D laut Vorlesung ein unbeschränkter Operator ist, folgern wir nun aus dem Satz vom abgeschlossenen
Graphen, dass (C
1 ([0, 1]), ‖ · ‖∞) kein Banachraum sein kann.
Aufgabe 6 (10+10 Punkte)
Im Folgenden sind p und F : `
p (R) → R gegeben. Zeigen Sie jeweils, dass F Element von (`
p (R))
′ ist und
berechnen Sie die Norm von F :
(a) p = 2, F (x) = x 1 + x 2 ,
(b) p = 1, F (x) =
∞ ∑
k=
xk k
Lösung. Die Linearität von F ist in (a) und (b) offensichtlich. Wir berechnen die Normen. Da diese endlich
sein werden, ist F in (a) und (b) inbesondere beschränkt. Damit folgt dann F ∈ (`
p (R))
′ .
(a) Da `
2 (R) = (`
2 (R))
′ existiert laut Vorlesung ein eindeutig bestimmtes Element y = (yn) ∈ `
2 (R) derart,
dass
F (x) =
n
ynxn
und ‖y‖ `^2 = ‖F ‖. Ein Koeffizientenvergleich liefert nun y = (1, 1 , 0 , 0 , ..., 0 , ...). Die Norm ist dann
‖y‖` 2 =
2
(b) Wir wissen (`
1 (R))
′ = `
∞ (R). Also existiert ein eindeutiges y = (yn) ∈ `
∞ (R), so dass
F (x) =
n
ynxn
und ‖F ‖ = ‖y‖∞. Offensichtlich ist yn =
1 n
. Daher
‖F ‖ = ‖y‖∞ = sup n
n
