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Im Großhandel weiß man, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Orange in schlechtem. Zustand P(s) = 30% beträgt. Außerdem werden die Orangen mit einer ...
Art: Zusammenfassungen
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Lass dir nichts Wichtiges entgehen!
Name Pr¨ufer Prof. Dr. I. Klein Vorname (^) Arbeitszeit Donnerstag, 26.02. Matrikelnummer 14:00 - 16:00 Uhr Studienrichtung Sitzplatznummer Semesterzahl Raum Email (optional)
Statistik Aufgabe Punkte 1 2 3 4 Summe Note: Unterschrift des Kandidaten:
Unterschrift des Pr¨ufers:
Hilfsmittel: Es gelten folgende Regelungen zu den erlaubten Hilfsmitteln: Nicht programmierbarer Taschenrechner
Die vom Lehrstuhl seit dem WS 2014/15 offiziell herausgegebene Formelsammlung (DIN A5, gebunden, orangener Umschlag). Es sind prinzipiell keine weiteren Eintragungen oder Markierungen darin erlaubt. Ausgenommen sind farbliche Hinterlegungen von Textpassagen und/oder Formeln und vom Lehrstuhl autorisierte Fehlerkorrekturen
R Reference Card von Jonathan Baron, es sind keine weiteren Eintragungen oder Markierungen darin erlaubt
Bewertung: F¨ur jede Aufgabe werden maximal zehn Punkte vergeben. Bewertet werden grunds¨atzlich nur L¨osungen, die im L¨osungsteil stehen und f¨ur die Folgendes beachtet wird: Der L¨osungsweg muss aus einer Darstellung der einzelnen Rechenschritte ersichtlich sein.
Antworten sind stets zu begr¨unden, es sei denn es wird aus- dr¨ucklich keine Begr¨undung verlangt.
Unleserliche Aufgabenteile werden mit 0 Punkten bewertet.
Viel Erfolg!
Im Großhandel weiß man, dass die Wahrscheinlichkeit f¨ur eine Orange in schlechtem Zustand P (s) = 30% betr¨agt. Außerdem werden die Orangen mit einer Wahrscheinlichkeit von P (I) = 80% aus Italien und mit einer Wahrscheinlichkeit von P (B) = 20% aus Brasilien geliefert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Orange, die aus Brasilien kommt, in schlechtem Zustand ist betr¨agt 0.35.
Nun zieht ein Einzelh¨andler eine Stichprobe von 100 Orangen. Insgesamt hat er 27 Oran- gen in schlechtem Zustand gefunden. Nehmen Sie an, dass die jeweiligen Z¨uge der Stich- probe voneinander unabh¨angig sind.
Sie ziehen nun selbst zuf¨allig eine Orange aus einer Kiste mit 20 Orangen und ¨uberpr¨ufen, ob diese in gutem oder schlechtem Zustand ist.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich in einer Kiste genau 10 Orangen in schlechtem Zustand?
b) Insgesamt betrachten Sie 40 Orangen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind ge- nau 17 Orangen in schlechtem Zustand?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Kiste h¨ochstens 18 Orangen in gutem Zustand?
d) Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz der Anzahl der Orangen in gutem Zustand bei einer Lieferung von 100 Orangen an.
Zur Wahl des Staatsoberhauptes schlagen die zwei gr¨oßten Parteien jeweils einen sympa- thischen Kandidaten vor. John A. m¨ochte die Beliebtheit dieser Kandidaten in der Bev¨olkerung untersuchen. Dazu nutzt er Daten eines Forschungsinstituts, das 72 zuf¨allig ausgew¨ahlte Personen befragte, wie sich deren jeweilige Sympathie auf die beiden Kandidaten aufteilt.
Befragter Sympathieanteil Sympathieanteil Alter des Befragten Kandidat 1 Kandidat 2 in Jahren i vi wi ui 1 0.1 0.9 60 2 0.5 0.5 19 3 0.4 0.6 53 4 0.7 0.3 39 ... ... ... ... 72 0.6 0.4 24
Tabelle 1: Auszug aus der Urliste, die John A. f¨ur seine Untersuchungen heranzieht.
John A. vermutet, dass Kandidat 1 bei den Befragten unter 50 Jahren beliebter ist, als bei denen ab 50 Jahren. Dies soll mittels eines Mittelwertdifferenzentests ¨uberpr¨uft werden. Die Normalverteilungsannahme st¨ort John A. bei der Analyse, u.a. weil Anteilswerte nur Werte im Intervall [0, 1] annehmen k¨onnen. Um dennoch den Test durchf¨uhren zu k¨onnen, sollen die Daten transformiert werden. Dazu m¨ussen zun¨achst die geometrischen Mittel der Sympathieanteile f¨ur jeden Befragten gebildet werden.
Die Abbildungsvorschrift der zu verwendenden Transformation lautet:
(vi, wi) 7 → ln
( (^) v √ i viwi
wobei √viwi = g(vi, wi) das geometrische Mittel von vi und wi ist.
b) Welcher Anteil der W¨ahler, von denen man weiß, dass sie Kandidat 2 gew¨ahlt haben, kommt aus Gruppe A?
c) Welcher Kandidat bekommt die meisten Stimmen?
c) F¨ur welche Verteilung nimmt die Gini-Entropie ihren Maximalwert und f¨ur welche ihren Minimalwert an? Wie lauten diese beiden Werte?
Im Rahmen einer Markterhebung werden in der Stadt N (j = 1) insgesamt n 1 = 780 und in der Stadt M (j = 2) insgesamt n 2 = 1350 Personen zuf¨allig ausgew¨ahlt und befragt, welche Biersorte sie bevorzugen (Mehrfachnennungen sind ausgeschlossen). Dabei stellt sich folgendes Befragungsergebnis in den Stichproben ein:
Rotbier(b 1 ) Pils(b 2 ) Helles(b 3 ) Radler(b 4 ) Weizen(b 5 ) n 1 i 195 78 273 78 156 n 2 i 135 202 486 122 405
Sei hierbei nji (pji) die H¨aufigkeit (Wahrscheinlichkeit), mit der in der Stadt j die i-te Biersorte bevorzugt wird.
Verwenden Sie f¨ur alle weiteren Rechnungen folgende Sch¨atzwerte - auch wenn Sie andere Werte bestimmt haben:
Rotbier(b 1 ) Pils(b 2 ) Helles(b 3 ) Radler(b 4 ) Weizen(b 5 ) p 1 i 0.26 0.09 0.37 0.09 0. p 2 i 0.08 0.17 0.39 0.08 0.
a) eine Person in N Pils bevorzugt?
b) eine Person in M Rotbier oder Radler bevorzugt?
c) eine Person aus N kommt und Weizen bevorzugt?
Verwenden Sie f¨ur alle weiteren Berechnungen die folgenden Sch¨atzwerte - auch wenn Sie andere Werte bestimmt haben:
H 2 (ˆp 1 ) = 0. 7632 und H 2 (ˆp 2 ) = 0. 7478
Tag i 1 2 3 4 5 Aktie A -0.01 -0.01 0.02 0.03 0.
Nehmen Sie an, Sie h¨atten zum Beginn von Tag 1 insgesamt 100 EUR in Aktie A investiert. Welchen Wert hat Ihre Investition in Aktie A am Ende von Tag 5?
b) Rechnen Sie jetzt mit einem Wert f¨ur die realisierte Pr¨ufgr¨oße von 0.254 weiter. Bestimmen Sie den zugeh¨origen p-Wert.
c) Arbeiten Sie jetzt mit einem p-Wert von 0.5 weiter. Treffen Sie die Testentscheidung und begr¨unden Sie diese.
Im Folgenden seien drei Zufallsvariablen definiert:
X: (^) ”T¨agliche Rendite von Aktie Alpha“, wobei X ∼ N (μX , σ^2 X ) Y : (^) ”T¨agliche Rendite von Aktie Beta“, wobei Y ∼ N (μY , σ^2 Y ) S: (^) ”Differenz der t¨aglichen Renditen von Aktie Alpha und Aktie Beta“, also S = X − Y
Die Korrelation zwischen den Zufallsvariablen X und Y betrage ρXY.
H 0 : ρ ≤ ρ 0 = 0. 8 gegen H 1 : ρ > ρ 0 = 0. 8
Nehmen Sie an, dass die Zufallsvariablen X und Y bivariat normalverteilt sind.
a) Bestimmen Sie die realisierte Pr¨ufgr¨oße. F¨ur die bivariate Stichprobe mit einem Umfang von 250 Tagen haben Sie bereits ermittelt, dass R = 0.88 ist.
b) Bestimmen Sie den Wert der kritischen Schranke.
c) Rechnen Sie nun mit einer realisierten Pr¨ufgr¨oße von 4.0 weiter. Treffen Sie die Testentscheidung und begr¨unden Sie diese.
